লগারিদম সহ সহজ কাজ। লগারিদমের বৈশিষ্ট্য এবং তাদের সমাধানের উদাহরণ

প্রাকৃতিক লগারিদমের প্রধান বৈশিষ্ট্য, গ্রাফ, সংজ্ঞার ডোমেইন, মানের সেট, মৌলিক সূত্র, ডেরিভেটিভ, ইন্টিগ্রাল, পাওয়ার সিরিজে বিস্তৃতি এবং জটিল সংখ্যার মাধ্যমে ln x ফাংশনের উপস্থাপনা দেওয়া হয়েছে।

সংজ্ঞা

প্রাকৃতিক লগারিদমফাংশন y = ln x, সূচকের বিপরীত, x \u003d e y , এবং যা e সংখ্যাটির ভিত্তির লগারিদম: ln x = লগ ই x.

প্রাকৃতিক লগারিদম গণিতে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় কারণ এর ডেরিভেটিভের সবচেয়ে সহজ রূপ রয়েছে: (ln x)′ = 1/ x.

ভিত্তিক সংজ্ঞা, প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি হল সংখ্যা e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

ফাংশনের গ্রাফ y = ln x.

প্রাকৃতিক লগারিদমের গ্রাফ (ফাংশন y = ln x) সরলরেখা y = x সম্পর্কে আয়নার প্রতিফলন দ্বারা সূচকের গ্রাফ থেকে প্রাপ্ত হয়।

প্রাকৃতিক লগারিদম সংজ্ঞায়িত করা হয় এ ইতিবাচক মানপরিবর্তনশীল x। এটি একঘেয়েভাবে তার সংজ্ঞার ডোমেনে বৃদ্ধি পায়।

x → হিসাবে 0 প্রাকৃতিক লগারিদমের সীমা হল বিয়োগ অসীম ( - ∞ )।

x → + ∞ হিসাবে, প্রাকৃতিক লগারিদমের সীমা প্লাস ইনফিনিটি ( + ∞ )। বড় x এর জন্য, লগারিদম বরং ধীরে ধীরে বৃদ্ধি পায়। যে কোনো পাওয়ার ফাংশন x a একটি ধনাত্মক সূচক a লগারিদমের চেয়ে দ্রুত বৃদ্ধি পায়।

প্রাকৃতিক লগারিদমের বৈশিষ্ট্য

সংজ্ঞার ডোমেন, মান সেট, চরম, বৃদ্ধি, হ্রাস

প্রাকৃতিক লগারিদম একটি একঘেয়ে ক্রমবর্ধমান ফাংশন, তাই এটির কোন চরমতা নেই। প্রাকৃতিক লগারিদমের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি টেবিলে উপস্থাপন করা হয়েছে।

ln x মান

লগ 1 = 0

প্রাকৃতিক লগারিদমের জন্য মৌলিক সূত্র

বিপরীত ফাংশনের সংজ্ঞা থেকে উদ্ভূত সূত্র:

লগারিদমের প্রধান বৈশিষ্ট্য এবং এর ফলাফল

বেস প্রতিস্থাপন সূত্র

বেস পরিবর্তন সূত্র ব্যবহার করে যে কোনো লগারিদম প্রাকৃতিক লগারিদমের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা যেতে পারে:

এই সূত্রগুলির প্রমাণগুলি "লগারিদম" বিভাগে উপস্থাপন করা হয়েছে।

বিপরীত ফাংশন

প্রাকৃতিক লগারিদমের পারস্পরিক সূচক হল সূচক।

যদি, তাহলে

যদি, তাহলে.

ডেরিভেটিভ ln x

প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভ:
.
মডিউল x এর প্রাকৃতিক লগারিদমের ডেরিভেটিভ:
.
nম ক্রম থেকে ডেরিভেটিভ:
.
সূত্রের ব্যুৎপত্তি >>>

অবিচ্ছেদ্য

অখণ্ড অংশ দ্বারা একীকরণ দ্বারা গণনা করা হয়:
.
তাই,

জটিল সংখ্যার পরিপ্রেক্ষিতে অভিব্যক্তি

একটি জটিল পরিবর্তনশীল z এর একটি ফাংশন বিবেচনা করুন:
.
জটিল চলকটি প্রকাশ করা যাক zমডিউল মাধ্যমে rএবং যুক্তি φ :
.
লগারিদমের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, আমাদের আছে:
.
বা
.
যুক্তি φ অনন্যভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় না। যদি আমরা রাখি
, যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা,
তাহলে এটি ভিন্ন n এর জন্য একই সংখ্যা হবে।

অতএব, প্রাকৃতিক লগারিদম, একটি জটিল চলকের একটি ফাংশন হিসাবে, একটি একক-মূল্যবান ফাংশন নয়।

পাওয়ার সিরিজ সম্প্রসারণ

জন্য, সম্প্রসারণ ঘটে:

তথ্যসূত্র:
ভিতরে. ব্রনস্টেইন, কে.এ. সেমেন্দ্যায়েভ, উচ্চতর শিক্ষা প্রতিষ্ঠানের ইঞ্জিনিয়ার এবং শিক্ষার্থীদের জন্য গণিতের হ্যান্ডবুক, ল্যান, 2009।

