불평등 시스템의 솔루션을 지정하는 방법. 선형 부등식 시스템을 그래픽으로 풀기

04.03.2021

"X"만 있고 가로축만 있습니다. 이제 "Y"가 추가되고 활동 영역이 전체 좌표 평면으로 확장됩니다. 또한 텍스트에서 "선형 부등식"이라는 문구는 2차원적 의미로 이해되며 몇 초 만에 명확해질 것입니다.

분석기하학 외에도 수학적 분석, 경제 및 수학적 모델링의 여러 문제와 관련이 있으므로 이 강의를 진지하게 공부하는 것이 좋습니다.

선형 부등식

선형 부등식에는 두 가지 유형이 있습니다.

1) 엄격한불평등: .

2) 엄격하지 않음불평등: .

이러한 불평등의 기하학적 의미는 무엇입니까?선형 방정식이 직선을 정의하는 경우 선형 부등식은 다음을 정의합니다. 반면.

아래 정보를 이해하기 위해서는 평면에 있는 선의 종류를 알아야 하고 선을 그릴 수 있어야 합니다. 이 부분에서 어려운 점이 있다면 도움말을 읽어보세요 함수의 그래프와 속성– 선형 함수에 대한 단락.

가장 단순한 선형 부등식부터 시작하겠습니다. 모든 패자의 파란 꿈은 아무것도 없는 좌표 평면입니다.

아시다시피 가로축은 방정식으로 제공됩니다. "y"는 항상 ("x"의 값에 대해) 0과 같습니다.

부등식을 생각해 봅시다. 비공식적으로 이해하는 방법? "Y"는 항상 ("x" 값에 대해) 양수입니다. 긍정적인 "게임"이 있는 모든 포인트가 거기에 있기 때문에 이 불평등이 상반면을 결정한다는 것은 분명합니다.

부등식이 엄밀하지 않은 경우 상반면으로 추가적으로축이 추가됩니다.

유사하게, 부등식은 하부 반평면의 모든 점에 의해 충족되고, 비엄격 부등식은 하부 반평면 + 축에 해당합니다.

y축을 사용하면 동일한 진부한 이야기:

- 부등식은 오른쪽 반평면을 정의합니다.
- 부등식은 y축을 포함하여 오른쪽 반평면을 정의합니다.
- 부등식은 왼쪽 반평면을 정의합니다.
– 부등식은 y축을 포함하여 왼쪽 반평면을 정의합니다.

두 번째 단계에서는 변수 중 하나가 누락된 부등식을 고려합니다.

"y" 누락:

또는 "X" 누락:

이러한 불평등은 두 가지 방식으로 처리될 수 있습니다. 두 가지 접근 방식을 모두 고려하십시오. 그 과정에서 이미 수업에서 논의된 불평등이 있는 학교 행동을 기억하고 통합합시다. 기능 범위.

실시예 1

선형 부등식 풀기:

선형 부등식을 푸는 것은 무엇을 의미합니까?

선형 부등식을 푸는 것은 반평면을 찾는 것을 의미합니다, 그 포인트가 주어진 부등식을 충족합니다(부등식이 엄격하지 않은 경우 선 자체를 더함). 해결책, 대개, 그래픽.

도면을 즉시 실행한 다음 모든 것을 주석 처리하는 것이 더 편리합니다.

a) 부등식 풀기

방법 1

이 방법은 위에서 논의한 좌표축이 있는 이야기와 매우 유사합니다. 아이디어는 불평등을 변환하는 것입니다. 상수 없이 왼쪽에 하나의 변수(이 경우 x 변수)를 남겨두는 것입니다.

규칙: 부등식에서 항은 부호가 바뀌면서 부분에서 부분으로 이동하는 반면 부등식 자체의 부호는 변하지 않는다(예를 들어 "미만" 기호가 있는 경우 "미만"으로 유지됩니다.

기호를 변경하여 "5"를 오른쪽으로 옮깁니다.

규칙 긍정적 인 변하지 않는다.

이제 직선(파란색 점선)을 그립니다. 부등식 때문에 직선은 점선이다. 엄격한, 이 선에 속하는 점은 확실히 솔루션에 포함되지 않습니다.

불평등의 의미는 무엇입니까? "X"는 항상 ("y" 값에 대해) .보다 작습니다. 분명히, 이 주장은 왼쪽 반평면의 모든 점에 의해 충족됩니다. 이 반쪽 평면은 원칙적으로 음영 처리될 수 있지만 그림을 예술적 팔레트로 바꾸지 않도록 작은 파란색 화살표로 제한하겠습니다.

