사건의 확률. 고전적 확률

12.10.2019

고전적 확률과 그 속성

확률은 확률 이론의 기본 개념 중 하나입니다. 이 개념에 대한 몇 가지 정의가 있습니다. 고전이라고 하는 정의를 내리자.

개연성사건은 주어진 사건을 선호하는 기본 결과의 수와 이 사건이 나타날 수 있는 모든 동등하게 가능한 경험 결과의 수의 비율입니다.

사건 A의 확률은 다음과 같이 표시됩니다. 아빠)(여기 아르 자형- 프랑스어 단어의 첫 글자 개연성- 확률).

정의에 따르면

이벤트의 출현을 선호하는 기본 테스트 결과의 수는 어디입니까?

시도의 가능한 요소 결과의 총 수입니다.

이 확률의 정의는 권위 있는. 에 일어났다 첫 단계확률 이론의 발전.

숫자는 종종 사건의 상대적 발생 빈도라고 합니다. 하지만경험상.

사건의 확률이 높을수록 더 자주 발생하고, 그 반대의 경우에도 사건의 확률이 낮을수록 덜 자주 발생합니다. 사건의 확률이 1에 가까우거나 1과 같으면 거의 모든 시행에서 발생합니다. 그런 이벤트라고 합니다 거의 확실하다즉, 확실히 공격에 의존할 수 있습니다.

반대로 확률이 0이거나 매우 작으면 이벤트가 극히 드물게 발생합니다. 그런 이벤트라고 합니다 거의 불가능한.

때때로 확률은 백분율로 표시됩니다. R(A) 100%이벤트 발생 횟수의 평균 백분율입니다. ㅏ.

예 2.13.전화번호를 걸 때 가입자가 한 자리 숫자를 잊어버리고 무작위로 전화를 걸었습니다. 원하는 숫자가 다이얼될 확률을 구하십시오.

해결책.

로 나타내다 하지만이벤트 - "필요한 번호로 전화를 겁니다".

가입자는 10자리 중 아무거나 다이얼할 수 있으므로 가능한 기본 결과의 총 수는 10입니다. 이러한 결과는 호환되지 않고 동등하게 가능하며 완전한 그룹을 형성합니다. 이벤트를 선호합니다 하지만단 하나의 결과(필요한 수는 단 하나).

원하는 확률은 모든 기본 결과의 수에 대한 이벤트를 선호하는 결과 수의 비율과 같습니다.

고전적인 확률 공식은 실험이 필요하지 않은 확률을 계산하는 매우 간단한 방법을 제공합니다. 그러나 이 공식의 단순성은 매우 기만적입니다. 사실 그것을 사용할 때 일반적으로 두 가지 매우 어려운 질문이 발생합니다.

1. 경험 결과의 시스템을 선택하여 가능성이 동등하게 되도록 하는 방법은 무엇이며, 이것이 전혀 가능합니까?

2. 숫자 찾는 방법 중그리고 N?

여러 피험자가 실험에 참여하는 경우 동일한 가능성이 있는 결과를 보기가 항상 쉬운 것은 아닙니다.

위대한 프랑스 철학자이자 수학자 d'Alembert는 그의 유명한 실수로 확률 이론의 역사에 입문했습니다.

예 2.14. ( 달랑베르 오류). 두 개의 동일한 동전을 던졌습니다. 그들이 같은 쪽에 떨어질 확률은 얼마입니까?

달랑베르의 솔루션.

경험에는 똑같이 세 가지 가능한 결과가 있습니다.

1. 두 동전 모두 "독수리"에 떨어질 것입니다.

2. 두 동전 모두 "꼬리"에 떨어집니다.

3. 동전 중 하나는 앞면에, 다른 하나는 뒷면에 나옵니다.

올바른 솔루션입니다.

경험에는 4가지 동등한 결과가 있습니다.

1. 첫 번째 동전은 "독수리"에 떨어지고 두 번째 동전도 "독수리"에 떨어집니다.

2. 첫 번째 동전은 "꼬리"에 떨어지고 두 번째 동전도 "꼬리"에 떨어집니다.

3. 첫 번째 동전은 앞면에, 두 번째 동전은 뒷면에 나옵니다.

4. 첫 번째 동전은 뒷면에, 두 번째 동전은 앞면에 나옵니다.

이 중 두 가지 결과가 이벤트에 유리하므로 원하는 확률은 입니다.

d'Alembert는 확률을 계산할 때 가장 흔히 저지르는 실수 중 하나를 범했습니다. 그는 두 개의 기본 결과를 하나로 결합하여 실험의 나머지 결과와 확률이 동일하지 않게 만들었습니다.

공식과 예를 사용하여 확률의 고전적 정의를 분석해 보겠습니다.

임의의 이벤트가 호출됩니다. 호환되지 않는동시에 발생할 수 없는 경우. 예를 들어, 우리가 동전을 던질 때 "문장" 또는 "숫자"와 같은 한 가지가 떨어질 것이며 이것이 불가능하다는 것이 논리적이기 때문에 동시에 나타날 수 없습니다. 총알이 발사된 후의 히트 및 미스 같은 이벤트는 호환되지 않을 수 있습니다.

유한 집합 형태의 무작위 사건 전체 그룹각 시행에서 하나의 이벤트가 나타나고 이러한 이벤트 중 하나만 가능한 경우 쌍으로 호환되지 않는 이벤트입니다.

동일한 동전 던지기 예를 고려하십시오.

첫 번째 동전 두 번째 동전 이벤트

1) "국장" "국장"

2) "국장" "숫자"

3) "숫자" "국장"

4) "숫자" "숫자"

또는 약어로 "YY", - "MS", - "CH", - "CH".

이벤트라고 합니다 동등하게 가능, 연구 조건이 각각의 출현 가능성이 동일한 경우.

아시다시피 대칭형 동전을 던지면 똑같은 가능성이 있고, '국장'과 '숫자'가 모두 빠질 확률이 있습니다. 대칭형 주사위를 던질 때도 마찬가지입니다. 1, 2, 3, 4, 5, 6의 면이 나타날 가능성이 있기 때문입니다.

예를 들어 숫자 1이 있는 쪽과 같이 무게 중심이 이동하여 큐브를 던진 다음 반대쪽, 즉 다른 숫자가 있는 쪽이 가장 자주 빠진다고 가정해 보겠습니다. 따라서 이 모델에서는 1에서 6까지의 각 숫자에 대한 발생 가능성이 다릅니다.

