직선 원뿔 정의. 직선 원형 원뿔

16.01.2024

원뿔형 표면주어진 곡선의 각 점과 곡선 외부의 점을 통과하는 모든 직선으로 구성된 표면입니다(그림 32).

이 곡선은 가이드 , 똑바로 - 형성 , 도트 - 맨 위 원뿔형 표면.

직선 원형 원추형 표면주어진 원의 각 점을 통과하는 모든 직선과 원의 평면에 수직이고 중심을 통과하는 직선 위의 한 점으로 구성된 표면입니다. 다음에서는 이 표면을 간략하게 부르겠습니다. 원추형 표면 (그림 33).

원뿔 (직선 원형 원뿔 )는 원추형 표면과 가이드 원의 평면과 평행한 평면으로 둘러싸인 기하학적 몸체입니다(그림 34).

쌀. 32 그림. 33 그림. 34

원뿔은 삼각형의 다리 중 하나를 포함하는 축을 중심으로 직각삼각형을 회전시켜 얻은 몸체로 간주될 수 있습니다.

원뿔을 둘러싸는 원을 원뿔이라고 합니다. 기초 . 원뿔형 표면의 꼭지점을 호출합니다. 맨 위 원뿔 원뿔의 꼭지점과 밑면의 중심을 연결하는 선분을 이라고 합니다. 키 원뿔 원뿔형 표면을 형성하는 세그먼트를 호출합니다. 형성 원뿔 중심선 원뿔은 원뿔의 꼭대기와 밑면의 중심을 지나는 직선입니다. 축 단면 원뿔의 축을 통과하는 단면을 호출합니다. 측면개발 원뿔은 섹터(sector)라고 불리며, 그 반경은 원뿔 모선의 길이와 같고 섹터의 호 길이는 원뿔 밑면의 원주와 같습니다.

원뿔의 올바른 공식은 다음과 같습니다.

어디 아르 자형– 기본 반경;

시간- 키;

엘- 모선의 길이

S 베이스– 기본 지역

S측

S 가득

V– 원뿔의 부피.

잘린 원뿔베이스와 원뿔의 베이스와 평행한 절단 평면 사이에 둘러싸인 원뿔 부분이라고 합니다(그림 35).

잘린 원뿔은 밑면에 수직인 사다리꼴의 측면을 포함하는 축을 중심으로 직사각형 사다리꼴을 회전시켜 얻은 몸체로 간주될 수 있습니다.

원뿔을 둘러싸는 두 개의 원을 원뿔이라고 합니다. 원인 . 키 잘린 원뿔의 밑면 사이의 거리입니다. 잘린 원뿔의 원뿔 표면을 형성하는 세그먼트를 호출합니다. 형성 . 밑면의 중심을 지나는 직선을 직선이라고 합니다. 중심선 잘린 원뿔. 축 단면 잘린 원뿔의 축을 통과하는 단면을 호출합니다.

잘린 원뿔의 경우 올바른 공식은 다음과 같습니다.

(8)

어디 아르 자형– 하부 베이스의 반경;

아르 자형– 상부 베이스의 반경;

시간– 높이, l – 모선의 길이;

S측– 측면 표면적;

S 가득- 전체 표면적

V– 잘린 원뿔의 부피.

예시 1.밑면과 평행한 원뿔의 단면은 위에서부터 높이를 1:3의 비율로 나눕니다. 밑면의 반지름과 원뿔의 높이가 9 cm와 12 cm일 때 잘린 원뿔의 옆넓이를 구합니다.

해결책.그림을 그려 봅시다 (그림 36).

잘린 원뿔의 측면 면적을 계산하려면 식 (8)을 사용합니다. 밑면의 반지름을 구해보자 약 1A그리고 약 1V그리고 형성 AB.

비슷한 삼각형을 고려해보세요 SO2B그리고 그래서 1A, 유사성 계수, 그런 다음

여기에서

그때부터

잘린 원뿔의 측면 표면적은 다음과 같습니다.

답변: .

예시 2.반경의 1/4원이 원뿔형 표면으로 접혀 있습니다. 밑면의 반지름과 원뿔의 높이를 구하세요.

해결책.원의 사분면은 원뿔의 측면이 발달한 것입니다. 나타내자 아르 자형– 베이스의 반경, 시간 -키. 다음 공식을 사용하여 측면 표면적을 계산해 보겠습니다. 이는 1/4원의 면적과 같습니다: . 우리는 두 개의 미지수로 방정식을 얻습니다. 아르 자형그리고 엘(원뿔 형성). 이 경우 모선은 1/4원의 반경과 같습니다. 아르 자형, 이는 다음 방정식을 얻는다는 것을 의미합니다. , 베이스와 생성기의 반경을 알면 원뿔의 높이를 찾을 수 있습니다.

