세그먼트의 중간점을 찾는 공식입니다. 세그먼트 중간점 좌표 찾기: 예, 솔루션

21.06.2024

아래 기사에서는 세그먼트의 극점 좌표가 초기 데이터로 사용 가능한 경우 세그먼트 중간의 좌표를 찾는 문제를 다룰 것입니다. 하지만 문제를 연구하기 전에 몇 가지 정의를 소개하겠습니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1 정의 1

선분– 선분의 끝이라고 불리는 임의의 두 점을 연결하는 직선. 예를 들어 점 A와 B, 그에 따른 세그먼트 A B를 가정해 보겠습니다.

세그먼트 A B가 점 A와 B에서 양방향으로 계속되면 직선 A B를 얻습니다. 그런 다음 세그먼트 A B는 점 A와 B로 둘러싸인 결과 직선의 일부입니다. 세그먼트 A B는 끝인 점 A와 B와 그 사이에 있는 점 집합을 결합합니다. 예를 들어 점 A와 B 사이에 있는 임의의 점 K를 취하면 점 K가 선분 A B에 있다고 말할 수 있습니다.

정의 2

단면 길이– 주어진 축척(단위 길이의 세그먼트)에서 세그먼트 끝 사이의 거리. 세그먼트 A B의 길이를 다음과 같이 표시하겠습니다. A B .

정의 3

세그먼트의 중간점– 세그먼트에 있고 끝에서 등거리에 있는 점입니다. 세그먼트 A B의 중간이 점 C로 지정되면 동등성이 적용됩니다. A C = C B

초기 데이터: 좌표선 O x와 그 위의 일치하지 않는 점: A와 B. 이 점은 실수에 해당합니다. x A 및 xB . 점 C는 세그먼트 A B의 중간입니다. 좌표를 결정해야 합니다. xC.

C 지점은 A B 세그먼트의 중간 지점이므로 동일성은 true입니다. | 교류 | = | CB | . 점 사이의 거리는 좌표 차이의 계수에 의해 결정됩니다.

| 교류 | = | CB | ⇔ x C - x A = x B - x C

그러면 두 가지 등식이 가능합니다: x C - x A = x B - x C 및 x C - x A = - (x B - x C)

첫 번째 동일성에서 우리는 점 C의 좌표에 대한 공식을 도출합니다: x C = x A + x B 2 (세그먼트 끝 좌표의 합의 절반).

두 번째 평등으로부터 우리는 x A = x B를 얻습니다. 이는 불가능합니다. 왜냐하면 소스 데이터에서 - 일치하지 않는 지점. 따라서, 끝 A (x A)가 있는 세그먼트 A B의 중간 좌표를 결정하는 공식비(xB):

결과 공식은 평면이나 공간에서 세그먼트 중간의 좌표를 결정하는 기초가 됩니다.

초기 데이터: O x y 평면의 직각 좌표계, 주어진 좌표 A x A, y A 및 B x B, y B를 갖는 두 개의 임의의 일치하지 않는 점. 점 C는 세그먼트 A B의 중간입니다. C점의 xC와 yC 좌표를 결정하는 것이 필요합니다.

점 A와 B가 일치하지 않고 동일한 좌표선이나 축 중 하나에 수직인 선에 있지 않은 경우를 분석해 보겠습니다. A x , A Y ; B x, B y 및 C x, C y - 좌표축(직선 O x 및 O y)에 점 A, B 및 C를 투영합니다.

구성에 따르면 선 A A x, B B x, C C x는 평행합니다. 선도 서로 평행합니다. 이와 함께 탈레스의 정리에 따르면 평등 A C = C B에서 평등은 다음과 같습니다: A x C x = C x B x 및 A y C y = C y B y, 그리고 이는 차례로 점 C x가 다음임을 나타냅니다. 세그먼트 A x B x의 중간이고 C y는 세그먼트 A y B y의 중간입니다. 그리고 앞서 얻은 공식을 바탕으로 다음을 얻습니다.

xC = xA + xB2 및 yC = yA + yB2

점 A와 B가 동일한 좌표선 또는 축 중 하나에 수직인 선에 있는 경우에도 동일한 공식을 사용할 수 있습니다. 이 사례에 대한 자세한 분석은 수행하지 않고 그래픽으로만 고려할 것입니다.

위의 내용을 모두 요약하면, 끝 좌표가 있는 평면의 세그먼트 A B 중간 좌표 A (x A , y A) 그리고비(xB, yB) 다음과 같이 정의됩니다.:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

초기 데이터: 좌표계 O x y z와 주어진 좌표 A(x A, y A, z A) 및 B(x B, y B, z B)를 갖는 임의의 두 점. A B 선분의 중앙인 C 점의 좌표를 결정해야 합니다.