동등하게 가능하고 고유하게 가능한 임의의 이벤트를 케이스라고 합니다.

케이스인 무작위 사건이 있고 케이스가 아닌 무작위 사건이 있습니다. 다음은 이러한 이벤트의 예입니다.

결과적으로 임의의 이벤트가 나타나는 이러한 경우를 이 이벤트에 대한 유리한 경우라고 합니다.

가능한 모든 경우에 이벤트에 영향을 미치는 로 표시하고 무작위 이벤트의 확률을 통해 로 표시하면 확률에 대한 잘 알려진 고전적 정의를 쓸 수 있습니다.

정의

사건의 확률은 가능한 모든 경우의 총 수에 대한 이 사건에 유리한 경우의 수의 비율입니다. 즉,

확률 속성

고전적 확률이 고려되었으며 이제 우리는 주요 및 중요한 속성확률.

속성 1.특정 사건의 확률은 1과 같습니다.

예를 들어, 양동이의 모든 공이 흰색이면 이벤트 , 무작위로 흰색 공을 선택하는 경우, 의 영향을 받습니다.

속성 2.불가능한 사건의 확률은 0입니다.

재산 3.무작위 이벤트의 확률은 양수입니다.

따라서 모든 사건의 확률은 다음 부등식을 충족합니다.

이제 확률의 고전적 정의에 대한 몇 가지 예를 해결해 보겠습니다.

확률의 고전적 정의의 예

실시예 1

작업

바구니에 20개의 공이 있는데 그 중 10개는 흰색, 7개는 빨간색, 3개는 검은색입니다. 하나의 공이 무작위로 선택됩니다. 흰 공(event), 빨간 공(event), 검은 공(event)이 선택된다. 무작위 사건의 확률을 찾으십시오.

해결책

문제의 조건에 따라 에 기여하고 가능한 경우는 식 (1)에 따라 다음과 같습니다.

는 흰 공의 확률입니다.

마찬가지로 빨간색의 경우:

그리고 검은색: .

답변

무작위 사건의 확률 , .

실시예 2

작업

한 상자에 25개의 동일한 전기 램프가 있으며 그 중 2개가 결함이 있습니다. 무작위로 선택한 전구에 결함이 없을 확률을 구하십시오.

해결책

문제의 조건에 따라 모든 램프가 동일하며 하나만 선택됩니다. 선택할 수 있는 총 가능성. 총 25개의 램프 중 2개가 불량이므로 나머지 램프는 적합합니다. 따라서 공식 (1)에 따르면 적합한 전등(사건)을 선택할 확률은 다음과 같습니다.

답변

무작위로 선택한 전구가 불량이 아닐 확률 = .

실시예 3

작업

두 개의 동전이 무작위로 던져집니다. 그러한 사건의 확률을 찾으십시오.

1) - 두 동전 모두에서 국장이 떨어졌습니다.

2) - 동전 중 하나에 국장이 떨어졌고 두 번째에는 숫자가 떨어졌습니다.

3) - 두 동전 모두에서 숫자가 떨어졌습니다.

4) - 적어도 한 번은 국장이 떨어졌습니다.

해결책

여기에서 우리는 네 가지 이벤트를 다루고 있습니다. 각각의 사례에 기여한 사례를 설정해 보겠습니다. 이 이벤트는 두 개의 동전(약칭 "GG")에서 문장이 떨어졌을 때 한 가지 경우에 의해 촉진됩니다.

이벤트를 처리하기 위해 하나의 동전은 은이고 두 번째 동전은 구리라고 상상해 보십시오. 동전을 던질 때 다음과 같은 경우가 있을 수 있습니다.

1) 은색 국장, 구리 국장 - 숫자("MS"로 표시)

2) 은색 번호, 구리 번호 - 국장 (- "ChG").

따라서 사건은 사건과 에 의해 촉진됩니다.

이벤트는 한 가지 경우에 의해 촉진됩니다. 두 동전 모두 "CH"에서 숫자가 떨어졌습니다.

따라서 이벤트 또는 (YY, MG, TY, FF)는 완전한 이벤트 그룹을 형성하며, 이 이벤트 중 하나만 던지기의 결과로 발생하기 때문에 이러한 모든 이벤트는 호환되지 않습니다. 또한 대칭형 코인의 경우 4가지 이벤트가 모두 발생할 가능성이 동일하므로 케이스로 간주할 수 있습니다. 네 가지 가능한 이벤트가 있습니다.

이벤트는 단 하나의 이벤트에 의해 촉진되므로 확률은 다음과 같습니다.

두 가지 경우가 이벤트에 기여하므로 다음과 같습니다.

사건의 확률은 다음과 같습니다.

YY, YY, YY의 세 가지 경우가 이벤트에 기여하므로 다음과 같습니다.

GY, MS, CH, CH 이벤트가 고려되며 이는 동일하게 가능성이 있고 완전한 이벤트 그룹을 생성하므로 이들 중 하나의 출현은 신뢰할 수 있는 이벤트입니다(문자로 표시합니다. 이는 4개 모두에 의해 촉진됨 따라서 확률:

따라서 확률의 첫 번째 속성이 확인됩니다.

답변

사건의 확률.

실시예 4

작업

동일하고 규칙적인 기하학적 모양을 가진 두 개의 주사위를 던집니다. 양변의 가능한 모든 합이 빠질 확률을 구하십시오.

해결책

문제를 더 쉽게 풀기 위해 한 큐브는 흰색이고 다른 큐브는 검은색이라고 상상해 보십시오. 흰색 주사위의 6면 각각과 검정 주사위 6면 중 하나가 떨어질 수 있으므로 가능한 모든 쌍이 있습니다.

별도의 다이에 면이 나타날 가능성은 동일하기 때문에(정확한 기하학적 모양의 큐브!), 그러면 각 면 쌍이 나타날 확률은 동일하며 던지기의 결과로만 쌍 중 하나가 떨어집니다. 이벤트 값은 호환되지 않고 고유합니다. 이는 경우이며 36개의 가능한 경우가 있습니다.