답변: 2cm, .

예시 3.예각이 45°이고 밑변이 3cm이고 경사면이 와 같은 직사각형 사다리꼴이 밑변에 수직인 변을 중심으로 회전합니다. 결과적인 회전체의 부피를 구하십시오.

해결책.그림을 그려 봅시다 (그림 37).

회전의 결과로 잘린 원뿔을 얻고, 그 부피를 찾기 위해 더 큰 밑면과 높이의 반경을 계산합니다. 공중 그네에서 O 1 O 2 AB우리는 실시할 것이다 AC^O 1B. B 우리는 가지고 있습니다: 이것은 이 삼각형이 이등변이라는 것을 의미합니다 A.C.=기원전=3cm.

답변:

예시 4.변이 13cm, 37cm, 40cm인 삼각형은 더 큰 변과 평행하고 외부 축에서 3cm 떨어진 곳에 위치한 외부 축을 중심으로 회전합니다(축은 삼각형 평면에 위치함). 결과적인 회전체의 표면적을 찾으십시오.

해결책 . 그림을 그려 봅시다 (그림 38).

결과적인 회전체의 표면은 두 개의 잘린 원뿔의 측면과 원통의 측면으로 구성됩니다. 이 면적을 계산하려면 원뿔과 원통의 밑면의 반지름을 알아야 합니다( BE그리고 OC), 원뿔 형성 ( 기원전그리고 A.C.) 및 원통 높이( AB). 유일하게 알려지지 않은 것은 콜로라도. 이것은 삼각형의 측면에서 회전축까지의 거리입니다. 우리는 찾을 것이다 DC. 한쪽의 삼각형 ABC의 면적은 변 AB의 절반과 거기에 그려진 고도의 곱과 같습니다. DC, 반면에 삼각형의 모든 변을 알고 있으면 헤론의 공식을 사용하여 면적을 계산합니다.

정의:
정의 1. 원뿔
정의 2. 원형 원뿔
정의 3. 원뿔 높이
정의 4. 직선형 원뿔
정의 5. 직원뿔
정리 1. 원뿔 생성기
정리 1.1. 원뿔의 축 단면

볼륨 및 면적:
정리 2. 원뿔의 부피
정리 3. 원뿔의 측면 표면적

절두체 :
정리 4. 밑면에 평행한 단면
정의 6. 잘린 원뿔
정리 5. 잘린 원뿔의 부피
정리 6. 잘린 원뿔의 측면 표면적

정의
상단과 가이드 평면 사이에 있는 원뿔형 표면과 닫힌 곡선으로 형성된 가이드의 평평한 바닥으로 측면이 경계를 이루는 몸체를 원뿔이라고 합니다.

기본 개념
원뿔은 원(밑면), 밑면에 있지 않은 점(꼭지점), 꼭지점과 밑면을 연결하는 모든 선분으로 구성된 몸체입니다.

직선 원뿔은 높이가 원뿔 밑면의 중심을 포함하는 원뿔입니다.

모든 선(곡선, 끊어짐 또는 혼합)을 고려합니다(예: 엘)는 특정 평면에 놓여 있고 이 평면에 있지 않은 임의의 점(예: M)이 있습니다. M점과 주어진 직선의 모든 점을 연결하는 가능한 모든 직선 엘, 형태 표준이라고 불리는 표면. 점 M은 그러한 표면의 꼭지점이며, 주어진 선은 엘 - 가이드. 점 M을 선의 모든 점에 연결하는 모든 직선 엘, 라고 불리는 형성. 표준 표면은 정점이나 안내선에 의해 제한되지 않습니다. 상단에서 양방향으로 무한정 확장됩니다. 이제 가이드를 닫힌 볼록선으로 설정하겠습니다. 가이드가 파선인 경우 상단과 가이드 평면 사이에 있는 표준 표면과 가이드 평면의 평평한 바닥으로 측면이 경계를 이루는 몸체를 피라미드라고 합니다.
가이드가 곡선 또는 혼합 선인 경우 상단과 가이드 평면 사이의 표준 표면과 가이드 평면의 평평한 바닥에 의해 측면이 경계를 이루는 몸체를 원뿔 또는
정의 1 . 원뿔은 밑면 - 닫힌 선(곡선 또는 혼합)으로 둘러싸인 평면 도형, 꼭지점 - 밑면 평면에 있지 않은 점, 그리고 꼭지점과 가능한 모든 점을 연결하는 모든 선분으로 구성된 몸체입니다. 기지의.
원뿔의 꼭지점을 통과하는 모든 직선과 원뿔 밑면의 경계를 이루는 곡선의 모든 점을 원뿔의 생성자라고 합니다. 대부분 기하학적 문제에서 직선의 모선은 꼭지점과 원뿔 밑면 사이에 둘러싸인 이 직선의 세그먼트를 의미합니다.
제한된 혼합 라인의 기반은 매우 드문 경우입니다. 이는 기하학에서 고려될 수 있기 때문에 여기에만 표시됩니다. 곡선 가이드가 있는 경우가 더 자주 고려됩니다. 그러나 임의의 곡선을 갖는 경우와 혼합된 가이드라인을 갖는 경우 모두 거의 쓸모가 없으며, 이들로부터 어떠한 패턴도 도출하기 어렵다. 원뿔 중 오른쪽 원형 원뿔은 기본 기하학 과정에서 연구됩니다.

