বিভাজকদের তালিকা।সংজ্ঞা অনুসারে, সংখ্যা nপ্রাইম শুধুমাত্র যদি এটি 2 দ্বারা সমানভাবে বিভাজ্য না হয় এবং 1 এবং নিজে থেকে অন্য কোন পূর্ণসংখ্যা হয়। উপরের সূত্রটি অপ্রয়োজনীয় পদক্ষেপগুলি সরিয়ে দেয় এবং সময় বাঁচায়: উদাহরণস্বরূপ, একটি সংখ্যা 3 দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা পরীক্ষা করার পরে, এটি 9 দ্বারা বিভাজ্য কিনা তা পরীক্ষা করার দরকার নেই।
- ফ্লোর(x) ফাংশন x এর কাছাকাছি পূর্ণসংখ্যা x এর কম বা সমান।
মডুলার পাটিগণিত সম্পর্কে জানুন।অপারেশন "x mod y" (Mod হল ল্যাটিন শব্দ "modulo" এর জন্য সংক্ষিপ্ত, যার অর্থ "মডিউল") মানে "x দিয়ে y ভাগ করুন এবং অবশিষ্টটি খুঁজুন"। অন্য কথায়, মডুলার পাটিগণিতে, একটি নির্দিষ্ট মান পৌঁছানোর পরে, যাকে বলা হয় মডিউল, সংখ্যাগুলি শূন্যে ফিরে আসে। উদাহরণস্বরূপ, একটি ঘড়ি মডুলাস 12 এ সময় পরিমাপ করে: এটি 10, 11 এবং 12 বাজে এবং তারপর 1 এ ফিরে আসে।
- অনেক ক্যালকুলেটরের একটি মোড কী থাকে। এই বিভাগের শেষ দেখায় কিভাবে বড় সংখ্যার জন্য এই ফাংশনটি ম্যানুয়ালি গণনা করা যায়।
Fermat এর ছোট উপপাদ্য এর ক্ষতি সম্পর্কে জানুন.যে সমস্ত নম্বরগুলির জন্য পরীক্ষার শর্তগুলি পূরণ করা হয় না সেগুলি যৌগিক, তবে অবশিষ্ট নম্বরগুলি কেবলমাত্র সম্ভবতসহজ বলে মনে করা হয়। আপনি যদি ভুল ফলাফল এড়াতে চান, তাহলে দেখুন n"কারমাইকেল সংখ্যা" (প্রদত্ত পরীক্ষায় উত্তীর্ণ যৌগিক সংখ্যা) এবং "ছদ্ম" তালিকায় মৌলিক সংখ্যাখামার" (এই সংখ্যাগুলি শুধুমাত্র কিছু মানগুলির জন্য পরীক্ষার শর্তগুলির সাথে মিলে যায়৷ ক).
সুবিধাজনক হলে, মিলার-রাবিন পরীক্ষা ব্যবহার করুন।যদিও এই পদ্ধতিম্যানুয়াল গণনার জন্য বরং কষ্টকর, এটি প্রায়শই ব্যবহৃত হয় কম্পিউটার প্রোগ্রাম. এটি গ্রহণযোগ্য গতি প্রদান করে এবং Fermat এর পদ্ধতির তুলনায় কম ত্রুটি দেয়। একটি যৌগিক সংখ্যা মৌলিক সংখ্যা হিসাবে নেওয়া হবে না যদি ¼ মানের বেশি গণনা করা হয় ক. যদি আপনি এলোমেলোভাবে নির্বাচন করেন বিভিন্ন অর্থ কএবং তাদের সকলের জন্য পরীক্ষা একটি ইতিবাচক ফলাফল দেবে, আমরা মোটামুটি উচ্চ মাত্রার আত্মবিশ্বাসের সাথে ধরে নিতে পারি যে nএকটি মৌলিক সংখ্যা।
বড় সংখ্যার জন্য, মডুলার পাটিগণিত ব্যবহার করুন।যদি আপনার কাছে একটি মোড ক্যালকুলেটর সহজে না থাকে, অথবা যদি আপনার ক্যালকুলেটরটি এত বড় সংখ্যাগুলি পরিচালনা করার জন্য ডিজাইন করা না হয়, তাহলে গণনা সহজ করতে পাওয়ার বৈশিষ্ট্য এবং মডুলার গাণিতিক ব্যবহার করুন। নীচের জন্য একটি উদাহরণ 3 50 (\ ডিসপ্লেস্টাইল 3^(50))মোড 50:
- অভিব্যক্তিটিকে আরও সুবিধাজনক আকারে পুনরায় লিখুন: মোড 50। ম্যানুয়ালি গণনা করার সময়, আরও সরলীকরণের প্রয়োজন হতে পারে।
- (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. এখানে আমরা মডুলার গুণের বৈশিষ্ট্য বিবেচনা করেছি।
- 3 25 (\ ডিসপ্লেস্টাইল 3^(25)) mod 50 = 43।
- (3 25 (\ ডিসপ্লেস্টাইল (3^(25))মোড 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43))মোড 50।
- = 1849 (\displaystyle =1849)মোড 50।
- = 49 (\displaystyle=49).
- অনুবাদ
মৌলিক সংখ্যার বৈশিষ্ট্যগুলি প্রথম গণিতবিদদের দ্বারা অধ্যয়ন করা হয়েছিল প্রাচীন গ্রীস. গণিতবিদ পিথাগোরিয়ান স্কুল(500 - 300 BC) প্রাথমিকভাবে মৌলিক সংখ্যার রহস্যময় এবং সংখ্যাতাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্যগুলিতে আগ্রহী ছিলেন। তারাই প্রথম নিখুঁত এবং বন্ধুত্বপূর্ণ সংখ্যা সম্পর্কে ধারণা নিয়ে আসে।
একটি নিখুঁত সংখ্যার সমান নিজস্ব ভাজক রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, 6 নম্বরের সঠিক ভাজক হল: 1, 2 এবং 3। 1 + 2 + 3 = 6। 28 নম্বরের ভাজক হল 1, 2, 4, 7 এবং 14। তাছাড়া, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28।
সংখ্যাগুলিকে বন্ধুত্বপূর্ণ বলা হয় যদি একটি সংখ্যার সঠিক ভাজকের যোগফল অন্য একটি সংখ্যার সমান হয় এবং এর বিপরীতে - উদাহরণস্বরূপ, 220 এবং 284৷ আমরা বলতে পারি যে একটি নিখুঁত সংখ্যা নিজের জন্য বন্ধুত্বপূর্ণ৷
300 খ্রিস্টপূর্বাব্দে ইউক্লিডের "বিগিনিংস" এর কাজের আবির্ভাবের সময়। বেশ কয়েকটি ইতিমধ্যে প্রমাণিত হয়েছে গুরুত্বপূর্ণ ঘটনামৌলিক সংখ্যা সম্পর্কে। উপাদানগুলির IX বইতে, ইউক্লিড প্রমাণ করেছিলেন যে অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। যাইহোক, এটি দ্বন্দ্ব দ্বারা প্রমাণ ব্যবহারের প্রথম উদাহরণগুলির মধ্যে একটি। তিনি পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্যও প্রমাণ করেন - প্রতিটি পূর্ণসংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসেবে অনন্য উপায়ে উপস্থাপন করা যায়।