A x , A Y , A z ; B x , B y , B z 및 C x , C y , C z - 좌표계 축의 모든 주어진 점을 투영합니다.

탈레스의 정리에 따르면 다음 등식이 성립합니다: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

따라서 점 C x , C y , C z 는 각각 A x B x , A y B y , A z B z 세그먼트의 중간점입니다. 그 다음에, 공간에서 세그먼트 중앙의 좌표를 결정하려면 다음 공식이 정확합니다.

xC = xA + xB2, yc = yA + yB2, zc = zA + ZB2

결과 공식은 점 A와 B가 좌표선 중 하나에 있는 경우에도 적용 가능합니다. 축 중 하나에 수직인 직선으로; 하나의 좌표 평면 또는 좌표 평면 중 하나에 수직인 평면.

끝의 반경 벡터 좌표를 통해 세그먼트 중간의 좌표를 결정합니다.

선분의 중앙 좌표를 찾는 공식은 벡터의 대수적 해석에 따라 유도될 수도 있습니다.

초기 데이터: 직사각형 직교 좌표계 O x y, 주어진 좌표 A(x A, y A) 및 B(x B, x B)를 갖는 점. 점 C는 세그먼트 A B의 중간입니다.

벡터에 대한 동작의 기하학적 정의에 따르면 다음과 같은 등식이 성립합니다. O C → = 1 2 · O A → + O B → . 이 경우 점 C는 벡터 O A → 및 O B →를 기반으로 구성된 평행 사변형 대각선의 교차점입니다. 대각선 중앙의 점 점의 반경 벡터 좌표는 점의 좌표와 동일하며 등식은 다음과 같습니다. O A → = (x A, y A), O B → = (x B , y B). 좌표의 벡터에 대해 몇 가지 작업을 수행하고 다음을 얻습니다.

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

따라서 점 C의 좌표는 다음과 같습니다.

x A + x B 2 , y A + y B 2

유사하게 공간에서 세그먼트 중간의 좌표를 찾는 공식이 결정됩니다.

C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)

세그먼트의 중간점 좌표를 찾는 문제 해결의 예

위에서 구한 공식을 사용하는 것과 관련된 문제 중에는 세그먼트 중앙의 좌표를 계산하는 것이 직접적인 질문이고, 이 질문에 주어진 조건을 가져오는 것과 관련된 문제가 있습니다: "중앙값"이라는 용어 자주 사용되는 경우 목표는 세그먼트 끝에서 하나의 좌표를 찾는 것이며 대칭 문제도 흔히 발생하며 일반적으로 이 주제를 연구한 후에도 해결책이 어려움을 초래해서는 안 됩니다. 대표적인 예를 살펴보겠습니다.

실시예 1

초기 데이터:평면에서 - 주어진 좌표 A(-7, 3) 및 B(2, 4)를 가진 점입니다. 세그먼트 A B의 중간점 좌표를 찾는 것이 필요합니다.

해결책

A B 세그먼트의 중간을 점 C로 표시합시다. 해당 좌표는 세그먼트 끝 좌표의 합의 절반으로 결정됩니다. A와 B 지점.

xC = xA + xB 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

답변: 세그먼트 A B - 5 2, 7 2의 중간 좌표.

실시예 2

초기 데이터:삼각형 A B C의 좌표는 A (-1, 0), B (3, 2), C (9, - 8)로 알려져 있습니다. 중앙값 A M의 길이를 구해야 합니다.

해결책

문제의 조건에 따르면 A M 은 중앙값입니다. 이는 M 이 세그먼트 B C 의 중간점임을 의미합니다. 먼저 B C 선분의 중앙 좌표, 즉 M 포인트:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3

이제 중앙값의 양쪽 끝(점 A와 M)의 좌표를 알고 있으므로 공식을 사용하여 점 사이의 거리를 결정하고 중앙값 A M의 길이를 계산할 수 있습니다.

A M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

답변: 58

실시예 3

초기 데이터: 3차원 공간의 직교좌표계에서 평행육면체 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1이 주어진다. 점 C 1의 좌표는 (1, 1, 0)으로 지정되고 대각선 B D 1의 중간점이며 좌표 M(4, 2, - 4)을 갖는 점 M도 정의됩니다. A점의 좌표를 계산해야 합니다.

해결책

평행육면체의 대각선은 모든 대각선의 중간점인 한 점에서 교차합니다. 이 진술을 바탕으로 문제의 조건에서 알려진 점 M이 세그먼트 A C 1의 중간점이라는 것을 명심할 수 있습니다. 공간에서 세그먼트 중앙의 좌표를 찾는 공식을 기반으로 점 A의 좌표를 찾습니다. x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y C 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z C 1 = 2 · (-4) - 0 = - 8

답변:점 A의 좌표(7, 3, - 8).