আপনার গোপনীয়তা আমাদের কাছে গুরুত্বপূর্ণ। এই কারণে, আমরা একটি গোপনীয়তা নীতি তৈরি করেছি যা বর্ণনা করে যে আমরা কীভাবে আপনার তথ্য ব্যবহার করি এবং সংরক্ষণ করি। অনুগ্রহ করে আমাদের গোপনীয়তা নীতি পড়ুন এবং আপনার কোন প্রশ্ন থাকলে আমাদের জানান।

ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ এবং ব্যবহার

ব্যক্তিগত তথ্য বলতে এমন ডেটা বোঝায় যা একটি নির্দিষ্ট ব্যক্তিকে সনাক্ত করতে বা যোগাযোগ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

আপনি আমাদের সাথে যোগাযোগ করার সময় আপনাকে আপনার ব্যক্তিগত তথ্য প্রদান করতে বলা হতে পারে।

আমরা যে ধরনের ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ করতে পারি এবং কীভাবে আমরা এই ধরনের তথ্য ব্যবহার করতে পারি তার কিছু উদাহরণ নিচে দেওয়া হল।

আমরা কোন ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ করি:

• আপনি যখন সাইটে একটি আবেদন জমা দেন, আমরা আপনার নাম, ফোন নম্বর, ঠিকানা সহ বিভিন্ন তথ্য সংগ্রহ করতে পারি ইমেইলইত্যাদি

আমরা কীভাবে আপনার ব্যক্তিগত তথ্য ব্যবহার করি:

• আমরা যে ব্যক্তিগত তথ্য সংগ্রহ করি তা আমাদের আপনার সাথে যোগাযোগ করতে এবং অনন্য অফার, প্রচার এবং অন্যান্য ইভেন্ট এবং আসন্ন ইভেন্টগুলি সম্পর্কে আপনাকে জানাতে দেয়।
• সময়ে সময়ে, আমরা আপনাকে গুরুত্বপূর্ণ নোটিশ এবং যোগাযোগ পাঠাতে আপনার ব্যক্তিগত তথ্য ব্যবহার করতে পারি।
• এছাড়াও আমরা অভ্যন্তরীণ উদ্দেশ্যে ব্যক্তিগত তথ্য ব্যবহার করতে পারি, যেমন অডিট, ডেটা বিশ্লেষণ এবং বিভিন্ন গবেষণা পরিচালনা করার জন্য আমরা যে পরিষেবাগুলি প্রদান করি তা উন্নত করতে এবং আপনাকে আমাদের পরিষেবাগুলির বিষয়ে সুপারিশগুলি প্রদান করি৷
• আপনি যদি একটি পুরস্কারের ড্র, প্রতিযোগিতা বা অনুরূপ প্রণোদনা দেন, তাহলে আমরা এই ধরনের প্রোগ্রাম পরিচালনা করতে আপনার দেওয়া তথ্য ব্যবহার করতে পারি।

তৃতীয় পক্ষের কাছে প্রকাশ

আমরা তৃতীয় পক্ষের কাছে আপনার কাছ থেকে প্রাপ্ত তথ্য প্রকাশ করি না।

ব্যতিক্রম:

• আইন অনুযায়ী, বিচার বিভাগীয় আদেশ অনুযায়ী, আইনি কার্যক্রমে এবং/অথবা রাশিয়ান ফেডারেশনের ভূখণ্ডে রাষ্ট্রীয় সংস্থার অনুরোধের ভিত্তিতে - আপনার ব্যক্তিগত তথ্য প্রকাশ করুন। আমরা আপনার সম্পর্কে তথ্য প্রকাশ করতে পারি যদি আমরা নির্ধারণ করি যে এই ধরনের প্রকাশ নিরাপত্তা, আইন প্রয়োগকারী বা অন্যান্য জনস্বার্থের উদ্দেশ্যে প্রয়োজনীয় বা উপযুক্ত।
• একটি পুনর্গঠন, একত্রীকরণ বা বিক্রয়ের ক্ষেত্রে, আমরা প্রাসঙ্গিক তৃতীয় পক্ষের উত্তরাধিকারীর কাছে আমাদের সংগ্রহ করা ব্যক্তিগত তথ্য স্থানান্তর করতে পারি।

ব্যক্তিগত তথ্য সুরক্ষা

আমরা সতর্কতা অবলম্বন করি - প্রশাসনিক, প্রযুক্তিগত এবং শারীরিক সহ - আপনার ব্যক্তিগত তথ্য ক্ষতি, চুরি এবং অপব্যবহার, সেইসাথে অননুমোদিত অ্যাক্সেস, প্রকাশ, পরিবর্তন এবং ধ্বংস থেকে রক্ষা করতে।

কোম্পানি পর্যায়ে আপনার গোপনীয়তা বজায় রাখা

আপনার ব্যক্তিগত তথ্য সুরক্ষিত তা নিশ্চিত করার জন্য, আমরা আমাদের কর্মীদের গোপনীয়তা এবং নিরাপত্তা অনুশীলনের সাথে যোগাযোগ করি এবং গোপনীয়তা অনুশীলনগুলি কঠোরভাবে প্রয়োগ করি।