তিনি আরও দেখিয়েছেন যে 2 n -1 সংখ্যাটি মৌলিক হলে 2 n-1 * (2 n -1) সংখ্যাটি নিখুঁত হবে। 1747 সালে অন্য একজন গণিতবিদ অয়লার দেখাতে সক্ষম হন যে এই আকারে সমস্ত এমনকি নিখুঁত সংখ্যা লেখা যেতে পারে। আজ অবধি, বিজোড় নিখুঁত সংখ্যা বিদ্যমান কিনা তা জানা যায়নি।
200 খ্রিস্টপূর্বাব্দে গ্রীক ইরাটোসথেনিস মৌলিক সংখ্যা খুঁজে বের করার জন্য একটি অ্যালগরিদম নিয়ে এসেছিল যাকে বলা হয় সিভ অফ ইরাটোসথেনিস।
এবং তারপর মধ্যযুগের সাথে যুক্ত মৌলিক সংখ্যার অধ্যয়নের ইতিহাসে একটি বড় বিরতি ছিল।
নিম্নলিখিত আবিষ্কারগুলি ইতিমধ্যে 17 শতকের শুরুতে গণিতবিদ ফার্মাট দ্বারা তৈরি করা হয়েছিল। তিনি আলবার্ট গিরার্ডের অনুমান প্রমাণ করেছিলেন যে 4n+1 ফর্মের যেকোনো মৌলিক সংখ্যা লেখা যেতে পারে। একটি অনন্য উপায়েদুটি বর্গক্ষেত্রের সমষ্টি হিসাবে, এবং একটি উপপাদ্যও প্রণয়ন করেছে যে কোনও সংখ্যাকে চারটি বর্গক্ষেত্রের সমষ্টি হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে।
সে উন্নতি করেছিলো নতুন পদ্ধতিবৃহৎ সংখ্যার ফ্যাক্টরাইজেশন, এবং 2027651281 = 44021 × 46061 নম্বরে এটি প্রদর্শন করেছেন। তিনি ফার্ম্যাটের লিটল থিওরেমও প্রমাণ করেছেন: যদি p একটি মৌলিক সংখ্যা হয়, তাহলে a p = a modulo p যেকোনো পূর্ণসংখ্যা a এর জন্য সত্য হবে।
এই বিবৃতিটি "চীনা হাইপোথিসিস" হিসাবে পরিচিত ছিল এবং 2000 বছর আগের তারিখের অর্ধেক প্রমাণ করে: একটি পূর্ণসংখ্যা n যদি প্রধান হয় এবং শুধুমাত্র যদি 2n-2 n দ্বারা বিভাজ্য হয়। অনুমানের দ্বিতীয় অংশটি মিথ্যা প্রমাণিত হয়েছে - উদাহরণস্বরূপ, 2341 - 2 341 দ্বারা বিভাজ্য, যদিও 341 সংখ্যাটি যৌগিক: 341 = 31 × 11।
ফারম্যাটের লিটল থিওরেম ছিল সংখ্যা তত্ত্বের অন্যান্য ফলাফলের ভিত্তি এবং সংখ্যাগুলি মৌলিক কিনা তা পরীক্ষা করার পদ্ধতি, যার অনেকগুলি আজও ব্যবহার করা হচ্ছে।
ফার্মাট তার সমসাময়িকদের সাথে বিশেষ করে মারিন মারসেন নামে একজন সন্ন্যাসীর সাথে ব্যাপকভাবে যোগাযোগ করেছিলেন। তার একটি চিঠিতে, তিনি অনুমান করেছিলেন যে 2 n + 1 ফর্মের সংখ্যাগুলি সর্বদা মৌলিক হবে যদি n দুটির শক্তি হয়। তিনি n = 1, 2, 4, 8, এবং 16 এর জন্য এটি পরীক্ষা করেছিলেন এবং নিশ্চিত ছিলেন যে যখন n দুটির ঘাত নয়, সংখ্যাটি অগত্যা মৌলিক নয়। এই সংখ্যাগুলিকে বলা হয় ফার্ম্যাট সংখ্যা, এবং এটি 100 বছর পরে অয়লার দেখান যে পরবর্তী সংখ্যা, 232 + 1 = 4294967297, 641 দ্বারা বিভাজ্য এবং তাই মৌলিক নয়।
ফর্ম 2 n - 1 এর সংখ্যাগুলিও গবেষণার বিষয় হয়ে উঠেছে, যেহেতু এটি দেখানো সহজ যে n যদি যৌগিক হয়, তাহলে সংখ্যাটি নিজেই যৌগিক। এই সংখ্যাগুলিকে মারসেন নম্বর বলা হয় কারণ তিনি সক্রিয়ভাবে সেগুলি অধ্যয়ন করেছিলেন।
কিন্তু 2 n - 1 ফর্মের সমস্ত সংখ্যা, যেখানে n মৌলিক, মৌলিক নয়। উদাহরণস্বরূপ, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89। এটি প্রথম 1536 সালে আবিষ্কৃত হয়েছিল।
বহু বছর ধরে, এই ধরনের সংখ্যা গণিতবিদদের সবচেয়ে বড় পরিচিত প্রাইম দিয়েছে। যে M 19 সংখ্যাটি 1588 সালে ক্যাটালডি দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল, এবং 200 বছর ধরে এটি বৃহত্তম পরিচিত মৌলিক সংখ্যা ছিল, যতক্ষণ না অয়লার প্রমাণ করেন যে M 31ও মৌলিক। এই রেকর্ডটি আরও একশ বছর ধরে রাখা হয়েছিল, এবং তারপরে লুকাস দেখিয়েছিলেন যে এম 127 প্রাইম (এবং এটি ইতিমধ্যে 39 সংখ্যার সংখ্যা), এবং তার পরে, কম্পিউটারের আবির্ভাবের সাথে গবেষণা চলতে থাকে।
1952 সালে, M 521, M 607, M 1279, M 2203 এবং M 2281 সংখ্যাগুলির প্রাইমনেস প্রমাণিত হয়েছিল।
2005 সালের মধ্যে, 42টি মার্সেন প্রাইম পাওয়া গেছে। তাদের মধ্যে বৃহত্তম, M 25964951, 7816230 সংখ্যা নিয়ে গঠিত।
অয়লারের কাজ মৌলিক সংখ্যা সহ সংখ্যা তত্ত্বের উপর ব্যাপক প্রভাব ফেলেছিল। তিনি ফার্মাটের লিটল থিওরেম প্রসারিত করেন এবং φ-ফাংশন প্রবর্তন করেন। 5ম ফার্ম্যাট সংখ্যা 2 32 +1 কে ফ্যাক্টরাইজ করেছেন, 60 জোড়া বন্ধুত্বপূর্ণ সংখ্যা খুঁজে পেয়েছেন এবং পারস্পরিকতার দ্বিঘাত আইন প্রণয়ন করেছেন (কিন্তু প্রমাণ করতে ব্যর্থ হয়েছে)।
তিনিই প্রথম গাণিতিক বিশ্লেষণের পদ্ধতি প্রবর্তন করেন এবং সংখ্যার বিশ্লেষণাত্মক তত্ত্ব তৈরি করেন। তিনি প্রমাণ করেছিলেন যে শুধুমাত্র সুরেলা সিরিজ ∑ (1/n) নয়, ফর্মের একটি সিরিজও
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…
মৌলিক সংখ্যার বিপরীত রাশির যোগফল দ্বারা প্রাপ্ত, এছাড়াও ভিন্ন হয়। হারমোনিক সিরিজের n পদের যোগফল প্রায় log(n) এর মত বৃদ্ধি পায়, যখন দ্বিতীয় ধারাটি আরো ধীরে ধীরে বিচ্যুত হয়, যেমন log[ log(n)]। এর মানে হল, উদাহরণস্বরূপ, আজ পর্যন্ত পাওয়া সমস্ত মৌলিক সংখ্যার পারস্পরিক যোগফল শুধুমাত্র 4 দেবে, যদিও সিরিজটি এখনও বিচ্ছিন্ন।