텍스트에 오류가 있으면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르세요.

문제 C2에서는 세그먼트를 양분하는 점을 사용하여 작업해야 하는 경우가 매우 많습니다. 세그먼트 끝의 좌표를 알고 있으면 이러한 점의 좌표를 쉽게 계산할 수 있습니다.

따라서 세그먼트를 끝점(점 A = (x a; y a; z a) 및 B = (x b; y b; z b))으로 정의하겠습니다. 그런 다음 세그먼트 중간의 좌표(점 H로 표시)는 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

즉, 세그먼트 중앙의 좌표는 끝 부분 좌표의 산술 평균입니다.

· 일 . 단위 입방체 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1은 x, y 및 z 축이 각각 모서리 AB, AD 및 AA 1을 따라 향하고 원점이 점 A와 일치하도록 좌표계에 배치됩니다. 점 K는 다음과 같습니다. 가장자리 A 1 B 1 의 중앙. 이 지점의 좌표를 찾으세요.

해결책. 점 K는 세그먼트 A 1 B 1의 중간이므로 해당 좌표는 끝 좌표의 산술 평균과 같습니다. 끝의 좌표를 적어 보겠습니다. A 1 = (0; 0; 1) 및 B 1 = (1; 0; 1). 이제 점 K의 좌표를 찾아보겠습니다.

답변: K = (0.5; 0; 1)

· 일 . 단위 입방체 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1은 x, y 및 z 축이 각각 AB, AD 및 AA 1의 모서리를 향하고 원점이 A 점과 일치하도록 좌표계에 배치됩니다. 정사각형 A 1 B 1 C 1 D 1 의 대각선과 교차하는 점 L의 좌표입니다.

해결책. 면적 측정 과정을 통해 우리는 정사각형의 대각선 교차점이 모든 꼭지점에서 등거리에 있다는 것을 알고 있습니다. 특히, A 1 L = C 1 L, 즉 점 L은 세그먼트 A 1 C 1의 중간입니다. 그러나 A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1)이므로 다음과 같습니다.

답변: L = (0.5; 0.5; 1)

분석 기하학의 가장 간단한 문제.
좌표의 벡터를 사용한 동작

완전 자동으로 고려되는 작업을 해결하는 방법과 공식을 배우는 것이 좋습니다. 암기하다, 의도적으로 기억할 필요조차 없으며 스스로 기억할 것입니다 =) 분석 기하학의 다른 문제는 가장 간단한 기본 예를 기반으로하고 폰을 먹는 데 추가 시간을 소비하는 것이 짜증스러울 것이기 때문에 이것은 매우 중요합니다. . 셔츠의 상단 단추를 채울 필요가 없습니다. 학교에서 익숙한 많은 것들이 있습니다.

자료의 발표는 평면과 공간 모두에 대해 평행한 과정을 따릅니다. 모든 공식은... 직접 확인하실 수 있기 때문입니다.

A(X 1; y 1) 및 B(x 2; y 2)를 임의의 두 점으로 설정하고 C(x; y)를 세그먼트 AB의 중간점으로 설정합니다. 점 C의 x, y 좌표를 구해 봅시다.

먼저 세그먼트 AB가 y축과 평행하지 않은 경우, 즉 X 1 X 2를 고려해 보겠습니다. 점 A, B, C를 지나 y축에 평행한 직선을 그리겠습니다(그림 173). 그들은 A 1 (X 1; 0), B 1 (X 2; 0), C 1 (x; 0) 지점에서 x 축과 교차합니다. 탈레스의 정리에 따르면 점 C 1은 세그먼트 A 1 B 1의 중간점이 됩니다.

점 C 1이 세그먼트 AiBi의 중간이므로 A 1 C 1 = B 1 C 1입니다. 이는 Ix - X 1 I = Ix - X 2 I를 의미합니다. x - x 1 = x - x 2 또는 (x - x 1) = -(x-x 2)입니다.
x 1 x 2이므로 첫 번째 평등은 불가능합니다. 그러므로 두 번째는 사실이다. 그리고 이것으로부터 우리는 공식을 얻습니다.

x 1 =x 2, 즉 선분 AB가 y축에 평행하면 세 점 A 1, B 1, C 1은 모두 동일한 가로좌표를 갖습니다. 이는 이 경우에도 공식이 그대로 유지된다는 것을 의미합니다.
C점의 세로 좌표도 비슷하게 구합니다. 점 A, B, C를 통해 x축에 평행하게 직선이 그려집니다. 공식은 다음과 같습니다.

문제 (15). 평행사변형 ABCD의 세 꼭짓점: A(1; 0), B(2; 3), C(3; 2)가 주어졌습니다. 네 번째 꼭지점 D의 좌표와 대각선의 교차점을 찾습니다.