(গ্রীক থেকে λόγος - "শব্দ", "সম্পর্ক" এবং ἀριθμός - "সংখ্যা") সংখ্যা খকারণে ক(লগ α খ) কে এমন একটি সংখ্যা বলা হয় গ, এবং খ= একটি গ, অর্থাৎ লগ α খ=গএবং b=aগসমতুল্য লগারিদম বোঝা যায় যদি a > 0, a ≠ 1, b > 0 হয়।

অন্য কথায় লগারিদমসংখ্যা খকারণে কএকটি সূচক হিসাবে প্রণয়ন করা হয়েছে যাতে একটি সংখ্যা অবশ্যই বাড়াতে হবে কনম্বর পেতে খ(লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক সংখ্যার জন্য বিদ্যমান)।

এই সূত্র থেকে এটি অনুসরণ করে যে গণনা x= log α খ, সমীকরণ a x = b সমাধান করার সমতুল্য।

এই ক্ষেত্রে:

লগ 2 8 = 3 কারণ 8=2 3।

আমরা লক্ষ করি যে লগারিদমের নির্দেশিত সূত্রটি অবিলম্বে নির্ধারণ করা সম্ভব করে তোলে লগারিদম মানযখন লগারিদমের চিহ্নের নীচে থাকা সংখ্যাটি বেসের একটি নির্দিষ্ট শক্তি। প্রকৃতপক্ষে, লগারিদম প্রণয়ন এটা সম্ভব করে তোলে যে ন্যায্যতা যদি b=a গ, তারপর সংখ্যার লগারিদম খকারণে কসমান সঙ্গে. এটাও স্পষ্ট যে লগারিদমের বিষয়টি বিষয়ের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত সংখ্যা ডিগ্রী.

লগারিদমের গণনা উল্লেখ করা হয় লগারিদম. লগারিদম হল লগারিদম নেওয়ার গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ। লগারিদম নেওয়ার সময়, গুণনীয়কগুলির গুণফল পদের যোগফলগুলিতে রূপান্তরিত হয়।

সম্ভাবনালগারিদমের বিপরীতে গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ। সম্ভাব্যতা করার সময়, প্রদত্ত বেসটি অভিব্যক্তির শক্তিতে উত্থাপিত হয় যার উপর পোটেনশিয়ান সঞ্চালিত হয়। এই ক্ষেত্রে, পদের যোগফল গুণনীয়কের গুণে রূপান্তরিত হয়।

প্রায়শই, বেস 2 (বাইনারী), e অয়লার সংখ্যা e ≈ 2.718 (প্রাকৃতিক লগারিদম) এবং 10 (দশমিক) সহ বাস্তব লগারিদম ব্যবহার করা হয়।

এই পর্যায়ে, এটি বিবেচনা করা মূল্যবান লগারিদমের নমুনালগ 7 2 , ln √ 5, lg0.0001।

এবং এন্ট্রি lg (-3), লগ -3 3.2, লগ -1 -4.3 অর্থপূর্ণ নয়, যেহেতু তাদের প্রথমটিতে লগারিদমের চিহ্নের নীচে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা স্থাপন করা হয়েছে, দ্বিতীয়টিতে - একটি ঋণাত্মক সংখ্যা বেস, এবং তৃতীয়টিতে - এবং বেসে লগারিদম এবং ইউনিটের চিহ্নের অধীনে একটি নেতিবাচক সংখ্যা।

লগারিদম নির্ধারণের শর্তাবলী।

a > 0, a ≠ 1, b > 0 শর্তগুলি আলাদাভাবে বিবেচনা করা উচিত। লগারিদমের সংজ্ঞা।আসুন বিবেচনা করা যাক কেন এই নিষেধাজ্ঞাগুলি নেওয়া হয়। এটি x = log α ফর্মের একটি সমতা নিয়ে আমাদের সাহায্য করবে খ, যাকে বলা হয় মৌলিক লগারিদমিক পরিচয়, যা সরাসরি উপরে দেওয়া লগারিদমের সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে।

শর্ত নিন a≠1. যেহেতু একটি যেকোন শক্তির সমান, তাহলে সমতা x=log α খতখনই থাকতে পারে যখন b=1, কিন্তু লগ 1 1 যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হবে। এই অস্পষ্টতা দূর করতে, আমরা নিতে a≠1.

আসুন শর্তের প্রয়োজনীয়তা প্রমাণ করি a>0. এ a=0লগারিদম গঠন অনুসারে, শুধুমাত্র তখনই বিদ্যমান থাকতে পারে b=0. এবং তারপর সেই অনুযায়ী লগ 0 0যে কোনো অ-শূন্য বাস্তব সংখ্যা হতে পারে, যেহেতু শূন্য থেকে যেকোনো অ-শূন্য শক্তি শূন্য। এই অস্পষ্টতা দূর করতে শর্ত a≠0. এবং কখন ক<0 লগারিদমের যৌক্তিক এবং অযৌক্তিক মানের বিশ্লেষণকে আমাদের প্রত্যাখ্যান করতে হবে, যেহেতু একটি যৌক্তিক এবং অযৌক্তিক সূচক সহ সূচকটি শুধুমাত্র অ-নেতিবাচক ভিত্তিগুলির জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়। এ কারণেই এমন অবস্থা a>0.