원은 폐곡선의 특별한 경우로 알려져 있다. 원은 원으로 둘러싸인 평면 도형입니다. 원을 기준으로 원형 원뿔을 정의할 수 있습니다.
정의 2 . 원뿔은 원(밑면), 밑면에 있지 않은 점(꼭지점), 꼭지점과 밑면을 연결하는 모든 선분으로 구성된 몸체입니다.
정의 3 . 원뿔의 높이는 원뿔의 꼭대기에서 밑면까지 내려오는 수직선입니다. 높이가 밑면의 평평한 그림 중앙에 있는 원뿔을 선택할 수 있습니다.
정의 4 . 직선 원뿔은 높이가 원뿔 밑면의 중심을 포함하는 원뿔입니다.
이 두 정의를 결합하면 밑면이 원이고 높이는 이 원의 중심에 있는 원뿔을 얻습니다.
정의 5 . 직원뿔은 밑면이 원이고 높이가 이 원뿔의 밑면의 꼭대기와 중심을 연결하는 원뿔입니다. 이러한 원뿔은 다리 중 하나를 중심으로 직각 삼각형을 회전하여 얻습니다. 따라서 직원뿔은 회전체이며 회전원추라고도 합니다. 달리 명시하지 않는 한, 이하에서는 간결함을 위해 단순히 원뿔이라고 부릅니다.
원뿔의 몇 가지 속성은 다음과 같습니다.
정리 1. 원뿔의 모든 생성기는 동일합니다. 증거. MO의 높이는 밑면의 모든 직선에 수직입니다. 정의에 따르면 평면에 수직인 직선입니다. 따라서 삼각형 MOA, MOB 및 MOS는 직사각형이고 두 다리가 동일합니다(MO가 일반적인 것, OA=OB=OS는 밑면의 반지름입니다. 따라서 빗변, 즉 생성자도 동일합니다.
원뿔 밑면의 반경은 때때로 다음과 같이 불립니다. 원뿔 반경. 원뿔의 높이라고도 합니다. 원뿔 축, 따라서 높이를 통과하는 모든 섹션을 호출합니다. 축 단면. 모든 축 단면은 직경이 밑면과 교차하고 (축 단면과 밑면의 평면이 교차하는 직선이 원의 중심을 통과하기 때문에) 이등변 삼각형을 형성합니다.
정리 1.1. 원뿔의 축 단면은 이등변삼각형입니다. 따라서 삼각형 AMB는 이등변입니다. 왜냐하면 MB와 MA의 양면은 생성기입니다. 각도 AMB는 축 단면의 꼭지점에서의 각도입니다.

그리고 밑면에 평행한 평면( 쌀. ). 영국의 부피는 다음과 같습니다. , 어디 아르 자형 1과 아르 자형 2 – 기본 반경, 시간 -키.

위대한 소련 백과사전. - M.: 소련 백과사전. 1969-1978 .

다른 사전에 "잘린 원뿔"이 무엇인지 확인하십시오.