방법 2

이것은 보편적인 방법입니다. 매우 주의 깊게 읽으십시오!

먼저 직선을 그립니다. 그런데 명확성을 위해 방정식을 형식으로 나타내는 것이 좋습니다.

이제 평면의 아무 지점이나 선택하고, 직선에 속하지 않는. 물론 대부분의 경우 가장 맛있는 지점입니다. 이 점의 좌표를 부등식에 대입합니다.

받았다 잘못된 불평등(간단히 말해서 이것은 불가능합니다), 이는 점이 부등식을 만족하지 않는다는 것을 의미합니다.

우리 작업의 핵심 규칙:
만족하지 않는다불평등, 그렇다면 모두주어진 반평면의 점 만족하지 않는다이 불평등에.
– 반평면의 임의의 점이 선에 속하지 않는 경우 만족불평등, 그렇다면 모두주어진 반평면의 점 풀다이 불평등에.

다음을 테스트할 수 있습니다. 선의 오른쪽에 있는 점은 부등식을 만족하지 않습니다.

점을 이용한 실험의 결론은 무엇입니까? 갈 곳이 없습니다. 불평등은 다른 모든 점, 즉 왼쪽 반면에서 만족합니다(확인할 수도 있음).

b) 부등식 풀기

방법 1

부등식을 변환해 보겠습니다.

규칙: 부등식의 양변은 다음과 같이 곱할 수 있습니다. 부정적인숫자, 부등호 기호 바꾸다반대로 (예를 들어, "크거나 같음" 기호가 있는 경우 "작거나 같음"이 됩니다).

부등식의 양변에 다음을 곱합니다.

우리는 불평등이 있으므로 직선 (빨간색)을 그리고 실선을 그립니다. 엄격하지 않은, 라인은 확실히 솔루션에 속합니다.

결과적인 부등식을 분석한 후 우리는 그 해가 하부 반평면(+ 선 자체)이라는 결론에 도달합니다.

적절한 반 평면이 해칭되거나 화살표로 표시됩니다.

방법 2

직선을 그려봅시다. 예를 들어 평면의 임의의 점(직선에 속하지 않음)을 선택하고 좌표를 부등식에 대입해 보겠습니다.

받았다 올바른 불평등, 그 점은 부등식을 만족하고 일반적으로 하부 반평면의 모든 점이 이 부등식을 만족합니다.

여기에서 실험 포인트를 사용하여 원하는 반면을 "타격"합니다.

문제의 해결책은 빨간색 직선과 빨간색 화살표로 표시됩니다.

개인적으로 두 번째 솔루션이 더 형식적이기 때문에 첫 번째 솔루션이 더 마음에 듭니다.

실시예 2

선형 부등식 풀기:

이것은 DIY의 예입니다. 두 가지 방법으로 문제를 해결해 보십시오(그런데 이것은 솔루션을 확인하는 좋은 방법입니다). 수업이 끝날 때의 답변에는 최종 도면 만 있습니다.

나는 예에서 행해진 모든 행동 후에 당신이 그들과 결혼해야 할 것이고, 등등과 같은 가장 단순한 불평등을 해결하는 것이 어렵지 않을 것이라고 생각합니다.

두 변수가 부등식에 존재할 때 세 번째 일반적인 경우를 고려합니다.

대안적으로, 자유 용어 "ce"는 0일 수 있다.

실시예 3

다음 부등식에 해당하는 반평면을 찾으십시오.

해결책: 범용 포인트 치환 방식을 사용합니다.

a) 부등식이 엄격하고 직선 자체가 해에 포함되지 않기 때문에 직선을 점선으로 그려야 하는 동안 직선의 방정식을 구성해 보겠습니다.

예를 들어 주어진 선에 속하지 않는 평면의 실험 점을 선택하고 좌표를 부등식으로 대체합니다.

받았다 잘못된 불평등, 따라서 이 반평면의 점과 모든 점은 부등식 을 만족하지 않습니다. 불평등에 대한 해결책은 또 다른 반면이 될 것입니다. 우리는 파란 번개에 감탄합니다.

b) 부등식을 풀자. 먼저 직선을 그려봅시다. 이것은 수행하기 쉽습니다. 표준 직접 비례가 있습니다. 부등식이 엄격하지 않기 때문에 선은 실선으로 그려집니다.