আর শেষ শর্ত b>0অসমতা থেকে অনুসরণ করে a>0, কারণ x=log α খ, এবং একটি ইতিবাচক ভিত্তি সহ ডিগ্রীর মান কসবসময় ইতিবাচক.

লগারিদমের বৈশিষ্ট্য।

লগারিদমস্বাতন্ত্র্যসূচক দ্বারা চিহ্নিত বৈশিষ্ট্য, যা তাদের ব্যাপক ব্যবহারে শ্রমসাধ্য গণনাকে সহজতর করার জন্য নেতৃত্ব দিয়েছে। "লগারিদমের জগতে" রূপান্তরে, গুণকে অনেক সহজ যোগে রূপান্তরিত করা হয়, ভাগকে বিয়োগে ভাগ করা হয়, এবং একটি শক্তিতে উত্থাপন করা এবং একটি মূল নেওয়া যথাক্রমে একটি সূচক দ্বারা গুণ এবং ভাগে রূপান্তরিত হয়।

লগারিদম এবং তাদের মানগুলির একটি সারণী (ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের জন্য) প্রথম 1614 সালে স্কটিশ গণিতবিদ জন নেপিয়ার দ্বারা প্রকাশিত হয়েছিল। লগারিদমিক টেবিল, অন্যান্য বিজ্ঞানীদের দ্বারা বর্ধিত এবং বিস্তারিত, বৈজ্ঞানিক এবং প্রকৌশল গণনার ক্ষেত্রে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়েছিল এবং ইলেকট্রনিক ক্যালকুলেটর এবং কম্পিউটার ব্যবহার করা শুরু হওয়া পর্যন্ত প্রাসঙ্গিক ছিল।

লগারিদম, যেকোনো সংখ্যার মতো, প্রতিটি সম্ভাব্য উপায়ে যোগ, বিয়োগ এবং রূপান্তর করা যেতে পারে। কিন্তু লগারিদমগুলো যেহেতু সাধারণ সংখ্যা নয়, তাই এখানে নিয়ম আছে, যেগুলোকে বলা হয় মৌলিক বৈশিষ্ট্য.

এই নিয়মগুলি অবশ্যই জানা উচিত - এগুলি ছাড়া কোনও গুরুতর লগারিদমিক সমস্যা সমাধান করা যায় না। উপরন্তু, তাদের মধ্যে খুব কম আছে - সবকিছু একদিনে শেখা যায়। চল শুরু করা যাক.

লগারিদমের যোগ ও বিয়োগ

একই বেস সহ দুটি লগারিদম বিবেচনা করুন: লগ ক এক্সএবং লগ ক y. তারপর তারা যোগ এবং বিয়োগ করা যেতে পারে, এবং:

1. লগ ক এক্স+লগ ক y= লগ ক (এক্স · y);
2. লগ ক এক্স-লগ ক y= লগ ক (এক্স : y).

সুতরাং, লগারিদমের যোগফল গুণফলের লগারিদমের সমান, এবং পার্থক্য হল ভাগফলের লগারিদম। বিঃদ্রঃ: মূল মুহূর্তএখানে - একই ভিত্তি. ঘাঁটি ভিন্ন হলে এসব নিয়ম কাজ করে না!

এই সূত্রগুলি আপনাকে লগারিদমিক অভিব্যক্তি গণনা করতে সাহায্য করবে এমনকি যখন এর পৃথক অংশগুলি বিবেচনা করা হয় না (পাঠটি দেখুন "লগারিদম কী")। উদাহরণগুলি দেখুন এবং দেখুন:

লগ 6 4 + লগ 6 9।

যেহেতু লগারিদমের ভিত্তি একই, আমরা সমষ্টি সূত্রটি ব্যবহার করি:
লগ 6 4 + লগ 6 9 = লগ 6 (4 9) = লগ 6 36 = 2।

টাস্ক। রাশিটির মান খুঁজুন: log 2 48 − log 2 3।

ভিত্তিগুলি একই, আমরা পার্থক্য সূত্র ব্যবহার করি:
লগ 2 48 - লগ 2 3 = লগ 2 (48: 3) = লগ 2 16 = 4।

টাস্ক। রাশিটির মান খুঁজুন: log 3 135 − log 3 5।

আবার, ঘাঁটি একই, তাই আমাদের আছে:
লগ 3 135 − লগ 3 5 = লগ 3 (135: 5) = লগ 3 27 = 3।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, মূল অভিব্যক্তিগুলি "খারাপ" লগারিদম দিয়ে তৈরি, যা আলাদাভাবে বিবেচনা করা হয় না। কিন্তু রূপান্তরের পর বেশ স্বাভাবিক সংখ্যা বের হয়। এই সত্যের উপর ভিত্তি করে, অনেক পরীক্ষার কাগজপত্র. হ্যাঁ, নিয়ন্ত্রণ - সমস্ত গম্ভীরতায় অনুরূপ অভিব্যক্তি (কখনও কখনও - কার্যত কোন পরিবর্তন ছাড়াই) পরীক্ষায় দেওয়া হয়।