প্রথম নজরে, মনে হচ্ছে মৌলিক সংখ্যাগুলি পূর্ণসংখ্যাগুলির মধ্যে বরং এলোমেলোভাবে বিতরণ করা হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, 10000000 এর ঠিক আগে 100টি সংখ্যার মধ্যে 9টি মৌলিক, এবং এই মানের ঠিক পরেই 100টি সংখ্যার মধ্যে, শুধুমাত্র 2টি রয়েছে৷ কিন্তু বড় অংশগুলিতে, মৌলিক সংখ্যাগুলি মোটামুটিভাবে সমানভাবে বিতরণ করা হয়৷ কিংবদন্তি এবং গাউস তাদের বিতরণের সাথে মোকাবিলা করেছিলেন। গাউস একবার একজন বন্ধুকে বলেছিলেন যে যেকোন বিনামূল্যের 15 মিনিটে তিনি সর্বদা পরবর্তী 1000 সংখ্যার মৌলিক সংখ্যা গণনা করেন। তার জীবনের শেষের দিকে, তিনি 3 মিলিয়ন পর্যন্ত সমস্ত মৌলিক সংখ্যা গণনা করেছিলেন। কিংবদন্তি এবং গাউস সমানভাবে গণনা করেছেন যে বড় n-এর জন্য প্রাইমগুলির ঘনত্ব হল 1/log(n)। কিংবদন্তি 1 এবং n এর মধ্যে প্রাইম সংখ্যা হিসাবে অনুমান করেছেন
π(n) = n/(লগ(n) - 1.08366)
এবং গাউস - লগারিদমিক অবিচ্ছেদ্য হিসাবে
π(n) = / 1/log(t) dt
2 থেকে n পর্যন্ত একটি ইন্টিগ্রেশন ব্যবধান সহ।
মৌলিক সংখ্যা 1/log(n) এর ঘনত্ব সম্পর্কে বিবৃতিটি প্রাইম সংখ্যা উপপাদ্য হিসাবে পরিচিত। তারা 19 শতক জুড়ে এটি প্রমাণ করার চেষ্টা করেছিল এবং চেবিশেভ এবং রিম্যান অগ্রগতি করেছিলেন। তারা এটিকে রিম্যান হাইপোথিসিসের সাথে যুক্ত করেছে, রিম্যান জেটা ফাংশনের শূন্যের বন্টন সম্পর্কে এখনও পর্যন্ত একটি অপ্রমাণিত অনুমান। 1896 সালে হাদামার্ড এবং দে লা ভ্যালি-পাউসিন দ্বারা প্রাইমগুলির ঘনত্ব একই সাথে প্রমাণিত হয়েছিল।
মৌলিক সংখ্যার তত্ত্বে, এখনও অনেক অমীমাংসিত প্রশ্ন রয়েছে, যার মধ্যে কয়েকটি শত শত বছরের পুরনো:
- টুইন প্রাইম হাইপোথিসিস - মৌলিক সংখ্যার জোড়ার অসীম সংখ্যক সম্পর্কে যা একে অপরের থেকে 2 দ্বারা পৃথক
- গোল্ডবাচের অনুমান: 4 থেকে শুরু হওয়া যেকোনো জোড় সংখ্যাকে দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে
- n 2 + 1 ফর্মের মৌলিক সংখ্যার অসীম সংখ্যা আছে কি?
- n 2 এবং (n + 1) 2 এর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা খুঁজে পাওয়া কি সবসময় সম্ভব? (তথ্যটি যে সর্বদা n এবং 2n এর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা থাকে তা চেবিশেভ দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল)
- অসীম সংখ্যক ফার্ম্যাট প্রাইম আছে কি? ৪র্থের পর কি কোন ফার্ম্যাট প্রাইম আছে?
- কোন প্রদত্ত দৈর্ঘ্যের জন্য পরপর প্রাইমগুলির একটি গাণিতিক অগ্রগতি আছে কি? উদাহরণস্বরূপ, দৈর্ঘ্য 4 এর জন্য: 251, 257, 263, 269। সর্বাধিক দৈর্ঘ্য পাওয়া গেছে 26।
- একটি গাণিতিক অগ্রগতিতে একটি পরপর তিনটি প্রাইমের সেটের অসীম সংখ্যা আছে কি?
- n 2 - n + 41 হল 0 ≤ n ≤ 40 এর জন্য একটি মৌলিক সংখ্যা। এই জাতীয় মৌলিক সংখ্যার কি অসীম সংখ্যা আছে? n 2 - 79 n + 1601 সূত্রের জন্য একই প্রশ্ন। এই সংখ্যাগুলি 0 ≤ n ≤ 79 এর জন্য মৌলিক।
- n# + 1 ফর্মের মৌলিক সংখ্যার অসীম সংখ্যা আছে কি? (n# হল n-এর চেয়ে কম সমস্ত মৌলিক সংখ্যাকে গুণ করার ফলাফল)
- n# -1 ফর্মের অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা আছে কি?
- n ফর্মের মৌলিক সংখ্যার অসীম সংখ্যা আছে কি! +1?
- n ফর্মের মৌলিক সংখ্যার অসীম সংখ্যা আছে কি! - এক?
- যদি p প্রাইম হয়, তাহলে কি 2 p -1 সর্বদা বর্গাকার প্রাইমগুলির গুণনীয়কগুলির মধ্যে অন্তর্ভুক্ত হয় না
- ফিবোনাচি সিকোয়েন্সে কি অসীম সংখ্যক প্রাইম থাকে?
বৃহত্তম যমজ মৌলিক সংখ্যা হল 2003663613 × 2 195000 ± 1। তারা 58711 সংখ্যা নিয়ে গঠিত এবং 2007 সালে পাওয়া গিয়েছিল।
বৃহত্তম ফ্যাক্টরিয়াল মৌলিক সংখ্যা (n! ± 1 ফর্মের) হল 147855! - 1. এটি 142891 সংখ্যা নিয়ে গঠিত এবং 2002 সালে পাওয়া গেছে।
বৃহত্তম আদি মৌলিক সংখ্যা (n# ± 1 ফর্মের একটি সংখ্যা) হল 1098133# + 1।
এই নিবন্ধে, আমরা অধ্যয়ন করা হবে মৌলিক এবং যৌগিক সংখ্যা. প্রথমত, আমরা মৌলিক এবং যৌগিক সংখ্যার সংজ্ঞা দিই, এবং উদাহরণও দিই। এর পরে, আমরা প্রমাণ করি যে অসীমভাবে অনেকগুলি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। এরপরে, আমরা মৌলিক সংখ্যার একটি সারণী লিখি, এবং মৌলিক সংখ্যাগুলির একটি সারণী সংকলনের পদ্ধতিগুলি বিবেচনা করি, আমরা বিশেষভাবে সাবধানতার সাথে ইরাটোসথেনিসের চালনি নামক পদ্ধতির উপর চিন্তা করব। উপসংহারে, একটি প্রদত্ত সংখ্যা মৌলিক বা যৌগিক তা প্রমাণ করার সময় আমরা প্রধান পয়েন্টগুলিকে হাইলাইট করি যেগুলি বিবেচনায় নেওয়া দরকার।
পৃষ্ঠা নেভিগেশন.