우리는 선에 속하지 않는 평면의 임의의 점을 선택합니다. 원점을 다시 사용하고 싶지만 지금은 적합하지 않습니다. 따라서 다른 여자 친구와 함께 일해야합니다. 예를 들어, 좌표 값이 작은 점을 선택하는 것이 더 유리합니다. 그것의 좌표를 우리의 부등식으로 대체하십시오:

받았다 올바른 불평등, 따라서 주어진 반평면의 점과 모든 점은 부등식을 만족합니다. 원하는 반 평면은 빨간색 화살표로 표시됩니다. 또한 솔루션에는 라인 자체가 포함됩니다.

실시예 4

부등식에 해당하는 반평면 찾기:

이것은 DIY의 예입니다. 완전한 솔루션, 마무리의 대략적인 샘플 및 수업 종료 시 답변.

반대의 문제를 살펴보자.

실시예 5

a) 직선이 주어집니다. 정의하다 점이 있는 반면이며 선 자체는 솔루션에 포함되어야 합니다.

b) 직선이 주어집니다. 정의하다 점이 위치한 반평면. 라인 자체는 솔루션에 포함되지 않습니다.

해결책: 여기에 도면이 필요하지 않으며 솔루션은 분석적입니다. 어려운 것은 없습니다:

a) 보조 다항식 구성 점에서 값을 계산합니다.
. 따라서 원하는 부등식은 "보다 작음" 기호와 함께 표시됩니다. 조건에 따라 선이 솔루션에 포함되므로 부등식이 엄격하지 않습니다.

b) 다항식을 구성하고 다음 점에서 값을 계산합니다.
. 따라서 원하는 부등식은 "보다 큼" 기호와 함께 표시됩니다. 조건에 따라 선은 솔루션에 포함되지 않으므로 불평등은 엄격합니다. .

답변:

독학을 위한 창의적인 예:

실시예 6

주어진 점과 선. 나열된 점 중에서 원점과 함께 주어진 선의 같은 쪽에 있는 점을 찾으십시오.

약간의 힌트: 먼저 원점이 있는 반평면을 정의하는 부등식을 작성해야 합니다. 수업이 끝날 때 분석 솔루션 및 답변.

선형 부등식 시스템

선형 부등식 시스템은 알다시피 여러 부등식으로 구성된 시스템입니다. Lol, 음, 나는 정의를 주었다 =) 고슴도치는 고슴도치이고, 칼은 칼이다. 그러나 진실은 간단하고 저렴하다는 것입니다! 아니요, 진지하게, 일반적인 방법으로 몇 가지 예를 제시하고 싶지 않으므로 긴급한 문제로 즉시 이동하겠습니다.

선형 부등식 시스템을 푸는 것은 무엇을 의미합니까?

선형 부등식 시스템 풀기- 이것은 의미 평면에서 점 집합 찾기만족시키는 각자에게시스템 불평등.

가장 간단한 예로서, 직교 좌표계의 좌표 4분의 1을 결정하는 부등식 시스템을 고려하십시오("2의 그림"은 수업의 맨 처음에 있음).

부등식 시스템은 첫 번째 좌표 분기(오른쪽 위)를 정의합니다. 예를 들어, 첫 번째 분기의 모든 지점의 좌표, 등. 풀다 각자에게이 시스템의 불평등.

비슷하게:
- 부등식 시스템은 두 번째 좌표 1/4(왼쪽 위)을 정의합니다.
- 부등식 시스템은 세 번째 좌표 1/4(왼쪽 아래)을 정의합니다.
– 부등식 시스템은 4분의 1 좌표(오른쪽 아래)를 정의합니다.

선형 부등식 시스템에는 솔루션이 없을 수 있습니다., 즉 호환되지 않는. 다시 말하지만 가장 간단한 예: . "x"가 동시에 3개 이상 2개 미만일 수 없다는 것은 매우 분명합니다.

부등식 시스템에 대한 솔루션은 직선이 될 수 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다. . 백조, 가재, 파이크 없이 두 개의 다른 방향으로 카트를 당기고 있습니다. 예, 여전히 문제가 있습니다. 이 시스템의 솔루션은 직선입니다.

그러나 가장 일반적인 경우는 시스템의 솔루션이 일부 평면 영역. 결정 영역아마도 제한 없는(예: 좌표 분기) 또는 제한된. 제한된 솔루션 영역은 폴리곤 솔루션 시스템.

실시예 7

선형 부등식 시스템 풀기

실제로 대부분의 경우 엄격하지 않은 불평등을 처리해야 하므로 나머지 수업에서 불평등이 춤을 춥니다.

해결책: 불평등이 너무 많다는 사실을 두려워해서는 안 된다. 시스템에 얼마나 많은 불평등이 있을 수 있습니까?예, 원하는 만큼. 가장 중요한 것은 솔루션 영역을 구성하기 위한 합리적인 알고리즘을 고수하는 것입니다.