লগারিদম থেকে সূচকটি সরানো হচ্ছে

এখন কাজটা একটু জটিল করা যাক। লগারিদমের ভিত্তি বা যুক্তিতে ডিগ্রি থাকলে কী হবে? তাহলে নিম্নোক্ত নিয়ম অনুসারে লগারিদমের চিহ্ন থেকে এই ডিগ্রির সূচকটিকে বের করা যেতে পারে:

এটা দেখতে সহজ যে শেষ নিয়ম তাদের প্রথম দুটি অনুসরণ করে। কিন্তু যাইহোক এটি মনে রাখা ভাল - কিছু ক্ষেত্রে এটি গণনার পরিমাণ উল্লেখযোগ্যভাবে হ্রাস করবে।

অবশ্যই, যদি ODZ লগারিদম পালন করা হয় তবে এই সমস্ত নিয়মগুলি বোঝা যায়: ক > 0, ক ≠ 1, এক্স> 0. এবং আরও একটি জিনিস: সমস্ত সূত্র শুধু বাম থেকে ডানে নয়, বরং উল্টোটাও প্রয়োগ করতে শিখুন, যেমন লগারিদমের চিহ্নের আগে আপনি লগারিদমের মধ্যেই সংখ্যা লিখতে পারেন। এটি প্রায়শই প্রয়োজন হয়।

টাস্ক। রাশিটির মান খুঁজুন: log 7 49 6।

প্রথম সূত্র অনুযায়ী যুক্তিতে ডিগ্রী থেকে পরিত্রাণ করা যাক:
লগ 7 49 6 = 6 লগ 7 49 = 6 2 = 12

টাস্ক। অভিব্যক্তির মান খুঁজুন:

[চিত্রে ক্যাপশন]

মনে রাখবেন যে হর হল একটি লগারিদম যার ভিত্তি এবং যুক্তি সঠিক ক্ষমতা: 16 = 2 4 ; 49 = 72। আমাদের আছে:

[চিত্রে ক্যাপশন]

আমি মনে করি শেষ উদাহরণটির ব্যাখ্যা প্রয়োজন। লগারিদম কোথায় গেছে? একেবারে শেষ মুহূর্ত পর্যন্ত, আমরা শুধুমাত্র হর নিয়ে কাজ করি। তারা সেখানে ডিগ্রি আকারে দাঁড়িয়ে লগারিদমের ভিত্তি এবং যুক্তি উপস্থাপন করেছে এবং সূচকগুলি বের করেছে - তারা একটি "তিন-তলা" ভগ্নাংশ পেয়েছে।

এখন মূল ভগ্নাংশের দিকে নজর দেওয়া যাক। লব এবং হর একই সংখ্যা আছে: লগ 2 7। যেহেতু লগ 2 7 ≠ 0, আমরা ভগ্নাংশ কমাতে পারি - 2/4 হর থাকবে। পাটিগণিতের নিয়ম অনুসারে, চারটি লবটিতে স্থানান্তর করা যেতে পারে, যা করা হয়েছিল। ফলাফল হল উত্তর: 2.

একটি নতুন ভিত্তি পরিবর্তন

লগারিদম যোগ এবং বিয়োগ করার নিয়ম সম্পর্কে বলতে গিয়ে, আমি বিশেষভাবে জোর দিয়েছিলাম যে তারা শুধুমাত্র একই বেসগুলির সাথে কাজ করে। ঘাঁটি ভিন্ন হলে কি হবে? যদি তারা একই সংখ্যার সঠিক শক্তি না হয়?

একটি নতুন ঘাঁটিতে রূপান্তরের সূত্র উদ্ধারে আসে। আমরা তাদের একটি উপপাদ্য আকারে গঠন করি:

লগারিদম লগ করা যাক ক এক্স. তারপর যেকোনো নম্বরের জন্য গযেমন যে গ> 0 এবং গ≠ 1, সমতা সত্য:

[চিত্রে ক্যাপশন]

বিশেষ করে, যদি আমরা করা গ = এক্স, আমরা পেতে:

[চিত্রে ক্যাপশন]

এটি দ্বিতীয় সূত্র থেকে অনুসরণ করে যে লগারিদমের ভিত্তি এবং যুক্তি বিনিময় করা সম্ভব, তবে এই ক্ষেত্রে পুরো অভিব্যক্তিটি "পরিবর্তিত" হয়, অর্থাৎ লগারিদম হর এর মধ্যে আছে।

এই সূত্রগুলি খুব কমই সাধারণ পাওয়া যায় সংখ্যাসূচক অভিব্যক্তি. সিদ্ধান্ত নেওয়ার সময়ই তারা কতটা সুবিধাজনক তা মূল্যায়ন করা সম্ভব লগারিদমিক সমীকরণএবং অসমতা।