মৌলিক এবং যৌগিক সংখ্যা - সংজ্ঞা এবং উদাহরণ
মৌলিক সংখ্যা এবং যৌগিক সংখ্যার ধারণাগুলি একের থেকে বড় তাদের বোঝায়। এই ধরনের পূর্ণসংখ্যা, তাদের ধনাত্মক ভাজকের সংখ্যার উপর নির্ভর করে, মৌলিক এবং যৌগিক সংখ্যায় বিভক্ত। তাই বোঝার জন্য মৌলিক এবং যৌগিক সংখ্যার সংজ্ঞা, ভাজক এবং গুণিতকগুলি কী তা সম্পর্কে আপনার ভাল ধারণা থাকতে হবে৷
সংজ্ঞা।
মৌলিক সংখ্যাপূর্ণসংখ্যা, একের চেয়ে বড়, যার শুধুমাত্র দুটি ধনাত্মক ভাজক আছে, যথা নিজেদের এবং 1।
সংজ্ঞা।
যৌগিক সংখ্যাএকটির চেয়ে বড় পূর্ণসংখ্যা যার অন্তত তিনটি ধনাত্মক ভাজক আছে।
আলাদাভাবে, আমরা লক্ষ করি যে সংখ্যা 1 মৌলিক বা যৌগিক সংখ্যার জন্য প্রযোজ্য নয়। ইউনিটে শুধুমাত্র একটি ধনাত্মক ভাজক আছে, যেটি নিজেই 1 নম্বর। এটি 1 নম্বরটিকে অন্য সমস্ত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা থেকে আলাদা করে যার কমপক্ষে দুটি ধনাত্মক ভাজক রয়েছে।
প্রদত্ত যে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলি হল , এবং এককের শুধুমাত্র একটি ধনাত্মক ভাজক আছে, মৌলিক এবং যৌগিক সংখ্যাগুলির স্বরযুক্ত সংজ্ঞাগুলির অন্যান্য সূত্র দেওয়া যেতে পারে।
সংজ্ঞা।
মৌলিক সংখ্যাপ্রাকৃতিক সংখ্যা যেগুলির শুধুমাত্র দুটি ধনাত্মক ভাজক রয়েছে।
সংজ্ঞা।
যৌগিক সংখ্যাপ্রাকৃতিক সংখ্যা যে দুটির বেশি ধনাত্মক ভাজক আছে।
মনে রাখবেন যে একটির চেয়ে বড় প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় একটি মৌলিক সংখ্যা বা একটি যৌগিক সংখ্যা। অন্য কথায়, এমন একটি পূর্ণসংখ্যা নেই যা মৌলিক বা যৌগিক নয়। এটি বিভাজ্যতা বৈশিষ্ট্য থেকে অনুসরণ করে, যা বলে যে সংখ্যা 1 এবং a সর্বদা যেকোন পূর্ণসংখ্যা a এর ভাজক।
পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদের তথ্যের উপর ভিত্তি করে, আমরা যৌগিক সংখ্যার নিম্নলিখিত সংজ্ঞা দিতে পারি।
সংজ্ঞা।
যেসব প্রাকৃতিক সংখ্যা মৌলিক নয় তাদেরকে বলা হয় উপাদান.
নিয়ে আসি মৌলিক এবং যৌগিক সংখ্যার উদাহরণ.
যৌগিক সংখ্যার উদাহরণ হিসাবে, আমরা 6, 63, 121 এবং 6697 দিই। এই বক্তব্যেরও ব্যাখ্যা দরকার। 6 নম্বর, ধনাত্মক ভাজক 1 এবং 6 ছাড়াও, 6 \u003d 2 3 থেকে ভাজক 2 এবং 3ও রয়েছে, তাই 6 সত্যিই একটি যৌগিক সংখ্যা। 63 এর ধনাত্মক ভাজক হল সংখ্যা 1, 3, 7, 9, 21 এবং 63। 121 সংখ্যাটি 11 11 এর গুণফলের সমান, তাই এর ধনাত্মক ভাজক হল 1, 11 এবং 121। এবং 6697 সংখ্যাটি যৌগিক, যেহেতু এর ধনাত্মক ভাজক, 1 এবং 6697 ছাড়াও, 37 এবং 181 সংখ্যাও।
এই অনুচ্ছেদের উপসংহারে, আমি এই বিষয়টির প্রতিও দৃষ্টি আকর্ষণ করতে চাই যে মৌলিক সংখ্যা এবং কপ্রাইম সংখ্যা একই জিনিস থেকে অনেক দূরে।
প্রাইম নম্বর টেবিল
প্রাইম সংখ্যা, সুবিধার জন্য আরও ব্যবহার, মৌলিক সংখ্যা টেবিল নামক একটি টেবিলে লেখা হয়। নিচে আছে মৌলিক সংখ্যা টেবিল 1000 পর্যন্ত।
একটি যৌক্তিক প্রশ্ন উঠেছে: "কেন আমরা মৌলিক সংখ্যার সারণীটি শুধুমাত্র 1,000 পর্যন্ত পূরণ করেছি, বিদ্যমান সমস্ত মৌলিক সংখ্যার একটি টেবিল তৈরি করা কি সম্ভব নয়"?