1) 먼저 가장 단순한 부등식을 다룬다. 부등식은 좌표축의 경계를 포함하여 첫 번째 좌표 1/4을 정의합니다. 검색 영역이 크게 좁아졌기 때문에 이미 훨씬 쉽습니다. 도면에서 해당 반면을 화살표(빨간색 및 파란색 화살표)로 즉시 표시합니다.

2) 두 번째로 단순한 부등식 - 여기에 "y"가 없습니다. 첫째, 우리는 선 자체를 만들고, 둘째, 부등식을 형식으로 변환한 후 모든 "xes"가 6보다 작다는 것이 즉시 분명해집니다. 해당 반평면을 녹색 화살표로 표시합니다. 글쎄, 검색 영역은 위에서부터 제한되지 않는 직사각형과 같이 훨씬 작아졌습니다.

3) 마지막 단계에서 "완전한 탄약으로" 불평등을 해결합니다. . 이전 섹션에서 솔루션 알고리즘에 대해 자세히 논의했습니다. 간단히 말해서: 먼저 직선을 만든 다음 실험 점의 도움으로 필요한 반평면을 찾습니다.

어린이 여러분, 일어서십시오. 원 안에 서십시오.

시스템의 솔루션 영역은 다각형이며 도면에서 진홍색 선으로 동그라미를 치고 음영 처리됩니다. 나는 그것을 조금 과장했습니다 =) 노트북에서 솔루션 영역을 음영 처리하거나 간단한 연필로 더 과감하게 윤곽을 그리면 충분합니다.

이 다각형의 모든 점은 시스템의 모든 부등식을 충족합니다(관심 있는 경우 확인할 수 있음).

답변: 시스템의 솔루션은 다각형입니다.

깔끔한 카피를 할 때 어떤 점에서 직선을 그렸는지 자세히 기술하는 것이 좋을 것입니다(강의 참조 함수의 그래프와 속성), 그리고 어떻게 반평면이 결정되었는지(이 과의 첫 번째 단락 참조). 그러나 실제로는 대부분의 경우 올바른 그림으로만 크레딧을 받을 수 있습니다. 계산 자체는 초안에서 또는 구두로 수행할 수 있습니다.

시스템의 솔루션 폴리곤 외에도 실제로 빈도는 적지만 열린 영역이 있습니다. 다음 예제를 직접 구문 분석해 보십시오. 정확성을 위해 여기에는 고문이 없습니다. 구성 알고리즘은 동일하지만 영역이 제한되지 않는 것으로 판명될 뿐입니다.

실시예 8

시스템을 해결

수업이 끝날 때 솔루션과 답변. 결과 영역의 정점에 대해 다른 문자 지정이 있을 가능성이 큽니다. 이것은 중요하지 않습니다. 가장 중요한 것은 정점을 올바르게 찾고 영역을 올바르게 구축하는 것입니다.

작업에서 시스템의 솔루션 영역을 구성할 뿐만 아니라 영역 정점의 좌표를 찾는 것이 필요할 때 드문 일이 아닙니다. 앞의 두 가지 예에서 이러한 점의 좌표는 분명했지만 실제로는 모든 것이 얼음에서 멀리 떨어져 있습니다.

실시예 9

시스템을 풀고 결과 영역의 정점 좌표를 찾습니다.

해결책: 이 시스템의 솔루션 영역을 도면에 표시합니다. 부등식은 y축으로 왼쪽 절반 평면을 설정하고 여기에 더 이상 공짜가 없습니다. 깨끗한 / 초안 또는 깊은 생각 프로세스에 대한 계산 후 다음과 같은 결정 영역을 얻습니다.

기사에서 우리는 고려할 것입니다 불평등의 해결. 에 대해 솔직하게 이야기하자 불평등에 대한 솔루션을 구축하는 방법명확한 예와 함께!

예를 들어 부등식의 해결을 고려하기 전에 기본 개념을 다루겠습니다.