이제 면의 합 값의 가능성을 고려하십시오. 분명히 가장 작은 합은 1 + 1 = 2이고 가장 큰 합은 6 + 6 = 12입니다. 나머지 합은 두 번째부터 1씩 증가합니다. 인덱스가 주사위 면에 떨어진 점의 합과 같은 이벤트를 표시해 보겠습니다. 이러한 각각의 사건에 대해 는 합산, 은 흰색 주사위 윗면의 점, 는 검정 주사위 면의 점이라는 표기법을 사용하여 유리한 경우를 씁니다.

따라서 이벤트의 경우:

- 한 경우(1 + 1);

- 2가지 경우(1 + 2, 2 + 1);

- 세 가지 경우(1 + 3, 2 + 2, 3 + 1);

- 4가지 경우(1 + 4, 2 + 3, 3 + 2, 4 + 1)

- 5가지 경우(1 + 5, 2 + 4, 3 + 3, 4 + 2, 5 + 1)

- 6개의 경우(1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2, 6 + 1)

- 5가지 경우(2 + 6, 3 + 5, 4 + 4, 5 + 3, 6 + 2)

- 4가지 경우(3 + 6, 4 + 5, 5 + 4, 6 + 3)

- 세 가지 경우(4 + 6, 5 + 5, 6 + 4)

- 두 가지 경우(5 + 6, 6 + 5)

- 한 경우(6 + 6).

따라서 확률은 다음과 같습니다.

답변

실시예 5

작업

축제 전에 세 명의 참가자에게 추첨을 제안했습니다. 각 참가자는 차례로 양동이에 접근하고이 참가자의 공연 일련 번호를 의미하는 숫자 1, 2, 3이 있는 3개의 카드 중 하나를 무작위로 선택합니다.

그러한 사건의 확률을 찾으십시오.

1) - 대기열의 일련 번호는 카드 번호, 즉 공연의 일련 번호와 일치합니다.

2) - 대기열에 성능 번호와 일치하는 번호가 없습니다.

3) - 대기열의 숫자 중 하나만 성능 숫자와 일치합니다.

4) – 대기열에 있는 숫자 중 하나 이상이 성능 숫자와 일치합니다.

해결책

카드 선택의 가능한 결과는 세 가지 요소의 순열이며 이러한 순열의 수는 입니다. 각 순열은 이벤트입니다. 이러한 이벤트를 로 표시합시다. 괄호 안에 있는 각 이벤트에 해당 순열을 할당합니다.

; ; ; ; ; .

나열된 이벤트는 동일하게 가능하고 균일합니다. 즉, 이러한 경우입니다. 다음과 같이 표시하십시오. (1h, 2h, 3h) - 대기열의 해당 숫자.

이벤트를 시작하겠습니다. 유리한 것은 단 하나의 경우이므로 다음과 같습니다.

이벤트에 유리한 두 가지 경우가 있으므로 다음과 같습니다.

이벤트는 3가지 경우에 의해 촉진됩니다: , 따라서:

에 추가하여 이벤트는 에도 기여합니다.

답변

사건의 확률은 입니다.

사건의 확률 - 업데이트 날짜: 2017년 9월 15일: 과학 기사.Ru

확률 이론의 기초

계획:

1. 랜덤 이벤트

2. 확률의 고전적 정의

3. 사건 확률 및 조합의 계산

4. 기하학적 확률

이론 정보

무작위 이벤트.

랜덤 현상- 결과가 명확하게 결정되는 현상. 이 개념은 상당히 넓은 의미로 해석될 수 있습니다. 즉, 자연의 모든 것은 매우 우연적이며, 개인의 출현과 탄생은 무작위 현상이며, 상점에서 상품 선택도 무작위 현상이며, 시험에서 점수를 얻는 것은 무작위 현상이며, 질병과 회복은 무작위입니다. 현상 등

무작위 현상의 예:

~ 촬영은 주어진 각도로 설정된 총에서 수평선까지 수행됩니다. 목표물에 명중하는 것은 우발적이지만 특정 "갈래"에서 발사체를 명중하는 것은 패턴입니다. 발사체가 날아가지 않는 거리와 그 이상 거리를 지정할 수 있습니다. "포탄의 포크 분산"을 얻으십시오.

~ 같은 몸을 여러 번 무게를 잰다. 엄밀히 말하면 매번 다른 결과를 얻을 수 있지만 무시할 수 있을 정도로 적은 양은 다르지만 다릅니다.

~ 같은 경로를 따라 비행하는 항공기에는 항공기가 기동할 수 있는 특정 비행 회랑이 있지만 정확히 같은 경로를 가질 수는 없습니다.

~ 운동선수는 같은 시간에 같은 거리를 달릴 수 없습니다. 그의 결과도 특정 수치 범위 내에 있을 것입니다.

경험, 실험, 관찰은 테스트다

재판- 다른 동일한 매개변수를 관찰하면서 이 동일한 순서, 기간에서 반복적으로 수행되고 규칙적으로 반복되는 특정 조건 세트의 관찰 또는 충족.

스포츠맨이 과녁에 쏘는 퍼포먼스를 생각해 봅시다. 제작되기 위해서는 선수의 준비, 무기 장전, 조준 등의 조건이 충족되어야 합니다. "히트" 및 "미스"는 샷의 결과로 발생하는 이벤트입니다.

이벤트– 정성적 테스트 결과.

이벤트는 발생하거나 발생하지 않을 수 있습니다. 이벤트는 대문자 라틴 문자로 표시됩니다. 예: D ="사수가 목표물을 명중했습니다". S="흰색 공 그린". K="당첨되지 않은 무작위 복권.".

동전 던지기는 시험입니다. 그녀의 "문장"의 몰락은 하나의 사건이고 그녀의 "숫자"의 몰락은 두 번째 사건입니다.

모든 테스트에는 여러 이벤트가 발생합니다. 그들 중 일부는 연구원이 주어진 시간에 필요할 수 있지만 나머지는 필요하지 않을 수 있습니다.

이벤트는 랜덤이라고 합니다, 특정 조건 세트를 구현하는 경우 에스그것은 일어날 수도 있고 일어나지 않을 수도 있습니다. 다음에서는 "조건 S가 충족됨"이라고 말하는 대신 "테스트가 수행되었습니다"라고 간단히 말할 것입니다. 따라서 이벤트는 테스트 결과로 간주됩니다.