প্রথমে এই প্রশ্নের প্রথম অংশের উত্তর দেওয়া যাক। মৌলিক সংখ্যা জড়িত বেশিরভাগ সমস্যার জন্য, হাজার পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যাই যথেষ্ট। অন্যান্য ক্ষেত্রে, সম্ভবত, আপনাকে কিছু বিশেষ সমাধান কৌশল অবলম্বন করতে হবে। যদিও, অবশ্যই, আমরা মৌলিক সংখ্যাগুলিকে একটি নির্বিচারে বড় সসীম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা পর্যন্ত সারণি করতে পারি, তা 10,000 বা 1,000,000,000ই হোক না কেন, পরবর্তী অনুচ্ছেদে আমরা মৌলিক সংখ্যার টেবিল সংকলনের পদ্ধতি সম্পর্কে কথা বলব, বিশেষ করে, আমরা পদ্ধতিটি বিশ্লেষণ করব ডাকা
এখন আসুন সমস্ত বিদ্যমান মৌলিক সংখ্যার একটি সারণী সংকলনের সম্ভাবনা (বা বরং অসম্ভবতা) দেখি। আমরা সমস্ত প্রাইমগুলির একটি টেবিল তৈরি করতে পারি না কারণ অসীমভাবে অনেকগুলি প্রাইম রয়েছে। শেষ বিবৃতিটি একটি উপপাদ্য যা আমরা নিম্নলিখিত সহায়ক উপপাদ্যের পরে প্রমাণ করব।
উপপাদ্য।
1 ছাড়া অন্য 1 এর থেকে বড় একটি প্রাকৃতিক সংখ্যার ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক ভাজক একটি মৌলিক সংখ্যা।
প্রমাণ।
দিন একটি - স্বাভাবিক সংখ্যা, একের চেয়ে বড় এবং b হল a এর ক্ষুদ্রতম ধনাত্মক অ-এক ভাজক। আসুন দ্বন্দ্ব দ্বারা প্রমাণ করি যে b একটি মৌলিক সংখ্যা।
ধরুন b একটি যৌগিক সংখ্যা। তারপর b সংখ্যাটির একটি ভাজক রয়েছে (এটি b 1 বোঝানো যাক), যা 1 এবং b উভয় থেকে আলাদা। যদি আমরা এটাও বিবেচনা করি যে ভাজকের পরম মান লভ্যাংশের পরম মানকে অতিক্রম করে না (আমরা এটি বিভাজ্যতার বৈশিষ্ট্য থেকে জানি), তাহলে শর্ত 1
যেহেতু a সংখ্যাটি শর্ত অনুসারে b দ্বারা বিভাজ্য, এবং আমরা বলেছিলাম যে b b 1 দ্বারা বিভাজ্য, তাহলে বিভাজ্যতার ধারণাটি আমাদেরকে q এবং q 1 যে a=b q এবং b=b 1 পূর্ণসংখ্যার অস্তিত্ব সম্পর্কে কথা বলতে দেয়। q 1 , যেখান থেকে a= b 1 · (q 1 ·q)। এটি থেকে অনুসরণ করে যে দুটি পূর্ণসংখ্যার গুণফল একটি পূর্ণসংখ্যা, তারপর সমতা a=b 1 ·(q 1 ·q) নির্দেশ করে যে b 1 সংখ্যাটি a এর একটি ভাজক। উপরোক্ত অসমতা বিবেচনায় নিয়ে ১
এখন আমরা প্রমাণ করতে পারি যে অসীম অনেক মৌলিক সংখ্যা রয়েছে।
উপপাদ্য।
অসীম অনেক মৌলিক সংখ্যা আছে।
প্রমাণ।
ধরা যাক এটা না. অর্থাৎ, ধরুন শুধুমাত্র n প্রাইম আছে, এবং এই প্রাইমগুলি হল p 1 , p 2 , …, p n । আসুন দেখান যে আমরা সর্বদা নির্দেশিত সংখ্যা থেকে আলাদা একটি মৌলিক সংখ্যা খুঁজে পেতে পারি।
p 1 ·p 2 ·…·p n +1 এর সমান p একটি সংখ্যা বিবেচনা করুন। এটা স্পষ্ট যে এই সংখ্যা p 1 , p 2 , …, p n প্রতিটি মৌলিক থেকে আলাদা। যদি p সংখ্যাটি মৌলিক হয়, তাহলে উপপাদ্যটি প্রমাণিত হয়। যদি এই সংখ্যাটি যৌগিক হয়, তাহলে, পূর্ববর্তী উপপাদ্যের ভিত্তিতে, এই সংখ্যাটির একটি মৌলিক ভাজক আছে (আসুন এটি p n+1 বোঝাই)। দেখাই যাক যে এই ভাজকটি p 1 , p 2 , …, p n সংখ্যার কোনোটির সাথে মিলে না।
যদি তা না হতো, তাহলে বিভাজ্যতার বৈশিষ্ট্য দ্বারা, গুণফল p 1 ·p 2 ·…·p n হবে p n+1 দ্বারা বিভাজ্য। কিন্তু p সংখ্যাটিও p n+1 দ্বারা বিভাজ্য, যোগফল p 1 ·p 2 ·…·p n +1 এর সমান। এটি বোঝায় যে এই যোগফলের দ্বিতীয় পদ, যা একের সমান, অবশ্যই p n+1 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে এবং এটি অসম্ভব।
সুতরাং, এটি প্রমাণিত হয় যে একটি নতুন মৌলিক সংখ্যা সর্বদা পাওয়া যেতে পারে, যা অগ্রিম দেওয়া মৌলিক সংখ্যাগুলির মধ্যে থাকে না। অতএব, অসীমভাবে অনেকগুলি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে।
সুতরাং, অসীমভাবে অনেকগুলি মৌলিক সংখ্যা থাকার কারণে, মৌলিক সংখ্যার সারণী কম্পাইল করার সময়, তারা সর্বদা উপরে থেকে কিছু সংখ্যার মধ্যে সীমাবদ্ধ রাখে, সাধারণত 100, 1,000, 10,000 ইত্যাদি।
Eratosthenes এর চালনি
এখন আমরা মৌলিক সংখ্যার টেবিল কম্পাইল করার উপায় নিয়ে আলোচনা করব। ধরুন আমাদের 100 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার একটি টেবিল তৈরি করতে হবে।
এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য সবচেয়ে সুস্পষ্ট পদ্ধতি হল পর্যায়ক্রমে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা পরীক্ষা করা, যা 2 দিয়ে শুরু এবং 100 দিয়ে শেষ হয়, একটি ধনাত্মক ভাজকের উপস্থিতির জন্য যা 1 এর চেয়ে বড় এবং চেক করা সংখ্যার চেয়ে কম (বিভাজ্যতার বৈশিষ্ট্য থেকে, আমরা জেনে রাখুন যে ভাজকের পরম মান লভ্যাংশের পরম মান অতিক্রম করে না, শূন্য থেকে আলাদা)। যদি এমন একটি ভাজক পাওয়া না যায়, তাহলে যে সংখ্যাটি পরীক্ষা করা হচ্ছে সেটি মৌলিক, এবং এটি মৌলিক সংখ্যার সারণীতে প্রবেশ করানো হয়। যদি এমন একটি ভাজক পাওয়া যায়, তাহলে যে সংখ্যাটি পরীক্ষা করা হচ্ছে সেটি যৌগিক, এটি মৌলিক সংখ্যার সারণীতে প্রবেশ করানো হয়নি। এর পরে, পরবর্তী সংখ্যায় একটি রূপান্তর রয়েছে, যা একইভাবে একটি ভাজকের উপস্থিতির জন্য পরীক্ষা করা হয়।
প্রথম কয়েকটি ধাপ বর্ণনা করা যাক।