불평등 소개

불평등함수를 관계 기호 >, 로 연결한 식이라고 합니다. 부등식은 숫자와 알파벳 모두일 수 있습니다.
두 개의 관계 기호가 있는 부등식은 이중, 삼중 등으로 불립니다. 예를 들어:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x).
a(x) 기호 > 또는 또는 엄격하지 않은 기호를 포함하는 부등식.
불평등 솔루션이 부등식이 참인 변수의 값입니다.
"부등식 해결"는 모든 솔루션 세트를 찾아야 함을 의미합니다. 다양한 불평등을 해결하는 방법. 을위한 불평등 솔루션무한한 숫자 라인을 사용하십시오. 예를 들어, 불평등 해결 x > 3은 3에서 +까지의 구간이고 숫자 3은 이 구간에 포함되지 않으므로 선 위의 점은 빈 원으로 표시됩니다. 불평등이 엄격하다.
+
답은 x(3; +)입니다.
x=3 값은 솔루션 세트에 포함되지 않으므로 괄호는 반올림됩니다. 무한대 기호는 항상 괄호로 묶입니다. 기호는 "소속"을 의미합니다.
부호가 있는 다른 예를 사용하여 부등식을 해결하는 방법을 고려하십시오.
x2
-+
값 x=2는 솔루션 세트에 포함되므로 대괄호와 선의 점은 채워진 원으로 표시됩니다.
답은 다음과 같습니다. x .

배운 내용을 요약해 보겠습니다.
부등식 시스템을 풀 필요가 있다고 가정합니다. $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
그러면 구간($x_1; x_2$)이 첫 번째 부등식의 해가 됩니다.
구간($y_1; y_2$)은 두 번째 부등식의 해입니다.
부등식 시스템의 솔루션은 각 불평등 솔루션의 교차점입니다.

불평등 시스템은 1차 불평등뿐만 아니라 다른 유형의 불평등으로 구성될 수 있습니다.

불평등 시스템을 해결하기 위한 중요한 규칙.
시스템의 불평등 중 하나에 솔루션이 없으면 전체 시스템에 솔루션이 없습니다.
부등식 중 하나가 변수의 값에 대해 충족되면 시스템의 솔루션은 다른 부등식의 솔루션이 됩니다.

예.
부등식 풀기:$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
해결책.
각 부등식을 개별적으로 해결합시다.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

두 번째 부등식을 풀자.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

불평등의 해법은 격차다.
하나의 직선에 두 간격을 모두 그리고 교차점을 구해 봅시다.
간격의 교차점은 세그먼트(4; 6]입니다.
답: (4;6].

불평등의 시스템을 해결합니다.
a) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(cases) )$.

해결책.
a) 첫 번째 부등식의 해는 x>1입니다.
두 번째 부등식에 대한 판별식을 찾아봅시다.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D 부등식 중 하나에 해가 없으면 전체 시스템에 해가 없다는 규칙을 기억하십시오.
답변: 해결책이 없습니다.

B) 첫 번째 부등식의 해는 x>1입니다.
두 번째 부등식은 모든 x에 대해 0보다 큽니다. 그런 다음 시스템의 솔루션은 첫 번째 부등식의 솔루션과 일치합니다.
답: x>1.

독립 솔루션을 위한 불평등 시스템의 문제

부등식 풀기:
a) $\begin(cases)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(cases)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(cases)x^2-25 d) $\begin(케이스)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(케이스)$
e) $\begin(케이스)x^2+36

두 개의 변수로 부등식 풀기, 그리고 더욱 그렇다 두 개의 변수가 있는 부등식 시스템, 꽤 도전적인 것 같습니다. 그러나 이러한 종류의 매우 복잡해 보이는 문제를 쉽고 간편하게 해결하는 데 도움이 되는 간단한 알고리즘이 있습니다. 그것을 알아 내려고합시다.

다음 유형 중 하나의 두 변수가 있는 부등식이 있다고 가정합니다.

y > f(x); y ≥ f(x); 와이< f(x); y ≤ f(x).

좌표 평면에서 이러한 부등식의 솔루션 세트를 묘사하려면 다음과 같이 진행하십시오.

1. 평면을 두 영역으로 나누는 함수 y = f(x)의 그래프를 작성합니다.

2. 우리는 얻은 영역 중 하나를 선택하고 임의의 지점을 고려합니다. 이 점에 대해 원래 부등식의 만족성을 확인합니다. 검사 결과 올바른 수치적 부등식이 얻어지면 선택한 점이 속한 전체 영역에서 원래 부등식이 만족된다는 결론을 내립니다. 따라서 부등식에 대한 솔루션 세트는 선택한 점이 속하는 영역입니다. 검사 결과 잘못된 수치적 부등식이 얻어지면 부등식에 대한 솔루션 세트는 선택한 점이 속하지 않는 두 번째 영역이 됩니다.

3. 부등식이 엄밀하면 영역의 경계, 즉 함수 y = f(x)의 그래프의 점은 해의 집합에 포함되지 않으며 경계는 점선으로 표시됩니다. 부등식이 엄격하지 않으면 영역의 경계, 즉 함수 y = f(x)의 그래프 점은 이 부등식에 대한 솔루션 집합에 포함되며 이 경우의 경계는 다음과 같습니다. 실선으로 표시됩니다.
이제 이 주제에 대한 몇 가지 문제를 살펴보겠습니다.