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절두체- - 주제 석유 및 가스 산업 EN 원뿔대 ... 기술 번역가 가이드

잘림, 잘림, 잘림; 잘렸어, 잘렸어, 잘렸어. 1. 파. 고통 과거 VR. 잘라내기(책)에서. 2. 윗부분이 밑면과 평행한 평면(원추형, 피라미드형, 매트형)으로 잘려진 것. 절두체. 잘린 피라미드... Ushakov의 설명 사전

잘린- 오, 오.; 수학. 밑면과 평행한 평면에 의해 윗부분이 잘려진 것. 절두체. 피라미드... 다양한 표현의 사전

잘렸습니다. 오, 오. 수학에서: 정점 부분이 분리되고 베이스와 평행한 평면에 의해 절단되는 부분입니다. U. 콘. 잘린 피라미드. Ozhegov의 설명 사전. 시. Ozhegov, N.Yu. Shvedova. 1949년 1992년 … Ozhegov의 설명 사전

아야, 아. 1. 파. 고통 과거 잘린 것에서. 2. 의미상 조정. 매트. 밑면과 평행한 평면에 의해 윗부분이 잘려진 것. 절두체. 잘린 피라미드. 3. 의미상 조정. 그램., 리터. 잘림(2자리)으로 다음을 나타냅니다. 작은 학술 사전

직선 원형 원뿔. 직접적이고... 위키피디아

- (라틴어 conus, 그리스어 konos에서 유래) 원추형 표면은 특정 선(가이드)의 모든 점을 공간의 주어진 지점(정점)과 연결하는 공간의 직선(생성기) 세트입니다. 가장 단순한 K.는 둥글거나 직선형이며 다음을 향합니다. 큰 백과사전 폴리테크닉 사전

- (라틴어 conus, 그리스어 konos에서 유래) (수학), 1) K. 또는 원추형 표면, 특정 선(가이드)의 모든 점을 주어진 점(정점)과 연결하는 공간의 직선(생성기)의 기하학적 궤적 공간의.… 위대한 소련 백과사전

우리 주변의 세계는 역동적이고 다양하며, 모든 물체를 자로 간단히 측정할 수 있는 것은 아닙니다. 이러한 전송에는 삼각측량과 같은 특수 기술이 사용됩니다. 일반적으로 복잡한 개발을 컴파일해야 할 필요성 ... ... Wikipedia

원뿔(그리스어 "konos"에서 유래)- 솔방울. 원뿔은 고대부터 사람들에게 알려져 왔습니다. 1906년에 아르키메데스(기원전 287-212년)가 쓴 "방법론"이라는 책이 발견되었는데, 이 책은 교차하는 원통의 공통 부분의 부피 문제에 대한 해결책을 제시합니다. 아르키메데스는 이 발견이 고대 그리스 철학자 데모크리토스(기원전 470-380년)의 것이라고 말합니다. 그는 이 원리를 사용하여 피라미드와 원뿔의 부피를 계산하는 공식을 얻었습니다.

원뿔(원뿔)은 원뿔의 밑면, 이 원의 평면에 속하지 않는 점, 원뿔의 꼭지점과 원뿔의 꼭지점과 점을 연결하는 모든 세그먼트로 구성된 몸체입니다. 기본 원. 원뿔의 꼭지점과 밑원의 점을 연결하는 선분을 원뿔 생성기라고 합니다. 원뿔의 표면은 밑면과 측면으로 구성됩니다.

원뿔의 꼭지점과 밑면의 중심을 연결하는 직선이 밑면에 수직인 경우를 직선이라고 합니다. 직원뿔은 다리를 축으로 한 직각삼각형을 회전시켜 얻은 몸체로 간주할 수 있습니다.

원뿔의 높이는 원뿔의 꼭대기에서 밑면의 평면까지 내려가는 수직선입니다. 직선 원뿔의 경우 높이의 밑면이 밑면의 중심과 일치합니다. 직각 원뿔의 축은 높이를 포함하는 직선입니다.

원뿔의 모선을 통과하고 이 모선을 통해 그려진 축 단면에 수직인 평면에 의한 원뿔의 단면을 원뿔의 접평면이라고 합니다.

원뿔 축에 수직인 평면은 원뿔과 원뿔과 교차하고, 측면은 원뿔 축을 중심으로 하는 원과 교차합니다.

원뿔의 축에 수직인 평면은 더 작은 원뿔을 잘라냅니다. 나머지 부분을 잘린 원뿔이라고 합니다.

원뿔의 부피는 높이와 밑면 면적의 곱의 1/3과 같습니다. 따라서 주어진 밑면 위에 놓여 있고 밑면과 평행한 주어진 평면에 꼭지점을 갖는 모든 원뿔은 높이가 동일하므로 부피가 동일합니다.

원뿔의 측면 표면적은 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

S측 = πRl,

원뿔의 전체 표면적은 다음 공식으로 구합니다.

S con = πR1 + πR2,

여기서 R은 밑면의 반경, l은 모선의 길이입니다.

원형 원뿔의 부피는 다음과 같습니다.

V = 1/3πR2H,

여기서 R은 밑면의 반경, H는 원뿔의 높이입니다.