আমরা 2 নম্বর দিয়ে শুরু করি। সংখ্যা 2 এর 1 এবং 2 ছাড়া অন্য কোন ধনাত্মক ভাজক নেই। অতএব, এটি মৌলিক, অতএব, আমরা মৌলিক সংখ্যার সারণীতে এটি লিখি। এখানে বলা উচিত 2 হল ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা। আসুন 3 নম্বরে চলে যাই। 1 এবং 3 ছাড়া এর সম্ভাব্য ধনাত্মক ভাজক হল 2। কিন্তু 3 2 দ্বারা বিভাজ্য নয়, তাই, 3 একটি মৌলিক সংখ্যা, এবং এটি মৌলিক সংখ্যার সারণীতেও প্রবেশ করা দরকার। চলুন 4 নম্বরে যাওয়া যাক। 1 এবং 4 ছাড়া এর ধনাত্মক ভাজক 2 এবং 3 হতে পারে, আসুন তাদের পরীক্ষা করি। 4 সংখ্যাটি 2 দ্বারা বিভাজ্য, তাই, 4 একটি যৌগিক সংখ্যা এবং মৌলিক সংখ্যার সারণীতে প্রবেশ করার প্রয়োজন নেই। উল্লেখ্য যে 4 হল ক্ষুদ্রতম যৌগিক সংখ্যা। চলুন 5 নম্বরে যাওয়া যাক। 2, 3, 4 সংখ্যাগুলির মধ্যে অন্তত একটি তার ভাজক কিনা তা আমরা পরীক্ষা করি। যেহেতু 5 2, বা 3, বা 4 দ্বারা বিভাজ্য নয়, তাই এটি মৌলিক, এবং এটি মৌলিক সংখ্যার সারণীতে লিখতে হবে। তারপর সংখ্যা 6, 7, এবং তাই 100 পর্যন্ত একটি রূপান্তর আছে।
প্রাইমগুলির একটি সারণী কম্পাইল করার এই পদ্ধতিটি আদর্শ থেকে অনেক দূরে। একভাবে বা অন্যভাবে, তার অস্তিত্বের অধিকার রয়েছে। মনে রাখবেন যে পূর্ণসংখ্যার একটি সারণী তৈরি করার এই পদ্ধতির সাহায্যে, আপনি বিভাজ্যতার মানদণ্ড ব্যবহার করতে পারেন, যা ভাজক খোঁজার প্রক্রিয়াটিকে কিছুটা গতি দেবে।
প্রাইমগুলির একটি টেবিল কম্পাইল করার একটি আরও সুবিধাজনক উপায় রয়েছে যাকে বলা হয়। নামের মধ্যে উপস্থিত "চালনী" শব্দটি আকস্মিক নয়, যেহেতু এই পদ্ধতির ক্রিয়াকলাপগুলি ইরাটোস্থেনিস পূর্ণসংখ্যা, বৃহৎ একক, যৌগিকগুলি থেকে সরলকে আলাদা করার জন্য, চালনির মাধ্যমে "চালনা" করতে সহায়তা করে।
50 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার একটি সারণী কম্পাইল করার সময় চলুন এরাটোসথেনিসের চালনীটি দেখাই।
প্রথমে, আমরা 2, 3, 4, ..., 50 ক্রমানুসারে সংখ্যাগুলি লিখি।
2 লেখা প্রথম সংখ্যাটি মৌলিক। এখন, সংখ্যা 2 থেকে, আমরা ক্রমানুসারে দুটি সংখ্যা দ্বারা ডানদিকে চলে যাই এবং এই সংখ্যাগুলিকে অতিক্রম করি যতক্ষণ না আমরা সংখ্যার সংকলিত টেবিলের শেষে না যাই। সুতরাং দুইটির গুণিতক সমস্ত সংখ্যাই ক্রস আউট হয়ে যাবে।
2 এর পর প্রথম নন-ক্রস আউট সংখ্যাটি হল 3। এই সংখ্যা মৌলিক। এখন, 3 নম্বর থেকে, আমরা ক্রমানুসারে তিনটি সংখ্যা দ্বারা ডানদিকে সরে যাই (ইতিমধ্যে ক্রস আউট সংখ্যাগুলিকে বিবেচনায় নিয়ে) এবং তাদের ক্রস আউট করি। সুতরাং তিন গুণিতক সব সংখ্যা ক্রস আউট হবে.
3 এর পর প্রথম নন-ক্রস আউট সংখ্যা হল 5। এই সংখ্যা মৌলিক। এখন, 5 নম্বর থেকে, আমরা ক্রমানুসারে 5টি সংখ্যা দ্বারা ডানদিকে চলে যাই (আমরা আগে ক্রস করা সংখ্যাগুলিকেও বিবেচনা করি) এবং তাদের ক্রস আউট করি। সুতরাং পাঁচের গুণিতক সমস্ত সংখ্যা ক্রস আউট হয়ে যাবে।
এর পরে, আমরা 7-এর গুণিতক, তারপর 11-এর গুণিতক ইত্যাদি সংখ্যাগুলিকে ক্রস আউট করি। প্রক্রিয়া শেষ হয় যখন ক্রস আউট করার জন্য কোন সংখ্যা বাকি থাকে না। নীচে ইরাটোস্থেনিস এর চালুনি ব্যবহার করে প্রাপ্ত 50 পর্যন্ত প্রাইমগুলির একটি সম্পূর্ণ সারণী রয়েছে। সমস্ত আনক্রস করা সংখ্যা মৌলিক, এবং সমস্ত ক্রস আউট সংখ্যা যৌগিক।
আসুন একটি উপপাদ্য প্রণয়ন এবং প্রমাণ করি যা ইরাটোস্থেনিস এর চালনী ব্যবহার করে মৌলিক সংখ্যার একটি সারণী সংকলনের প্রক্রিয়াকে ত্বরান্বিত করবে।
উপপাদ্য।
একটি যৌগিক সংখ্যার সর্বনিম্ন ধনাত্মক নন-এক ভাজক a এর বেশি হয় না, কোথা থেকে একটি।
প্রমাণ।
যৌগিক সংখ্যা a-এর ক্ষুদ্রতম ভাজককে b নির্দেশ করা যাক যা একতা থেকে পৃথক (সংখ্যা b মৌলিক, যা পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদের একেবারে শুরুতে প্রমাণিত উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করে)। তারপরে একটি পূর্ণসংখ্যা q আছে যেমন a=b q (এখানে q হল একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, যা পূর্ণসংখ্যার গুণনের নিয়মগুলি অনুসরণ করে), এবং (যখন b>q, a এর ক্ষুদ্রতম ভাজক যে শর্তটি লঙ্ঘন করা হয়, যেহেতু সমতার কারণে qও a এর একটি ভাজক a=q b)। একটি ধনাত্মক এবং একের বেশি পূর্ণসংখ্যা b (আমাদের এটি করার অনুমতি দেওয়া হয়েছে) দ্বারা অসমতার উভয় পক্ষকে গুণ করলে আমরা , কোথা থেকে এবং প্রাপ্ত করি।
প্রমাণিত উপপাদ্য ইরাটোসথেনিসের চালনি সম্পর্কে আমাদের কী দেয়?
প্রথমত, একটি মৌলিক সংখ্যা b এর গুণিতক যৌগিক সংখ্যাগুলির মুছে ফেলার জন্য একটি সমান সংখ্যা দিয়ে শুরু করা উচিত (এটি অসমতা থেকে অনুসরণ করে)। উদাহরণস্বরূপ, দুইটির গুণিতক সংখ্যাগুলিকে ক্রস আউট করা 4 নম্বর দিয়ে শুরু করা উচিত, তিনটির গুণিতক - 9 নম্বর দিয়ে, পাঁচের গুণিতক - 25 নম্বর দিয়ে, ইত্যাদি।
দ্বিতীয়ত, ইরাটোসথেনিসের চালুনি ব্যবহার করে n সংখ্যা পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার সারণীর সংকলন সম্পূর্ণ বলে বিবেচিত হতে পারে যখন মৌলিক সংখ্যার গুণিতক সমস্ত যৌগিক সংখ্যা অতিক্রম করা হয় না। আমাদের উদাহরণে, n=50 (কারণ আমরা 50 পর্যন্ত প্রাইমগুলিকে ট্যাব্যুলেট করছি) এবং , তাই ইরাটোসথেনিসের চালুনিটি 2, 3, 5 এবং 7 এর সমস্ত যৌগিক গুণিতকগুলিকে আগাছা দিতে হবে যা 50 এর পাটিগণিত বর্গমূলের বেশি নয় . অর্থাৎ, আমাদের আর 11, 13, 17, 19, 23 এবং 47 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার গুণিতক সংখ্যাগুলি অনুসন্ধান এবং ক্রস আউট করার দরকার নেই, কারণ সেগুলি ইতিমধ্যেই ছোট মৌলিক সংখ্যা 2 এর গুণিতক হিসাবে ক্রস আউট হয়ে যাবে। 3, 5 এবং 7।
এই সংখ্যা মৌলিক নাকি যৌগিক?