작업 1.

부등식 x에 의해 주어진 점 집합은 무엇입니까? · y ≤ 4?

해결책.

1) x · y = 4 방정식의 그래프를 작성합니다. 이를 위해 먼저 변환합니다. 분명히 x는 이 경우 0으로 바뀌지 않습니다. 그렇지 않으면 0 · y = 4가 되므로 사실이 아닙니다. 그래서 우리는 방정식을 x로 나눌 수 있습니다. 우리는 다음을 얻습니다: y = 4/x. 이 함수의 그래프는 쌍곡선입니다. 그것은 전체 평면을 쌍곡선의 두 가지 사이와 그 외부의 두 영역으로 나눕니다.

2) 첫 번째 영역에서 임의의 점을 선택하여 점(4, 2)으로 지정합니다.
부등식 확인: 4 2 ≤ 4는 거짓입니다.

이것은 이 영역의 점이 원래의 부등식을 만족하지 않는다는 것을 의미합니다. 그런 다음 우리는 불평등에 대한 솔루션 세트가 선택한 점이 속하지 않는 두 번째 영역이 될 것이라고 결론을 내릴 수 있습니다.

3) 부등식이 엄밀하지 않기 때문에 경계점, 즉 함수 y = 4/x의 그래프의 점을 실선으로 그립니다.

원래 부등식을 정의하는 점 집합을 노란색으로 색칠해 봅시다. (그림 1).

작업 2.

시스템에 의해 좌표 평면에 정의된 영역을 그립니다.
( y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
( x 2 + y 2 ≤ 9.

해결책.

시작하기 위해 다음 함수의 그래프를 작성합니다. (그림 2):

y \u003d x 2 + 2 - 포물선,

y + x = 1 - 직선

x 2 + y 2 \u003d 9는 원입니다.

1) y > x 2 + 2.

함수의 그래프 위에 있는 점(0, 5)을 취합니다.
부등식 확인: 5 > 0 2 + 2가 맞습니다.

따라서 주어진 포물선 y = x 2 + 2 위에 있는 모든 점은 시스템의 첫 번째 부등식을 충족합니다. 노란색으로 색칠해 봅시다.

2) y + x > 1.

우리는 함수의 그래프 위에 있는 점 (0; 3)을 취합니다.
부등식 확인: 3 + 0 > 1이 맞습니다.

따라서 선 y + x = 1 위에 있는 모든 점은 시스템의 두 번째 부등식을 충족합니다. 초록색으로 색칠해 봅시다.

3) x2 + y2 ≤ 9.

원 x 2 + y 2 = 9 외부에 있는 점(0; -4)을 취합니다.
부등식 확인: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9는 틀렸습니다.

따라서 원 x 2 + y 2 = 9 외부에 있는 모든 점, 시스템의 세 번째 부등식을 만족하지 않습니다. 그러면 원 x 2 + y 2 = 9 안에 있는 모든 점이 시스템의 세 번째 부등식을 충족한다는 결론을 내릴 수 있습니다. 보라색 음영으로 칠해 봅시다.

부등식이 엄격하면 해당 경계선을 점선으로 그려야 함을 잊지 마십시오. 우리는 다음 그림을 얻습니다 (그림 3).

(그림 4).

작업 3.

시스템에 의해 좌표 평면에 정의된 영역을 그립니다.
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.

해결책.

먼저 다음 함수의 그래프를 작성합니다.

x 2 + y 2 \u003d 16 - 원,

x \u003d -y - 직선

x 2 + y 2 \u003d 4 - 원 (그림 5).

이제 우리는 각 부등식을 개별적으로 처리합니다.

1) x2 + y2 ≤ 16.

원 x 2 + y 2 = 16 안에 있는 점 (0, 0)을 취합니다.
부등식 확인: 0 2 + (0) 2 ≤ 16이 맞습니다.

따라서 원 x 2 + y 2 = 16 내부에 있는 모든 점은 시스템의 첫 번째 부등식을 충족합니다.
빨간색으로 색칠해 봅시다.

우리는 함수의 그래프 위에 있는 점 (1; 1)을 취합니다.
우리는 불평등을 확인합니다: 1 ≥ -1 - true.

따라서 선 x = -y 위에 있는 모든 점은 시스템의 두 번째 부등식을 충족합니다. 파란색으로 색칠해 봅시다.