যাইহোক, এমন কিছু কাজ রয়েছে যেগুলি একটি নতুন ভিত্তিতে চলে যাওয়া ছাড়া একেবারেই সমাধান করা যায় না। এর কয়েকটি বিবেচনা করা যাক:

টাস্ক। অভিব্যক্তিটির মান খুঁজুন: log 5 16 log 2 25।

লক্ষ্য করুন যে উভয় লগারিদমের আর্গুমেন্টই সঠিক সূচক। আসুন সূচকগুলি বের করা যাক: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

এখন দ্বিতীয় লগারিদম উল্টানো যাক:

[চিত্রে ক্যাপশন]

যেহেতু গুণনীয়কগুলির স্থানান্তর থেকে পণ্যটি পরিবর্তিত হয় না, তাই আমরা শান্তভাবে চার এবং দুইকে গুণ করেছি এবং তারপর লগারিদমগুলি বের করেছি।

টাস্ক। রাশিটির মান নির্ণয় কর: log 9 100 lg 3।

প্রথম লগারিদমের ভিত্তি এবং যুক্তি হল সঠিক শক্তি। আসুন এটি লিখুন এবং সূচকগুলি থেকে মুক্তি পান:

[চিত্রে ক্যাপশন]

এখন একটি নতুন বেসে যাওয়ার মাধ্যমে দশমিক লগারিদম থেকে পরিত্রাণ করা যাক:

[চিত্রে ক্যাপশন]

মৌলিক লগারিদমিক পরিচয়

প্রায়শই সমাধানের প্রক্রিয়ায় একটি প্রদত্ত বেসের লগারিদম হিসাবে একটি সংখ্যা উপস্থাপন করতে হয়। এই ক্ষেত্রে, সূত্র আমাদের সাহায্য করবে:

প্রথম ক্ষেত্রে, সংখ্যা nযুক্তির সূচক হয়ে ওঠে। সংখ্যা nএকেবারে যেকোনও হতে পারে, কারণ এটা শুধু লগারিদমের মান।

দ্বিতীয় সূত্রটি আসলে একটি প্যারাফ্রেজড সংজ্ঞা। এটাকে বলে: মৌলিক লগারিদমিক পরিচয়.

আসলেই সংখ্যা হলে কি হবে খক্ষমতা বাড়াতে যাতে খএই পরিমাণ একটি সংখ্যা দেয় ক? এটা ঠিক: এটি একই সংখ্যা ক. এই অনুচ্ছেদটি আবার মনোযোগ সহকারে পড়ুন - অনেক লোক এটিতে "ঝুলেছে"।

নতুন বেস রূপান্তর সূত্রের মতো, মৌলিক লগারিদমিক পরিচয় কখনও কখনও একমাত্র সম্ভাব্য সমাধান।

টাস্ক। অভিব্যক্তির মান খুঁজুন:

[চিত্রে ক্যাপশন]

লক্ষ্য করুন যে লগ 25 64 = লগ 5 8 - শুধু বেস থেকে বর্গক্ষেত্র এবং লগারিদমের যুক্তি বের করেছে। দিয়ে ক্ষমতা গুন করার নিয়ম দেওয়া হয়েছে একই ভিত্তি, আমরা পেতে:

[চিত্রে ক্যাপশন]

যদি কেউ জানেন না, এটি পরীক্ষা থেকে একটি বাস্তব কাজ ছিল :)

লগারিদমিক একক এবং লগারিদমিক শূন্য

উপসংহারে, আমি দুটি পরিচয় দেব যেগুলিকে বৈশিষ্ট্য বলা কঠিন - বরং, এগুলি লগারিদমের সংজ্ঞার ফলাফল। তারা ক্রমাগত সমস্যার মধ্যে পাওয়া যায় এবং, আশ্চর্যজনকভাবে, এমনকি "উন্নত" শিক্ষার্থীদের জন্য সমস্যা তৈরি করে।

1. লগ ক ক= 1 হল লগারিদমিক একক। একবার এবং সব জন্য মনে রাখবেন: যেকোনো বেসের লগারিদম কএই বেস থেকে নিজেই একের সমান।
2. লগ ক 1 = 0 হল লগারিদমিক শূন্য। বেস কযেকোনো কিছু হতে পারে, কিন্তু যুক্তি এক হলে লগারিদম শূন্য! কারণ ক 0 = 1 হল সংজ্ঞার প্রত্যক্ষ ফলাফল।

যে সব বৈশিষ্ট্য. অনুশীলনে তাদের নির্বাণ অনুশীলন করতে ভুলবেন না! পাঠের শুরুতে চিট শীটটি ডাউনলোড করুন, এটি প্রিন্ট করুন এবং সমস্যাগুলি সমাধান করুন।

একটি সংখ্যার লগারিদম এন কারণে ক সূচক বলা হয় এক্স , যা আপনাকে বাড়াতে হবে ক নম্বর পেতে এন

যে প্রদান
,
,

এটি লগারিদমের সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে যে
, অর্থাৎ
- এই সমতা হল মৌলিক লগারিদমিক পরিচয়।

লগারিদম থেকে বেস 10 কে দশমিক লগারিদম বলে। পরিবর্তে
লিখুন
.