~ 사수는 4개의 영역으로 나누어진 목표물을 쏘는 것입니다. 샷은 테스트입니다. 대상의 특정 영역을 치는 것은 이벤트입니다.

~ 항아리에 색깔의 공이 있습니다. 항아리에서 무작위로 하나의 공을 꺼냅니다. 항아리에서 공을 꺼내는 것은 테스트입니다. 특정 색상의 공이 나타나는 것은 이벤트입니다.

랜덤 이벤트의 유형

1. 이벤트가 호환되지 않는다고 합니다.그 중 하나의 발생이 동일한 시험에서 다른 사건의 발생을 배제하는 경우.

~ 부품이 들어있는 상자에서 무작위로 부품을 꺼냈습니다. 표준 부품의 모양은 비표준 부품의 모양을 제외합니다. 이벤트 € 표준 부품이 나타남" 및 비표준 부품이 나타남" - 호환되지 않습니다.

~ 동전을 던졌습니다. "국장"의 모양은 비문의 모양을 제외합니다. "문장이 나타남" 및 "비문이 나타남" 이벤트는 양립할 수 없습니다.

여러 이벤트 형식 전체 그룹,그 중 적어도 하나가 테스트 결과로 나타나는 경우. 다시 말해, 완전한 그룹의 이벤트 중 적어도 하나의 발생은 특정 이벤트입니다.

특히, 완전한 그룹을 구성하는 이벤트가 쌍으로 호환되지 않는 경우 테스트 결과 이러한 이벤트 중 하나만 표시됩니다.이 특별한 경우는 아래에서 사용되기 때문에 우리에게 가장 큰 관심을 끕니다.

~ 복권과 복권 2매를 구매했습니다. 다음 이벤트 중 하나만 발생해야 합니다.

1. "상금은 첫 번째 티켓에 떨어졌고 두 번째 티켓에는 떨어지지 않았습니다",

2. "상금이 첫 번째 티켓에 떨어지지 않고 두 번째 티켓에 떨어졌습니다",

3. "상금은 두 티켓 모두에 떨어졌습니다",

4. "두 티켓 모두 당첨되지 않았습니다."

이러한 이벤트는 쌍으로 호환되지 않는 이벤트의 완전한 그룹을 형성합니다.

~ 저격수가 목표물에 총을 쐈습니다. 다음 두 가지 이벤트 중 하나가 반드시 발생합니다: hit, miss. 이 두 개의 분리된 사건은 또한 완전한 그룹을 형성합니다.

2. 이벤트 호출 동등하게 가능어느 쪽도 다른 쪽보다 더 불가능하다고 믿을 만한 이유가 있는 경우.

~ "문장"의 출현과 동전을 던질 때의 비문 출현은 동등하게 가능한 사건입니다. 실제로 주화는 균질한 재료로 만들어지고 규칙적인 원통형 모양을 가지며 주화의 존재가 주화의 한 면 또는 다른 면의 손실에 영향을 미치지 않는다고 가정합니다.

~ 던진 주사위에서 하나 또는 다른 수의 포인트가 나타나는 것은 동일한 가능성이 있는 이벤트입니다. 실제로 다음과 같이 가정합니다. 주사위균질한 재질로 정다면체 모양을 하고 있으며 안경의 유무는 얼굴의 손실에 영향을 미치지 않습니다.

3. 이벤트 호출 진 본인,일어날 수 없다면

4. 이벤트 호출 신뢰할 수 없음일어날 수 없다면.

5. 이벤트 호출 반대주어진 이벤트의 발생하지 않은 것으로 구성되는 경우 일부 이벤트에. 반대 이벤트는 호환되지 않지만 둘 중 하나는 반드시 발생해야 합니다. 반대 사건은 일반적으로 부정이라고 합니다. 대시는 문자 위에 기록됩니다. 이벤트는 반대입니다: A 및 Ā; U 및 Ū 등 .

확률의 고전적 정의

확률은 확률 이론의 기본 개념 중 하나입니다.

이 개념에 대한 몇 가지 정의가 있습니다. 고전이라고 하는 정의를 내리자. 다음으로 우리는 약한 측면이 정의에 대해 설명하고 고전적 정의의 단점을 극복할 수 있는 다른 정의를 제공합니다.

상황을 고려하십시오. 상자에 6개의 동일한 공이 들어 있습니다. 2개는 빨간색, 3개는 파란색, 1개는 흰색입니다. 분명히, 항아리에서 무작위로 유색(빨간색 또는 파란색) 공을 꺼낼 가능성이 흰색 공을 꺼낼 가능성보다 더 큽니다. 이 가능성은 사건의 확률(컬러 볼의 출현)이라고 하는 숫자로 특징지을 수 있습니다.

개연성- 사건의 발생 가능성의 정도를 나타내는 숫자.

고려 중인 상황에서 다음을 나타냅니다.

사건 A = "색깔의 공 뽑기".

테스트의 가능한 각 결과(테스트는 항아리에서 공을 추출하는 것으로 구성됨)는 다음과 같습니다. 기본(가능한) 결과와 사건.기본 결과는 아래 색인이 있는 문자로 표시할 수 있습니다(예: k 1 , k 2 ).

이 예에서는 6개의 공이 있으므로 6개의 가능한 결과가 있습니다. 빨간 공이 나타났습니다. 파란 공이 나타났습니다. 이러한 결과가 쌍으로 호환되지 않는 이벤트의 완전한 그룹을 형성하고(반드시 하나의 공만 나타남) 동일한 가능성이 있음을 쉽게 알 수 있습니다(공이 무작위로 추출되고 공이 동일하고 완전히 혼합됨).

관심있는 사건이 발생하는 기본 결과, 우리는 호출합니다 유리한 결과이번 행사. 이 예에서는 이벤트가 선호됩니다. 하지만(색깔의 공 모양) 다음 5가지 결과:

따라서 이벤트 하지만테스트에서 하나가 발생하는지 여부에 관계없이 선호하는 기본 결과가 관찰됩니다. 하지만.이것은 상자에 5 조각이 들어있는 유색 공의 모양입니다.

기본 결과의 고려된 예에서 6; 그 중 5개는 이벤트를 선호합니다. 하지만.따라서, P(A)= 5/6. 이 숫자는 유색 공이 나타날 가능성의 정도를 정량화합니다.