3) x2 + y2 ≥ 4.

원 x 2 + y 2 = 4 외부에 있는 점 (0, 5)를 취합니다.
부등식을 확인합니다. 0 2 + 5 2 ≥ 4가 맞습니다.

따라서 원 x 2 + y 2 = 4 외부의 모든 점은 시스템의 세 번째 부등식을 충족합니다. 파란색으로 색칠해 봅시다.

이 문제에서 모든 부등식은 엄격하지 않습니다. 즉, 모든 경계를 실선으로 그립니다. 우리는 다음 그림을 얻습니다 (그림 6).

관심 영역은 세 가지 색상 영역이 모두 서로 교차하는 영역입니다. (그림 7).

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불평등의 시스템.
실시예 1. 표현식의 범위 찾기
해결책.제곱근 기호 아래에 음수가 아닌 숫자가 있어야 하며, 이는 두 부등식이 동시에 성립해야 함을 의미합니다. 이러한 경우 문제는 불평등 시스템을 해결하는 것으로 축소됩니다.

그러나 우리는 아직 그러한 수학적 모델(부등식 시스템)을 만나지 못했습니다. 이것은 우리가 아직 예제의 솔루션을 완료할 수 없음을 의미합니다.

시스템을 형성하는 부등식은 중괄호와 결합됩니다(방정식 시스템의 경우와 동일). 예를 들어, 항목

부등식 2x - 1 > 3 및 3x - 2를 의미합니다.< 11 образуют систему неравенств.

때때로 불평등 시스템은 이중 불평등으로 작성됩니다. 예를 들어 불평등 시스템

이중 부등식 3으로 쓸 수 있습니다.<2х-1<11.

9학년 대수학 과정에서는 두 부등식의 시스템만 고려할 것입니다.

불평등의 체계를 고려하라

예를 들어 x = 3, x = 4, x = 3.5와 같은 몇 가지 특정 솔루션을 선택할 수 있습니다. 실제로 x = 3의 경우 첫 번째 부등식은 5 > 3 형식을 취하고 두 번째 부등식은 7 형식을 취합니다.< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

동시에 값 x = 5는 부등식 시스템에 대한 솔루션이 아닙니다. x = 5의 경우 첫 번째 부등식은 9 > 3 - 정확한 수치 부등식, 두 번째 부등식은 13 형식을 취합니다.< 11- неверное числовое неравенство .
불평등 시스템을 해결한다는 것은 모든 특정 솔루션을 찾는 것을 의미합니다. 위에서 설명한 것과 같은 추측은 불평등 시스템을 해결하는 방법이 아니라는 것이 분명합니다. 다음 예에서 우리는 불평등 시스템을 풀 때 일반적으로 논쟁하는 방법을 보여줄 것입니다.

실시예 3부등식 풀기:

해결책.

하지만)시스템의 첫 번째 부등식을 풀면 2x > 4, x > 2가 됩니다. 시스템의 두 번째 부등식을 풀면 Zx를 찾습니다.< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
비)시스템의 첫 번째 부등식을 풀면 x > 2를 찾습니다. 시스템의 두 번째 부등식을 풀면 다음을 찾습니다. 첫 번째 간격에 대해 상단 해칭을 사용하고 두 번째 간격에 대해 하단 해칭을 사용하여 이러한 간격을 하나의 좌표선에 표시합니다(그림 23). 불평등 시스템의 솔루션은 시스템의 불평등 솔루션의 교차점, 즉 두 해치가 일치하는 간격. 고려중인 예에서 우리는 빔을 얻습니다.

입력)시스템의 첫 번째 부등식을 풀면 x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

고려 된 예에서 수행 된 추론을 일반화합시다. 불평등 시스템을 풀어야 한다고 가정해 봅시다.

예를 들어, 구간 (a, b)를 부등식 fx 2 > g(x)의 해라고 하고 구간 (c, d)를 부등식 f 2 (x) > s 2 (x)의 해라고 합시다. ). 첫 번째 간격에 상단 해칭을 사용하고 두 번째 간격에 하단 해칭을 사용하여 이러한 간격을 하나의 좌표선에 표시합니다(그림 25). 불평등 시스템의 솔루션은 시스템의 불평등 솔루션의 교차점입니다. 두 해치가 일치하는 간격. 무화과에. 25는 구간(s, b)입니다.

이제 예제 1에서 위에서 얻은 부등식 시스템을 쉽게 해결할 수 있습니다.