কিছু কাজের জন্য প্রদত্ত সংখ্যা মৌলিক নাকি যৌগিক তা খুঁজে বের করতে হবে। সাধারণ ক্ষেত্রে, এই কাজটি সহজ থেকে অনেক দূরে, বিশেষ করে সংখ্যাগুলির জন্য যার রেকর্ডে উল্লেখযোগ্য সংখ্যক অক্ষর রয়েছে। বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, আপনাকে এটি সমাধান করার জন্য কিছু নির্দিষ্ট উপায় সন্ধান করতে হবে। যাইহোক, আমরা সাধারণ ক্ষেত্রে চিন্তার ট্রেনের দিকনির্দেশ দেওয়ার চেষ্টা করব।
নিঃসন্দেহে, প্রদত্ত সংখ্যাটি যৌগিক তা প্রমাণ করার জন্য কেউ বিভাজ্যতার মানদণ্ড ব্যবহার করার চেষ্টা করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি বিভাজ্যতার কিছু মানদণ্ড দেখায় যে প্রদত্ত সংখ্যাটি একের চেয়ে বড় কিছু ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য, তাহলে মূল সংখ্যাটি যৌগিক।
উদাহরণ।
প্রমাণ করুন যে 898 989 898 989 898 989 সংখ্যাটি যৌগিক।
সমাধান।
এই সংখ্যার অঙ্কের যোগফল হল 9 8+9 9=9 17। যেহেতু 9 17 এর সমান সংখ্যাটি 9 দ্বারা বিভাজ্য, তাই 9 দ্বারা বিভাজ্যতার মানদণ্ড দ্বারা যুক্তি দেওয়া যেতে পারে যে আসল সংখ্যাটিও 9 দ্বারা বিভাজ্য। অতএব, এটি যৌগিক।
এই পদ্ধতির একটি উল্লেখযোগ্য ত্রুটি হল যে বিভাজ্যতার মানদণ্ড আমাদের একটি সংখ্যার সরলতা প্রমাণ করতে দেয় না। অতএব, একটি সংখ্যাটি প্রাইম বা কম্পোজিট কিনা তা পরীক্ষা করার সময়, আপনাকে অন্যভাবে এগিয়ে যেতে হবে।
সবচেয়ে যৌক্তিক পদ্ধতি হল একটি প্রদত্ত সংখ্যার সমস্ত সম্ভাব্য ভাজক গণনা করা। যদি সম্ভাব্য ভাজকগুলির একটিও প্রদত্ত সংখ্যার প্রকৃত ভাজক না হয়, তাহলে সেই সংখ্যাটি মৌলিক; অন্যথায়, এটি যৌগিক। পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে প্রমাণিত উপপাদ্যগুলি থেকে, এটি অনুসরণ করে যে একটি প্রদত্ত সংখ্যার ভাজককে অবশ্যই মৌলিক সংখ্যাগুলির মধ্যে খুঁজে বের করতে হবে যা বেশি নয়। এইভাবে, প্রদত্ত সংখ্যা a কে পর্যায়ক্রমে মৌলিক সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা যেতে পারে (যা মৌলিক সংখ্যার টেবিল থেকে নেওয়া সুবিধাজনক), a সংখ্যাটির ভাজক খুঁজে বের করার চেষ্টা করে। যদি একটি ভাজক পাওয়া যায়, তাহলে a সংখ্যাটি যৌগিক। মৌলিক সংখ্যার মধ্যে যদি সংখ্যার বেশি না হয়, a সংখ্যাটির কোনো ভাজক না থাকে, তাহলে সংখ্যাটি a মৌলিক।
উদাহরণ।
সংখ্যা 11723 সরল নাকি যৌগিক?
সমাধান।
চলুন জেনে নেওয়া যাক 11 723 সংখ্যার ভাজক কোন মৌলিক সংখ্যা হতে পারে। এই জন্য, আমরা অনুমান.
এটা বেশ স্পষ্ট যে 
, 200 2 \u003d 40 000 এবং 11 723 সাল থেকে<40 000
(при необходимости смотрите статью সংখ্যা তুলনা) এইভাবে, 11,723 এর সম্ভাব্য প্রাইম ভাজক 200 এর কম। এই ইতিমধ্যে ব্যাপকভাবে আমাদের কাজ সহজতর. যদি আমরা এটি না জানতাম, তাহলে আমাদের 200 পর্যন্ত নয়, 11 723 নম্বর পর্যন্ত সমস্ত মৌলিক সংখ্যার মাধ্যমে সাজাতে হবে।
যদি ইচ্ছা হয়, আপনি আরও সঠিকভাবে অনুমান করতে পারেন। যেহেতু 108 2 \u003d 11 664, এবং 109 2 \u003d 11 881, তারপর 108 2<11 723<109 2
, следовательно, 
. এইভাবে, 109-এর কম প্রাইমগুলির মধ্যে যেকোনো একটি সম্ভাব্যভাবে প্রদত্ত সংখ্যা 11,723 এর একটি মৌলিক ভাজক।
এখন আমরা ক্রমানুসারে 11 723 সংখ্যাটিকে মৌলিক সংখ্যা 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 6, 5, 5, 3-এ ভাগ করব। 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107। যদি 11 723 সংখ্যাটিকে লিখিত মৌলিক সংখ্যাগুলির একটি দ্বারা সম্পূর্ণরূপে ভাগ করা হয় তবে এটি যৌগিক হবে। লিখিত মৌলিক সংখ্যার কোনো দ্বারা বিভাজ্য না হলে মূল সংখ্যাটি মৌলিক।
আমরা বিভাজনের এই পুরো একঘেয়ে এবং একঘেয়ে প্রক্রিয়া বর্ণনা করব না। আসুন শুধু বলি যে 11 723
মৌলিক সংখ্যা হল সবচেয়ে আকর্ষণীয় গাণিতিক ঘটনাগুলির মধ্যে একটি যা দুই সহস্রাব্দেরও বেশি সময় ধরে বিজ্ঞানী এবং সাধারণ নাগরিকদের দৃষ্টি আকর্ষণ করেছে। আমরা এখন কম্পিউটার এবং সবচেয়ে আধুনিক তথ্য প্রোগ্রামের যুগে বাস করি তা সত্ত্বেও, মৌলিক সংখ্যার অনেক রহস্য এখনও সমাধান করা যায়নি, এমনকি এমন কিছু আছে যেগুলি বিজ্ঞানীরা কীভাবে কাছে যেতে হয় তা জানেন না।