확률 정의:

사건 A의 확률완전한 그룹을 형성하는 동등하게 가능한 모든 양립할 수 없는 기본 결과의 총 수에 대한 이 사건에 유리한 결과의 수의 비율입니다.

P(A)=m/n 또는 P(A)=m: n, 여기서:

m은 선호하는 기본 결과의 수입니다. 하지만;

피- 테스트의 가능한 모든 기본 결과의 수.

여기서는 기본 결과가 양립할 수 없고 확률이 동일하며 완전한 그룹을 형성한다고 가정합니다.

다음 속성은 확률의 정의에서 따릅니다.

1. 특정 사건의 확률은 1과 같습니다.

실제로 이벤트가 신뢰할 수 있는 경우 테스트의 각 기본 결과가 이벤트를 선호합니다. 이 경우 m = n따라서 p=1

2. 불가능한 사건의 확률은 0입니다.

실제로, 사건이 불가능하다면 재판의 어떤 기본 결과도 사건에 유리하지 않습니다. 이 경우 m=0, 따라서 p=0입니다.

3.무작위 사건의 확률은 0과 1 사이의 양수입니다. 0티< n.

다음 주제에서는 알려진 일부 이벤트의 확률에서 다른 이벤트의 확률을 찾을 수 있는 정리가 제공됩니다.

측정. 학생 그룹에는 6명의 소녀와 4명의 소년이 있습니다. 무작위로 선택된 학생이 여학생일 확률은 얼마입니까? 청년이 될까요?

p dev = 6 / 10 = 0.6 p jun = 4 / 10 = 0.4

현대의 엄밀한 확률 이론 과정에서 "확률"의 개념은 집합 이론을 기반으로 구축됩니다. 이 접근 방식 중 일부를 살펴보겠습니다.

테스트 결과 다음 이벤트 중 하나만 발생한다고 가정합니다. 내가(i=1, 2, .... n). 개발 내가, 라고 한다 기본 이벤트(기본 결과). 에 대한기본 이벤트는 쌍으로 호환되지 않습니다. 시련에 나타날 수 있는 모든 기본 사건의 집합을 초등학교 행사장Ω (그리스 문자 오메가 대문자) 및 기본 이벤트 자체 - 이 공간의 포인트..

이벤트 하지만요소가 선호하는 기본 결과인 부분집합(공간 Ω)으로 식별 하지만;이벤트 입력요소가 선호하는 결과인 부분집합 Ω입니다. 입력,따라서 테스트에서 발생할 수 있는 모든 이벤트의 집합은 Ω의 모든 하위 집합의 집합입니다. Ω 자체는 테스트의 결과에 대해 발생하므로 Ω은 특정 이벤트입니다. 공간 Ω의 빈 부분 집합은 -불가능한 이벤트입니다(테스트 결과에 대해 발생하지 않음).

기본 사건은 주제에 따라 모든 사건과 구별됩니다. "각각은 하나의 요소 만 포함합니다.

모든 기본 결과에 내가양수 일치 피 나는는 이 결과의 확률이고 모든 피 나는 1과 같거나 합계의 부호와 함께 이 사실은 다음 식으로 작성됩니다.

정의에 따르면 확률 아빠)개발 하지만선호하는 기본 결과의 확률의 합과 같습니다. 하지만.따라서 특정 이벤트의 확률은 1과 같으며 불가능하며 임의적이며 0과 1 사이입니다.

모든 결과의 확률이 동일할 때 중요한 특정 경우를 살펴보겠습니다. 결과의 수가 l이고 모든 결과의 확률의 합은 1입니다. 따라서 각 결과의 확률은 1/n입니다. 이벤트하자 하지만 m개의 결과를 선호합니다.

사건 확률 하지만선호하는 결과의 확률의 합과 같습니다. 하지만:

P(A)=1/n + 1/n+… +1/n = n 1/n=1

확률의 고전적인 정의를 얻습니다.

여전히 공리적"확률"의 개념에 접근합니다. 공리의 시스템에서 제안. Kolmogorov A.N., 정의되지 않은 개념은 기본 이벤트와 확률입니다. 논리적으로 완전한 확률 이론의 구성은 무작위 사건과 그 확률의 공리적 정의를 기반으로 합니다.

확률을 정의하는 공리는 다음과 같습니다.

1. 모든 이벤트 하지만음수가 아닌 실수 할당 아빠).이 숫자를 사건의 확률이라고 합니다. 하지만.

2. 특정 이벤트의 확률은 1과 같습니다.

3. 쌍으로 호환되지 않는 이벤트 중 적어도 하나가 발생할 확률은 이러한 이벤트의 확률의 합과 같습니다.

이러한 공리를 바탕으로 이들 간의 관계에 대한 확률의 속성은 정리로 파생됩니다.

간략한 이론

사건의 발생 가능성 정도에 따른 사건의 양적 비교를 위해 사건의 확률이라고 하는 수치적 측정이 도입됩니다. 무작위 사건의 확률사건의 발생에 대한 객관적인 가능성의 척도를 나타내는 숫자라고 합니다.

사건의 발생을 계산하는 객관적인 근거가 얼마나 중요한지를 결정하는 값은 사건의 확률로 특징 지어집니다. 확률은 인지자와 독립적으로 존재하고 사건의 발생에 기여하는 조건의 총체에 의해 조건이 되는 객관적인 양이라는 점을 강조해야 합니다.

확률 개념에 대한 설명은 이 개념을 정량적으로 정의하지 않기 때문에 수학적 정의가 아닙니다. 특정 문제(고전적, 공리적, 통계적 등)를 해결하는 데 널리 사용되는 무작위 사건의 확률에 대한 몇 가지 정의가 있습니다.

사건의 확률에 대한 고전적 정의는 이 개념을 더 이상 정의 대상이 아니며 직관적으로 명확한 것으로 가정되는 동등하게 가능한 사건의 보다 기본적인 개념으로 축소합니다. 예를 들어, 주사위가 균질한 정육면체라면 이 정육면체의 어떤 면에서도 낙진이 발생할 확률은 동일합니다.

어떤 사건을 동등하게 일어날 수 있는 사건으로 나누고 그 합이 사건을 제공한다고 하자. 즉, 그 중 하나의 출현이 공세를 보장하기 때문에 그것이 분해되는 의 경우는 이벤트에 유리하다고 불립니다.