잘린 원뿔의 측면 표면적은 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.

S측 = π(R + r)l,

잘린 원뿔의 전체 표면적은 다음 공식을 사용하여 구할 수 있습니다.

S con = πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,

여기서 R은 하단 베이스의 반경, r은 상단 베이스의 반경, l은 모선의 길이입니다.

잘린 원뿔의 부피는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

V = 1/3πH(R 2 + Rr + r 2),

여기서 R은 아래쪽 밑면의 반경, r은 위쪽 밑면의 반경, H는 원뿔의 높이입니다.

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쌀. 1. 원뿔대 모양을 한 생명체의 물체

기하학의 새로운 모양은 어디에서 나온다고 생각하시나요? 모든 것은 매우 간단합니다. 사람은 인생에서 비슷한 물건을 발견하고 그 이름을 생각해냅니다. 서커스에서 사자가 앉아 있는 스탠드, 일부만 잘라서 얻은 당근 조각, 활화산, 예를 들어 손전등에서 나오는 빛을 생각해 보십시오(그림 1 참조).

쌀. 2. 기하학적 모양

우리는 이 모든 그림이 비슷한 모양임을 알 수 있습니다. 아래와 위 모두 원으로 제한되지만 위쪽으로 가늘어집니다(그림 2 참조).

쌀. 3. 콘 윗부분 자르기

원뿔처럼 보입니다. 윗부분만 없어졌네요. 우리가 원뿔을 가져다가 날카로운 검을 한 번 휘둘러 윗부분을 잘라낸다고 정신적으로 상상해 봅시다(그림 3 참조).

쌀. 4. 잘린 원뿔

결과는 바로 우리의 그림이며, 이를 잘린 원뿔이라고 합니다(그림 4 참조).

쌀. 5. 원뿔 밑면에 평행한 단면

원뿔을 주자. 이 원뿔의 밑면과 평행하고 원뿔과 교차하는 평면을 그려 보겠습니다(그림 5 참조).

원뿔을 두 개의 몸체로 분할합니다. 그 중 하나는 더 작은 원뿔이고 두 번째는 잘린 원뿔이라고 합니다(그림 6 참조).

쌀. 6. 평행한 단면을 가진 결과 몸체

따라서 잘린 원뿔은 밑면과 밑면에 평행한 평면 사이에 둘러싸인 원뿔의 일부입니다. 원뿔과 마찬가지로 잘린 원뿔도 밑면에 원이 있을 수 있으며, 이 경우 이를 원형이라고 합니다. 원래 원뿔이 직선이었다면 잘린 원뿔을 직선이라고 합니다. 원뿔의 경우와 마찬가지로 간접 원뿔대에 대해 이야기하고 있거나 그 밑면이 원이 아니라고 구체적으로 명시하지 않는 한 직선형 원뿔대만 고려합니다.

쌀. 7. 직사각형 사다리꼴의 회전

우리의 글로벌 주제는 혁명의 몸입니다. 잘린 원뿔도 예외는 아닙니다! 원뿔을 얻기 위해 직각삼각형을 고려하고 그것을 다리 주위로 회전시켰다는 것을 기억합시다. 결과 원뿔이 밑면에 평행한 평면과 교차하면 삼각형은 직사각형 사다리꼴로 유지됩니다. 작은 쪽을 중심으로 회전하면 잘린 원뿔이 생성됩니다. 물론 우리는 직선형 원뿔에 대해서만 이야기하고 있음을 다시 한 번 알아두십시오(그림 7 참조).

쌀. 8. 잘린 원뿔의 밑면

몇 가지 의견을 제시해 보겠습니다. 완전한 원뿔의 밑면과 평면에 의한 원뿔 단면으로 인한 원을 잘린 원뿔의 밑면(하부 및 상단)이라고 합니다(그림 8 참조).

쌀. 9. 원뿔대 생성기

잘린 원뿔의 밑면 사이에 둘러싸인 완전한 원뿔 생성기의 세그먼트를 잘린 원뿔 생성기라고 합니다. 원래 원뿔의 모든 생성자가 동일하고 잘린 원뿔의 모든 생성자가 동일하므로 잘린 원뿔의 생성자는 동일합니다(잘린 원뿔과 잘린 원뿔을 혼동하지 마십시오!). 이는 사다리꼴의 축 단면이 이등변임을 의미합니다(그림 9 참조).

잘린 원뿔 내부에 둘러싸인 회전축 부분을 잘린 원뿔 축이라고합니다. 물론 이 세그먼트는 베이스의 중심을 연결합니다(그림 10 참조).