해결책. 대각선의 교차점은 각 대각선의 중간점입니다. 따라서 선분 AC의 중간점이므로 좌표가 있음을 의미합니다.

이제 대각선의 교차점 좌표를 알면 네 번째 꼭지점 D의 x, y 좌표를 찾습니다. 대각선의 교차점이 세그먼트 BD의 중간점이라는 사실을 사용하여 다음을 얻습니다.

A. V. Pogorelov, 7-11학년용 기하학, 교육 기관용 교과서

공간에 데카르트 좌표를 도입합니다. 점 사이의 거리. 세그먼트 중간점의 좌표입니다.

수업 목표:

교육적인: 좌표계의 개념과 공간상의 한 점의 좌표를 고려하십시오. 좌표로 거리 공식을 도출합니다. 세그먼트의 중간점 좌표에 대한 공식을 도출합니다.

교육적인: 학생들의 공간적 상상력 개발을 촉진합니다. 학생들의 문제해결력 발달과 논리적 사고력 발달에 기여합니다.

교육적인: 인지 활동, 책임감, 의사소통 문화, 대화 문화를 조성합니다.

장비 : 도면용품, 프리젠테이션, 디지털 디자인 센터

수업 유형: 새로운 자료 학습에 대한 수업

수업 구조:

정리 시간.

기본 지식을 업데이트합니다.

새로운 자료를 학습합니다.

새로운 지식 업데이트

강의 요약.

수업 중

역사의 메시지 " 데카르트 좌표계"(학습자)

기하학적, 물리적, 화학적 문제를 해결할 때 직사각형, 극좌표, 원통형, 구형 등 다양한 좌표계를 사용할 수 있습니다.

교양과정에서는 평면과 공간에서의 직각좌표계를 공부한다. 그렇지 않으면 기하학에 좌표를 처음 도입한 프랑스의 과학자 철학자 르네 데카르트(1596~1650)의 이름을 따서 데카르트 좌표계라고 부릅니다.

(르네 데카르트에 관한 학생의 이야기.)

르네 데카르트는 1596년 프랑스 남부 라에(Lae)라는 도시의 귀족 가문에서 태어났습니다. 아버지는 르네를 장교로 만들고 싶어하셨습니다. 이를 위해 그는 1613년에 르네를 파리로 보냈습니다. 데카르트는 네덜란드, 독일, 헝가리, 체코, 이탈리아의 군사 캠페인과 La Rochalie의 Huguenot 요새 포위 공격에 참여하면서 군대에서 수년을 보내야했습니다. 그러나 르네는 철학, 물리학, 수학에 관심이 있었습니다. 파리에 도착한 직후 그는 당시 저명한 수학자였던 Vieta의 학생 인 Mersen과 프랑스의 다른 수학자들을 만났습니다. 군대에 있는 동안 데카르트는 자유 시간을 모두 수학에 바쳤습니다. 그는 독일 대수학과 프랑스어, 그리스 수학을 공부했습니다.

1628년 라 로샬리(La Rochalie)를 점령한 후 데카르트는 군대를 떠났습니다. 그는 과학 연구를 위한 광범위한 계획을 실행하기 위해 고독한 삶을 살고 있습니다.

데카르트는 당대의 가장 위대한 철학자이자 수학자였습니다. 데카르트의 가장 유명한 작품은 그의 기하학입니다. 데카르트는 오늘날 모든 사람이 사용하는 좌표계를 도입했습니다. 그는 숫자와 선분 사이의 대응 관계를 확립하여 기하학에 대수적 방법을 도입했습니다. 데카르트의 이러한 발견은 기하학과 수학과 광학의 다른 분야 모두의 발전에 큰 자극을주었습니다. 좌표 평면, 숫자(세그먼트)에 수량의 의존성을 그래픽으로 묘사하고 세그먼트 및 기타 기하학적 수량과 다양한 기능에 대한 산술 연산을 수행하는 것이 가능해졌습니다. 그것은 아름다움, 우아함, 단순함으로 구별되는 완전히 새로운 방법이었습니다.

되풀이. 평면의 직사각형 좌표계.

질문:

평면상의 좌표계를 무엇이라고 합니까?

평면 위의 한 점의 좌표는 어떻게 결정되나요?

원점의 좌표는 무엇입니까?

선분의 중간점 좌표와 평면 위의 점 사이의 거리를 구하는 공식은 무엇입니까?

새로운 자료 학습:

공간의 직교 좌표계는 공통 원점을 갖는 서로 수직인 세 개의 좌표선입니다. 공통 원산지는 문자로 표시됩니다영형.

아 - 가로축,

Oy – 세로축,

에 대한지– 축 적용