বেস লগারিদম e প্রাকৃতিক বলা হয় এবং চিহ্নিত করা হয়
.

লগারিদমের মৌলিক বৈশিষ্ট্য।

যেকোনো ভিত্তির জন্য একতার লগারিদম শূন্য

গুণনীয়কের লগারিদমের সমষ্টির গুণফলের লগারিদম সমান।

3) ভাগফলের লগারিদম লগারিদমের পার্থক্যের সমান

ফ্যাক্টর
বেসে লগারিদম থেকে রূপান্তরের মডুলাস বলা হয় ক বেসে লগারিদম খ .

বৈশিষ্ট্য 2-5 ব্যবহার করে, লগারিদমের সাধারণ গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের ফলে একটি জটিল অভিব্যক্তির লগারিদম হ্রাস করা প্রায়ই সম্ভব।

এই ক্ষেত্রে,

লগারিদমের এই ধরনের রূপান্তরকে লগারিদম বলে। লগারিদমের পারস্পরিক ট্রান্সফরমেশনকে পটেনশিয়ান বলে।

অধ্যায় 2. উচ্চতর গণিতের উপাদান।

1. সীমা

ফাংশন সীমা
একটি সসীম সংখ্যা A যদি, চেষ্টা করার সময় xx 0 প্রতিটি পূর্বনির্ধারিত জন্য
, একটি সংখ্যা আছে
যে যত তাড়াতাড়ি
, তারপর
.

একটি ফাংশন যার একটি সীমা আছে একটি অসীম পরিমাণ দ্বারা এটি থেকে পৃথক:
, যেখানে - b.m.w., i.e.
.

উদাহরণ। ফাংশন বিবেচনা করুন
.

যখন প্রচেষ্টা
, ফাংশন y শূন্যে যায়:

1.1। সীমা সম্পর্কে মৌলিক উপপাদ্য।

একটি ধ্রুবক মানের সীমা এই ধ্রুবক মানের সমান

.

একটি সসীম সংখ্যক ফাংশনের যোগফলের (পার্থক্য) সীমা এই ফাংশনগুলির সীমার যোগফলের (পার্থক্য) সমান।

একটি সসীম সংখ্যক ফাংশনের গুণফলের সীমা এই ফাংশনের সীমার গুণফলের সমান।

দুটি ফাংশনের ভাগফলের সীমা এই ফাংশনের সীমার ভাগফলের সমান যদি হরটির সীমা শূন্যের সমান না হয়।

উল্লেখযোগ্য সীমা

,
, কোথায়

1.2। সীমা গণনার উদাহরণ

যাইহোক, সমস্ত সীমা এত সহজে গণনা করা হয় না। প্রায়শই, সীমার গণনা টাইপ অনিশ্চয়তার প্রকাশের জন্য হ্রাস করা হয়: অথবা

.

2. একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ

আমাদের একটি ফাংশন আছে
, সেগমেন্টে একটানা
.

যুক্তি কিছু বুস্ট পেয়েছি
. তারপর ফাংশন বৃদ্ধি করা হবে
.

যুক্তি মান ফাংশনের মানের সাথে মিলে যায়
.

যুক্তি মান
ফাংশনের মানের সাথে মিলে যায়।

তাই, .

আমাদের এই সম্পর্কের সীমা খুঁজে দিন
. যদি এই সীমাটি বিদ্যমান থাকে তবে এটিকে প্রদত্ত ফাংশনের ডেরিভেটিভ বলা হয়।

একটি প্রদত্ত ফাংশনের 3 ডেরিভেটিভের সংজ্ঞা
যুক্তি দ্বারা আর্গুমেন্টের বৃদ্ধির সাথে ফাংশনের বৃদ্ধির অনুপাতের সীমাকে বলা হয়, যখন যুক্তির বৃদ্ধি নির্বিচারে শূন্য হয়ে যায়।

ফাংশন ডেরিভেটিভ
নিম্নলিখিত হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে:

; ; ; .

সংজ্ঞা 4 একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার অপারেশন বলা হয় পৃথকীকরণ.

2.1। ডেরিভেটিভের যান্ত্রিক অর্থ।

কিছু অনমনীয় শরীর বা বস্তুগত বিন্দুর রেকটিলাইনার গতি বিবেচনা করুন।

সময় কোন এক সময়ে যাক চলন্ত বিন্দু
দূরত্বে ছিল শুরুর অবস্থান থেকে
.

কিছু সময় পর
তিনি একটি দূরত্ব সরানো
. মনোভাব =- একটি উপাদান বিন্দুর গড় গতি
. আসুন আমরা এই অনুপাতের সীমা খুঁজে বের করি, এটি বিবেচনায় নিয়ে
.

ফলস্বরূপ, একটি বস্তুগত বিন্দুর তাত্ক্ষণিক বেগের সংকল্প সময়ের সাপেক্ষে পথের ডেরিভেটিভ খুঁজে পাওয়ার জন্য হ্রাস করা হয়।

2.2। ডেরিভেটিভের জ্যামিতিক মান

ধরুন আমরা একটি গ্রাফিক্যালি সংজ্ঞায়িত কিছু ফাংশন আছে
.