사건의 확률은 기호로 표시됩니다.

사건의 확률은 고유하고 동등하게 가능하고 양립할 수 없는 총 케이스 수에서 유리한 케이스 수의 비율과 같습니다.

이것은 확률의 고전적인 정의입니다. 따라서 사건의 확률을 찾으려면 테스트의 다양한 결과를 고려한 후 유일하게 가능하고 동등하게 가능하며 양립할 수 없는 경우의 집합을 찾고 총 수 n, 다음과 같은 경우의 수 m을 계산해야 합니다. 이 이벤트를 선호하고 위의 공식에 따라 계산을 수행하십시오.

경험의 총 결과 수에 대한 사건에 유리한 경험의 결과 수의 비율과 같은 사건의 확률을 호출합니다. 고전적 확률랜덤 이벤트.

확률의 다음 속성은 정의에서 따릅니다.

속성 1. 어떤 사건의 확률은 1과 같다.

속성 2. 불가능한 사건의 확률은 0입니다.

속성 3. 무작위 사건의 확률은 0과 1 사이의 양수입니다.

속성 4. 완전한 그룹을 형성하는 사건의 발생 확률은 1과 같습니다.

속성 5. 반대 이벤트가 발생할 확률은 이벤트 A가 발생할 확률과 같은 방식으로 정의됩니다.

반대 이벤트의 발생에 유리한 발생 횟수입니다. 따라서 반대 이벤트가 발생할 확률은 1과 이벤트 A가 발생할 확률의 차이와 같습니다.

사건의 확률에 대한 고전적인 정의의 중요한 이점은 그것의 도움으로 사건의 확률이 경험에 의존하지 않고 논리적 추론에 기초하여 결정될 수 있다는 것입니다.

일련의 조건이 충족되면 어떤 사건은 반드시 일어나고 불가능한 일은 반드시 일어나지 않습니다. 복잡한 조건이 만들어질 때 일어날 수도 있고 일어나지 않을 수도 있는 사건들 중에서 어떤 사람의 출현은 더 많은 이성으로, 다른 사람들은 덜 이성적인 출현으로 믿을 수 있습니다. 예를 들어 항아리에 검은 공보다 흰 공이 더 많다면 검은 공이 나오는 것보다 무작위로 항아리에서 꺼냈을 때 흰 공이 나오길 바라는 이유가 더 많다.

문제 해결 예

실시예 1

상자에는 흰색 공 8개, 검은색 공 4개, 빨간색 공 7개가 들어 있습니다. 3개의 공을 무작위로 뽑습니다. 다음 사건의 확률을 찾으십시오: - 적어도 1개의 빨간 공이 뽑혔습니다, - 적어도 2개의 같은 색 공이 있습니다, - 적어도 1개의 빨간 공과 1개의 흰 공이 있습니다.

문제의 해결책

테스트 결과의 총 수는 각각 3의 19(8 + 4 + 7) 요소의 조합 수로 찾습니다.

사건의 확률 찾기– 최소 1개의 빨간 공(1,2 또는 3개의 빨간 공)을 뽑았습니다.

필요한 확률:

이벤트하자- 같은 색의 공이 2개 이상 있어야 합니다(흰색 공 2~3개, 검은 공 2~3개, 빨간색 공 2~3개).

이벤트에 찬성하는 결과의 수:

필요한 확률:

이벤트하자– 적어도 하나의 빨간색 공과 하나의 흰색 공이 있습니다.

(빨간색 1개, 흰색 1개, 검정색 1개 또는 빨간색 1개, 흰색 2개 또는 빨간색 2개, 흰색 1개)

이벤트에 찬성하는 결과의 수:

필요한 확률:

답변: P(A)=0.773;P(C)=0.7688; P(D)=0.6068

실시예 2

두 개의 주사위가 던져집니다. 점의 합이 5 이상일 확률을 구합니다.

해결책

이벤트를 5보다 작지 않은 포인트의 합으로 둡니다.

확률의 고전적인 정의를 사용합시다.

가능한 시험 결과의 총 수

우리가 관심 있는 사건에 유리한 시행 횟수

첫 번째 주사위의 떨어진 면에는 1점, 2점 ..., 6점이 나타날 수 있습니다. 유사하게, 두 번째 주사위 굴림에서 6개의 결과가 가능합니다. 첫 번째 주사위의 각 결과는 두 번째 주사위의 각 결과와 결합될 수 있습니다. 따라서 테스트의 가능한 기본 결과의 총 수는 반복 배치 수와 같습니다(6권 세트에서 2개 요소 배치 선택).

반대 사건의 확률 찾기 - 점수의 합이 5보다 작음

다음과 같은 드롭 포인트 조합은 이벤트에 유리합니다.

№

첫 번째 뼈

두 번째 뼈

확률의 기하학적 정의가 제시되고 잘 알려진 회의 문제의 솔루션이 제공됩니다.

3) P(Æ)=0.

우리는 주어진 것을 말할 것입니다 확률 공간, 기본 결과9의 공간이 주어지고 해당

w i ® P(w i ) = Pi .

문제가 발생합니다. 해결되는 문제의 특정 조건에서 개별 기본 결과의 확률 P(wi )를 결정하는 방법은 무엇입니까?

확률의 고전적인 정의.

확률 P(wi)는 주어진 실험(실험 자체 전)의 특정 조건을 분석하는 것으로 구성된 선험적 접근 방식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

기본 결과의 공간이 유한한 수 N의 기본 결과로 구성되고 이러한 N개의 기본 결과 각각의 확률이 동일하게 나타나는 무작위 실험이 있는 상황이 가능합니다. 이러한 무작위 실험의 예는 대칭 동전 던지기, 일반 주사위 던지기, 섞은 덱에서 카드 놀이 무작위 제거입니다. 도입된 공리 덕분에 각 기본 요소의 확률은

이 경우의 결과는 N 과 같습니다. 이로부터 사건 A가 N A 기본 결과를 포함한다면 정의에 따라 (*)

P(A) = A

이러한 종류의 상황에서 사건의 확률은 가능한 모든 결과의 총 수에 대한 유리한 결과의 수의 비율로 정의됩니다.

예시. 10개의 동일한 모양의 전기 램프가 포함된 세트에서 4개의 결함이 있는 램프에서 5개의 램프를 무작위로 선택합니다. 선택한 램프 중 결함이 있는 램프가 2개 있을 확률은 얼마입니까?