시스템의 첫 번째 부등식을 풀면 x > 2를 찾습니다. 시스템의 두 번째 부등식을 풀면 x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

물론, 부등식 시스템은 지금까지의 경우처럼 선형 부등식으로 구성될 필요는 없습니다. 합리적인(이성뿐만 아니라) 모든 불평등이 발생할 수 있습니다. 기술적으로 합리적인 비선형 부등식 시스템으로 작업하는 것은 물론 더 어렵지만 근본적으로 새로운 것은 없습니다(선형 부등식 시스템에 비해).

실시예 4불평등의 시스템을 해결

해결책.

1) 우리가 가진 불평등을 해결하십시오
숫자 라인의 점 -3과 3에 주목하십시오(그림 27). 그들은 선을 세 개의 간격으로 나누고 각 간격에서 표현 p (x) = (x - 3) (x + 3)은 일정한 기호를 유지합니다. 이러한 기호는 그림 4에 표시되어 있습니다. 27. 우리는 부등식 p(x) > 0이 충족되는 구간(그림 27에서 음영 처리됨)과 등식 p(x) = 0이 충족되는 지점, 즉 점 x \u003d -3, x \u003d 3 (그림 2 7에 다크 서클로 표시됨). 따라서 그림에서. 도 27은 제1 부등식을 풀기 위한 기하학적 모델을 나타낸다.

2) 우리가 가진 불평등을 해결하십시오
숫자 선의 점 0과 5에 주목하십시오(그림 28). 그들은 선을 세 개의 간격으로 나누고 각 간격에 표현식<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O(그림 28에서 음영 처리됨) 및 등식 g(x) - O가 충족되는 점, 즉 점 x = 0, x = 5(그림 28에서 다크 서클로 표시됨). 따라서 그림에서. 도 28은 시스템의 두 번째 부등식을 풀기 위한 기하학적 모델을 보여준다.

3) 첫 번째 부등식의 솔루션에 대해 위쪽 해칭을 사용하고 두 번째 부등식의 솔루션에 대해 아래쪽 해칭을 사용하여 동일한 좌표선에서 시스템의 첫 번째 및 두 번째 부등식에 대해 찾은 솔루션을 표시합니다(그림 29). 불평등 시스템의 솔루션은 시스템의 불평등 솔루션의 교차점, 즉 두 해치가 일치하는 간격. 이러한 간격은 세그먼트입니다.

실시예 5부등식 풀기:

해결책:

하지만)첫 번째 부등식에서 x >2를 찾습니다. 두 번째 부등식을 고려하십시오. 제곱 삼항 x 2 + x + 2는 실수근이 없고 선행 계수(x 2에서의 계수)는 양수입니다. 이것은 모든 x에 대해 부등식 x 2 + x + 2>0이 충족되고 따라서 시스템의 두 번째 부등식에는 해가 없음을 의미합니다. 이것이 불평등 시스템에 의미하는 바는 무엇입니까? 이는 시스템에 솔루션이 없음을 의미합니다.

비)첫 번째 부등식에서 x > 2를 찾고 두 번째 부등식은 x의 모든 값에 대해 적용됩니다. 이것이 불평등 시스템에 의미하는 바는 무엇입니까? 이것은 솔루션이 x>2 형식을 갖는다는 것을 의미합니다. 즉, 첫 번째 부등식의 해와 일치합니다.

답변:

a) 결정이 없다. 비) x>2.

이 예는 다음과 같은 유용한 예시입니다.

1. 하나의 변수가 있는 여러 부등식 시스템에서 하나의 부등식에 해가 없으면 시스템에 해가 없습니다.

2. 하나의 변수가 있는 두 개의 불평등 시스템에서 변수의 값에 대해 하나의 불평등이 충족되면 시스템의 솔루션은 시스템의 두 번째 불평등의 솔루션입니다.

이 섹션을 마치면 처음에 주어진 개념 수의 문제로 돌아가서 모든 규칙에 따라 그들이 말하는대로 해결합시다.

실시예 2(29페이지 참조). 자연수를 생각해 보세요. 잉태된 수의 제곱에 13을 더하면 그 합은 잉태된 수와 수 14의 곱보다 클 것으로 알려져 있습니다. 45를 잉태된 수의 제곱에 더하면 합계는 잉태된 수와 수 18의 곱보다 작습니다. 잉태된 수는 무엇입니까?

해결책.

첫 번째 단계. 수학적 모델을 작성합니다.
의도된 숫자 x는 위에서 보았듯이 부등식 시스템을 충족해야 합니다.

두 번째 단계. 컴파일된 수학적 모델을 사용하여 시스템의 첫 번째 부등식을 다음 형식으로 변환해 보겠습니다.
x2- 14x+ 13 > 0.