প্রাইম সংখ্যাগুলি, যেমন প্রাথমিক পাটিগণিতের কোর্স থেকে জানা যায়, যেগুলি শুধুমাত্র একটি এবং নিজেই দ্বারা অবশিষ্টাংশ ছাড়াই বিভাজ্য। যাইহোক, যদি একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা উপরে তালিকাভুক্ত করা ছাড়াও, অন্য একটি সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে তাকে যৌগিক বলা হয়। সবচেয়ে বিখ্যাত উপপাদ্যগুলির মধ্যে একটি বলে যে কোনও যৌগিক সংখ্যাকে মৌলিক সংখ্যার একমাত্র সম্ভাব্য গুণফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে।
কয়েকটি মজার তথ্য। প্রথমত, এককটি এই অর্থে অনন্য যে, প্রকৃতপক্ষে, এটি মৌলিক বা যৌগিক সংখ্যার অন্তর্গত নয়। একই সময়ে, বৈজ্ঞানিক সম্প্রদায়ের মধ্যে এটি এখনও প্রথম গোষ্ঠীর জন্য দায়ী করার প্রথাগত, যেহেতু আনুষ্ঠানিকভাবে এটি তার প্রয়োজনীয়তাগুলি সম্পূর্ণরূপে সন্তুষ্ট করে।
দ্বিতীয়ত, একমাত্র জোড় সংখ্যা যা "প্রাথমিক সংখ্যা" গ্রুপে প্রবেশ করেছে তা অবশ্যই দুটি। অন্য কোন জোড় সংখ্যা সহজভাবে এখানে পাওয়া যাবে না, যেহেতু সংজ্ঞা অনুসারে, নিজের এবং এক ছাড়াও, এটি দুটি দ্বারা বিভাজ্য।
মৌলিক সংখ্যা, যার তালিকা, উপরে উল্লিখিত হিসাবে, একটি দিয়ে শুরু হতে পারে, একটি অসীম সিরিজ, প্রাকৃতিক সংখ্যার সিরিজের মতো অসীম। পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে, কেউ এই সিদ্ধান্তে উপনীত হতে পারে যে মৌলিক সংখ্যাগুলি কখনই বাধাগ্রস্ত হয় না এবং কখনও শেষ হয় না, কারণ অন্যথায় স্বাভাবিক সংখ্যার সিরিজ অনিবার্যভাবে বাধাগ্রস্ত হবে।
প্রাইম সংখ্যাগুলি প্রাকৃতিক সিরিজে এলোমেলোভাবে প্রদর্শিত হয় না, কারণ এটি প্রথম নজরে মনে হতে পারে। তাদের সাবধানে বিশ্লেষণ করার পরে, আপনি অবিলম্বে বেশ কয়েকটি বৈশিষ্ট্য লক্ষ্য করতে পারেন, যার মধ্যে সবচেয়ে কৌতূহলী তথাকথিত "যমজ" সংখ্যার সাথে যুক্ত। তাদের তাই বলা হয় কারণ, কিছু বোধগম্য উপায়ে, তারা একে অপরের পাশে শেষ হয়েছে, শুধুমাত্র একটি জোড় বিভাজনকারী (পাঁচ এবং সাত, সতেরো এবং উনিশ) দ্বারা পৃথক হয়েছে।
আপনি যদি তাদের ঘনিষ্ঠভাবে লক্ষ্য করেন তবে আপনি লক্ষ্য করবেন যে এই সংখ্যাগুলির যোগফল সর্বদা তিনটির গুণিতক। তদুপরি, বাম সহকর্মীর একটি ট্রিপল দ্বারা ভাগ করলে, অবশিষ্টাংশ সর্বদা একটি দুই থাকে এবং ডানটি - এক। উপরন্তু, প্রাকৃতিক সিরিজের সাথে এই সংখ্যাগুলির খুব বন্টন ভবিষ্যদ্বাণী করা যেতে পারে যদি এই সম্পূর্ণ সিরিজটি অসিলেটরি সাইনোসয়েডের আকারে উপস্থাপন করা হয়, যার প্রধান পয়েন্টগুলি গঠিত হয় যখন সংখ্যাগুলিকে তিন এবং দুই দ্বারা ভাগ করা হয়।
প্রাইম সংখ্যাগুলি শুধুমাত্র বিশ্বজুড়ে গণিতবিদদের দ্বারা ঘনিষ্ঠভাবে যাচাই করার একটি বিষয় নয়, তবে দীর্ঘকাল ধরে সফলভাবে বিভিন্ন সিরিজের সংখ্যা সংকলনে ব্যবহৃত হয়েছে, যা সিফারগ্রাফি সহ ভিত্তি। একই সময়ে, এটি স্বীকৃত হওয়া উচিত যে এই বিস্ময়কর উপাদানগুলির সাথে জড়িত বিপুল সংখ্যক রহস্য এখনও সমাধানের অপেক্ষায় রয়েছে, অনেক প্রশ্নের কেবল দার্শনিকই নয়, ব্যবহারিক তাত্পর্যও রয়েছে।
একটি মৌলিক সংখ্যা হল একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা যা শুধুমাত্র নিজের এবং একটি দ্বারা বিভাজ্য।
বাকি সংখ্যাগুলোকে যৌগিক বলা হয়।
সহজ স্বাভাবিক সংখ্যা
কিন্তু সব প্রাকৃতিক সংখ্যা মৌলিক নয়।
সরল প্রাকৃতিক সংখ্যা হল শুধুমাত্র সেগুলি যেগুলি শুধুমাত্র নিজের দ্বারা এবং একটি দ্বারা বিভাজ্য।
মৌলিক সংখ্যার উদাহরণ:
2; 3; 5; 7; 11; 13;...
সরল পূর্ণসংখ্যা
এটি অনুসরণ করে যে শুধুমাত্র প্রাকৃতিক সংখ্যাই মৌলিক সংখ্যা।
এর মানে হল মৌলিক সংখ্যা অগত্যা স্বাভাবিক।
কিন্তু সমস্ত প্রাকৃতিক সংখ্যাও পূর্ণসংখ্যা।
সুতরাং, সমস্ত মৌলিক সংখ্যা পূর্ণসংখ্যা।
মৌলিক সংখ্যার উদাহরণ:
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23;...
এমনকি মৌলিক সংখ্যা
শুধুমাত্র একটি জোড় মৌলিক সংখ্যা আছে, এবং তা হল দুটি।
অন্য সব মৌলিক সংখ্যা বিজোড়।
কেন দুই থেকে বড় একটি জোড় সংখ্যা মৌলিক সংখ্যা হতে পারে না?
কিন্তু কারণ দুই থেকে বড় যে কোনো জোড় সংখ্যা নিজেই বিভাজ্য হবে, এক দ্বারা নয়, দুই দ্বারা, অর্থাৎ, এই জাতীয় সংখ্যার সবসময় তিনটি ভাজক থাকবে, এবং সম্ভবত আরও বেশি।
কিশটোভকার মার্টেনস পরিবার জার্মানিতে "এখন সবার কাছ থেকে লুকিয়ে আছে" জার্মান মার্টেন পরিবার
বিশ্ববিদ্যালয় প্রবেশিকা পরীক্ষা প্রবেশিকা পরীক্ষা ছাড়া নথিভুক্ত করা মানে কি
RSU এ দূরত্ব শিক্ষা
কিভাবে একটি মেয়ের হৃদয় জয় এবং অর্জন কিভাবে একটি প্রিয়জনের মন জয় করা যায়
নেপোলিয়ন বোনাপার্ট - জীবনী, ফটো, কমান্ডারের ব্যক্তিগত জীবন