우선, 다섯 개의 램프 중 하나를 선택할 확률은 동일합니다. 총체적으로 그러한 5를 만드는 방법은 C 10 5 입니다. 즉, 이 경우의 무작위 실험은 C 10 5 동일 확률의 결과를 가집니다.

이러한 결과 중 "5개 중 2개의 결함 있는 램프가 있습니다"라는 조건, 즉 우리가 관심 있는 이벤트에 속하는 결과는 몇 개입니까?

우리가 관심을 갖고 있는 각각의 5개는 다음과 같이 구성할 수 있습니다. C 4 2 와 동일한 여러 가지 방법으로 수행할 수 있는 결함 있는 램프 2개를 선택합니다. 각 쌍의 불량 램프는 3개의 불량 램프로 보완할 수 있는 방법, 즉 6개 3번만큼 발생할 수 있습니다. 2를 포함하는 5의 수는

확률의 통계적 정의.

균일하지 않은 재료로 만든 주사위를 던지는 무작위 실험을 고려하십시오. 무게 중심은 기하학적 중심에 있지 않습니다. 이 경우 결과(1개, 2개 굴림 등)의 가능성을 동등하게 고려할 수 없습니다. 물리학에서는 무게 중심에 가까운 면에서 뼈가 더 자주 떨어지는 것으로 알려져 있습니다. 예를 들어 3점을 얻을 확률을 결정하는 방법은 무엇입니까? 당신이 할 수 있는 유일한 일은 주사위를 n번 던지고(n은 충분히 큰 숫자, 예를 들어 n=1000 또는 n=5000), 3이 나온 수를 세고 3이 나올 확률을 다음과 같이 계산하는 것입니다. n 3 /n - 3점 획득의 상대 빈도. 마찬가지로 나머지 기본 결과(1, 2, 4 등)의 확률을 결정할 수 있습니다. 이론적으로 이러한 조치는 다음을 도입함으로써 정당화될 수 있습니다. 확률의 통계적 정의.

확률 P(Mi )는 무작위 실험의 수 n이 무제한 증가하는 과정에서 결과 Mi가 발생하는 상대 빈도의 한계로 정의됩니다. 즉,

P i = P (Mi ) = lim m n (Mi ) , n ®¥n

여기서 m n (Mi )은 기본 결과 Mi의 발생이 등록된 무작위 실험의 수입니다(수행된 전체 무작위 실험 수 n 중).

여기에는 증거가 없기 때문에 마지막 공식의 한계가 존재하기를 바랄 뿐이며 희망을 삶의 경험과 직관으로 정당화합니다.

기하학적 확률

한 가지 특별한 경우에 셀 수 없는 결과 집합이 있는 무작위 실험에 대한 이벤트 확률을 정의해 보겠습니다.

무작위 실험의 기본 결과 집합 W와 평평한 도형 S(큰 시그마)의 점 집합 사이에 일대일 대응이 설정될 수 있고 사이에도 일대일 대응이 설정될 수 있다면 사건 A를 선호하는 기본 결과 집합과 그림 S의 일부인 평면 그림 I(작은 시그마)의 점 집합, 다음

P(A) = S ,

여기서 s는 그림 s의 면적, S는 그림 S의 면적입니다.

예시. 12시부터 13시까지 영업하는 식당에서 두 사람이 점심을 먹는다. 그들 각각은 임의의 시간에 와서 10분 동안 점심을 먹습니다. 그들의 만남의 가능성은 무엇입니까?

x를 첫 번째 식당에 도착한 시간, аy를 두 번째 식당에 도착한 시간

£12 x £13; £12y £13.

모든 숫자 쌍(x ;y )(또는 결과 집합)과 좌표 평면에서 한 변이 1인 정사각형의 점 집합 사이에 일대일 대응 관계를 설정할 수 있습니다. 여기서 원점은 다음과 같습니다. 그림 6과 같이 x축과 y축의 숫자 12. 여기서 예를 들어 점 A는 결과에 해당하며, 첫 번째는 12시 30분에, 두 번째는 - 13시에. 이 경우 분명히

회의는 열리지 않았다.

첫 번째 것이 두 번째 것보다 늦어도 도착했다면(y ³ x),

회의는 0 £ y - x £ 1/6 조건에서 발생합니다.

(10분은 1/6시간입니다).

두 번째 것이 첫 번째 것보다 늦게 도착했다면(x ³ y),

회의는 0 £ x - y £ 1/6..의 조건에서 발생합니다.

많은 유리한 결과 사이

미팅, 그리고 에 묘사된 영역의 포인트 세트

그림 7은 음영 형태로 설치할 수 있습니다.

일대일 대응.

원하는 확률 p는 면적의 비율과 같습니다.

전체 정사각형의 면적에 대한 면적 s.. 정사각형의 면적

는 1이고 영역 s의 면적은 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

단위와 2의 총 면적의 차이

그림 7에 표시된 삼각형.

p=1 -

연속 확률 공간.

앞에서 언급했듯이 기본 결과 집합은 셀 수 있는 것(즉, 셀 수 없는 것) 이상일 수 있습니다. 이 경우 집합 W의 부분 집합은 이벤트로 간주될 수 없습니다.

무작위 사건의 정의를 소개하기 위해 기본 결과 공간 W의 부분 집합 A 1 , A 2 ,... A n 의 시스템(유한 또는 가산)을 고려하십시오.

세 가지 조건이 충족되는 경우: 1) W는 이 시스템에 속합니다.

2) 이 시스템에서 A의 구성원은 이 시스템에서 A의 구성원을 의미합니다.

3) 이 시스템에서 A i 와 A j 의 구성원은 이 시스템에서 A i U A j 의 구성원임을 의미합니다.

이러한 부분 집합 시스템을 대수라고 합니다.

W를 기본 결과의 일부 공간으로 하자. 두 하위 집합 시스템이 다음과 같은지 확인합니다.

1) W ,Æ ; 2) W , A , A , Æ (여기서 A 는 W 의 부분 집합임)는 대수학입니다.

A 1 과 A 2 가 어떤 대수학에 속한다고 하자. A 1 \A 2 와 A 1 ∩ A 2 가 이 대수학에 속함을 증명하십시오.