ভাত। 1. ডেরিভেটিভের জ্যামিতিক অর্থ

যদি
, তারপর বিন্দু
, বক্ররেখা বরাবর সরে যাবে, বিন্দুর কাছে আসবে
.

তাই
, অর্থাৎ আর্গুমেন্টের মান দিয়ে ডেরিভেটিভের মান অক্ষের ধনাত্মক দিক দিয়ে একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শক দ্বারা গঠিত কোণের স্পর্শককে সংখ্যাগতভাবে সমান করে
.

2.3। মৌলিক পার্থক্য সূত্রের সারণী।

পাওয়ার ফাংশন

ব্যাখ্যামূলক কাজ

লগারিদমিক ফাংশন

ত্রিকোণমিতিক ফাংশন

বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন

2.4। পার্থক্যের নিয়ম।

এর ডেরিভেটিভ

ফাংশনের যোগফল (পার্থক্য) এর ডেরিভেটিভ

দুটি ফাংশনের গুণফলের ডেরিভেটিভ

দুটি ফাংশনের ভাগফলের ডেরিভেটিভ

2.5। একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ।

ফাংশন যাক
যেমন এটি হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে

এবং
, যেখানে পরিবর্তনশীল একটি মধ্যবর্তী যুক্তি, তারপর

একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ x এর সাপেক্ষে মধ্যবর্তী আর্গুমেন্টের ডেরিভেটিভ দ্বারা প্রদত্ত ফাংশনের ডেরিভেটিভের গুণফলের সমান।

উদাহরণ 1.

উদাহরণ 2.

3. ফাংশন ডিফারেনশিয়াল।

হতে দিন
, কিছু ব্যবধানে পার্থক্যযোগ্য
এটা যেতে দিন এ এই ফাংশন একটি ডেরিভেটিভ আছে

,

তারপর আপনি লিখতে পারেন

(1),

কোথায় - একটি অসীম পরিমাণ,

কারণ এ

সমতার সকল পদকে (1) দ্বারা গুণ করা
আমাদের আছে:

কোথায়
- b.m.v. উচ্চতর ক্রম.

মান
ফাংশনের ডিফারেনশিয়াল বলা হয়
এবং নির্দেশিত

.

3.1। ডিফারেনশিয়ালের জ্যামিতিক মান।

ফাংশন যাক
.

চিত্র 2। ডিফারেনশিয়ালের জ্যামিতিক অর্থ।

.

স্পষ্টতই, ফাংশনের পার্থক্য
প্রদত্ত বিন্দুতে স্পর্শকের অর্ডিনেটের বৃদ্ধির সমান।

3.2। বিভিন্ন অর্ডারের ডেরিভেটিভ এবং ডিফারেনশিয়াল।

যদি থাকে
, তারপর
প্রথম ডেরিভেটিভ বলা হয়।

প্রথম ডেরিভেটিভের ডেরিভেটিভকে দ্বিতীয় অর্ডার ডেরিভেটিভ বলা হয় এবং লিখিত হয়
.

ফাংশনের nম ক্রম থেকে ডেরিভেটিভ
(n-1) আদেশের ডেরিভেটিভ বলা হয় এবং লেখা হয়:

.

একটি ফাংশনের ডিফারেনশিয়ালের ডিফারেনশিয়ালকে সেকেন্ড ডিফারেনশিয়াল বা সেকেন্ড অর্ডার ডিফারেনশিয়াল বলে।

.

.

3.3 পার্থক্য ব্যবহার করে জৈবিক সমস্যা সমাধান করা।

কার্যক্রম 1. গবেষণায় দেখা গেছে যে অণুজীবের উপনিবেশের বৃদ্ধি আইন মেনে চলে
, কোথায় এন - অণুজীবের সংখ্যা (হাজার হাজারে), t - সময় (দিন)।

খ) এই সময়ের মধ্যে উপনিবেশের জনসংখ্যা বাড়বে বা কমবে?

উত্তর. কলোনি আকারে বড় হবে।

টাস্ক 2. প্যাথোজেনিক ব্যাকটেরিয়ার বিষয়বস্তু নিয়ন্ত্রণ করতে হ্রদের পানি পর্যায়ক্রমে পরীক্ষা করা হয়। জুড়ে t পরীক্ষার কয়েক দিন পরে, ব্যাকটেরিয়ার ঘনত্ব অনুপাত দ্বারা নির্ধারিত হয়

.

কখন হ্রদে ব্যাকটেরিয়ার ন্যূনতম ঘনত্ব আসবে এবং তাতে সাঁতার কাটা সম্ভব হবে?

সমাধান একটি ফাংশন সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন পর্যন্ত পৌঁছায় যখন এর ডেরিভেটিভ শূন্য হয়।

,

সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন নির্ধারণ করা যাক 6 দিনের মধ্যে। এটি করার জন্য, আমরা দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ গ্রহণ করি।

উত্তর: 6 দিন পর ব্যাকটেরিয়া ন্যূনতম ঘনত্ব থাকবে।