기본 결과 9의 셀 수 없는 집합의 부분 집합 A는 대수에 속하는 경우 사건입니다.

A.N.이라는 공리를 공식화합시다. 콜모고로프.

각 이벤트는 이벤트 A의 확률이라고 하는 1을 초과하지 않는 음이 아닌 숫자 P(A)에 해당하며 함수 P(A)는 다음 속성을 가집니다.

1) P(9)=1

2) 이벤트 A 1 ,A 2 ,...,An 이벤트가 호환되지 않는 경우

P (A 1 U A 2 U ... U A n) \u003d P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A n)

기본 결과의 공간 W, 사건의 대수 및 위 공리의 조건을 만족하는 함수 P가 정의되면 다음과 같이 말합니다. 확률 공간.

확률 공간의 이러한 정의는 기본 결과 W의 유한 공간의 경우로 확장될 수 있습니다. 그런 다음 대수학으로 집합 W의 모든 부분 집합의 시스템을 사용할 수 있습니다.

확률 덧셈 공식.

위 공리의 2번 지점에서 A1과 A2가 양립할 수 없는 사건이라면,

P (A 1 U A 2) \u003d P (A 1) + P (A 2)

A 1 과 A 2 가 공동 사건이면 A 1 U A 2 =(A 1 \A 2 )U A 2 이고 A 1 \A 2 와 A 2 는 양립할 수 없는 사건임이 분명합니다. 이것은 다음을 의미합니다.

P(A1UA2) =P(A1\A2)+P(A2)

또한 A 1 = (A1 \A 2 )U (A 1 ∩ A 2 ), A1 \A 2 와 A 1 ∩ A 2 는 양립할 수 없는 사건이라는 것이 분명합니다. A1 \A 2 ) +P (A 1 ∩ A 2 ) 이 공식에서 P (A1 \A 2 )에 대한 표현식을 찾아 공식 (*)의 우변에 대입하십시오. 결과적으로 확률을 추가하는 공식을 얻습니다.

P(A 1 U A 2 ) = P(A 1 ) +P(A 2 ) –P(A 1 ∩ A 2 )

마지막 공식에서 A 1 ∩ A 2 =Æ 를 설정하면 호환되지 않는 이벤트에 대한 확률을 추가하는 공식을 쉽게 얻을 수 있습니다.

예시. 32장의 덱에서 무작위로 한 장의 카드를 선택하여 에이스 또는 하트 한 벌을 뽑을 확률을 찾으십시오.

P (ACE) \u003d 4/32 \u003d 1/8, P (하트 슈트) \u003d 8/32 \u003d 1/4;

P(하트의 에이스) = 1/32;

P ((ACE) U (하트 슈트)) \u003d 1/8 + 1/4 - 1/32 \u003d 11/32

유리한 결과의 수를 다시 계산하여 확률의 고전적 정의를 사용하여 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.

조건부 확률.

문제를 생각해 봅시다. 시험 전에 학생은 1부터 5까지, 26부터 30까지의 숫자가 있는 30장의 티켓을 학습했습니다. 배운 티켓을 꺼냈어?

기본 결과의 공간을 정의합시다: W =(1,2,3,...,28,29,30). A = (1,...,5,25,...,30,) 이벤트 A는 학생이 학습된 티켓을 꺼낸 것이고 이벤트 B는 학생이 처음 20장에서 티켓을 꺼낸 것입니다. B = ( 1,2,3,...,20)

사건 A ∩ B는 (1,2,3,4,5)의 다섯 가지 결과로 구성되며 확률은 5/30입니다. 이 숫자는 5/20과 20/30의 곱으로 나타낼 수 있습니다. 숫자 20/30은 사건 B의 확률입니다. 숫자 5/20은 사건 B가 발생한 경우 사건 A의 확률로 간주될 수 있습니다(P(A/B)로 표시하겠습니다). 따라서 문제의 해는 공식에 의해 결정됩니다.

P (A ∩ B) \u003d P (A / B) P (B)

이 공식을 확률 곱셈 공식이라고 하며, 확률 P(A/B)는 사건 A의 조건부 확률입니다.

예 .. 7개의 흰색 공과 3개의 검은색 공이 들어 있는 항아리에서 두 개의 공이 무작위로 차례로 뽑힙니다(교체 없음). 첫 번째 공이 흰색이고 두 번째 공이 검은색일 확률은 얼마입니까?

첫 번째 추첨이 흰색 공인 경우를 X라고 하고 두 번째 추첨이 검은 공인 경우를 Y라고 합니다. 그러면 X ∩ Y는 첫 번째 공이 흰색이고 두 번째 공이 검은색일 경우입니다. P(Y /X ) =3/9 =1/3은 두 번째 공이 검은 공을 그릴 조건부 확률입니다. 공을 먼저 뽑았다. P (X ) = 7/10을 고려하면 확률 곱셈 공식에 따라 다음을 얻습니다. P (X ∩ Y ) = 7/30

P(A / B) = P(A ). 독립 사건의 정의를 위해 우리는 마지막 공식과 곱셈 공식의 결과를 취할 수 있습니다

P (A ∩ B) \u003d P (A) P (B)

A와 B가 독립 사건이면 A와 B도 독립 사건임을 스스로 증명하십시오.

예 이전 문제와 유사하지만 한 가지 추가 조건이 있는 문제를 고려하십시오. 첫 번째 공을 그린 후 색상을 기억하고 공을 항아리에 반환한 다음 모든 공을 섞습니다. 이 경우 두 번째 추출의 결과는 첫 번째 추출 중에 어떤 공(검은색 또는 흰색)이 나타났는지에 따라 달라지지 않습니다. 흰 공이 먼저 나타날 확률(사건 A)은 7/10입니다. 두 번째 검은 공이 출현하는 사건 B의 확률은 3/10입니다. 이제 곱셈 공식은 다음과 같습니다. P(A ∩ B) = 21/100.

이 예에서 설명한 방식으로 볼을 추출하는 것을 반환과 함께 가져오기또는 리턴 샘플링.

마지막 두 가지 예에서 흰색 및 검은색 공의 초기 수를 각각 7000 및 3000으로 설정하면 동일한 확률을 계산한 결과가 반환 및 취소할 수 없는 샘플에 대해 무시할 수 있을 정도로 작습니다.