অনলাইনে মডুলার সমীকরণের সমাধান। মডুলো সমীকরণ

আমরা গণিত পছন্দ করি নাতার পেশা, এবং সে আমাদের বেছে নেয়।

রাশিয়ান গণিতবিদ Yu.I. মানিন

মডুলো সমীকরণ

স্কুলের গণিতে সমাধান করা সবচেয়ে কঠিন সমস্যা হল মডিউল চিহ্নের অধীনে ভেরিয়েবল সমন্বিত সমীকরণ। এই ধরনের সমীকরণ সফলভাবে সমাধান করার জন্য, মডিউলটির সংজ্ঞা এবং মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলি জানা প্রয়োজন। স্বাভাবিকভাবেই, শিক্ষার্থীদের এই ধরণের সমীকরণ সমাধান করার দক্ষতা থাকা উচিত।

মৌলিক ধারণা এবং বৈশিষ্ট্য

একটি বাস্তব সংখ্যার মডুলাস (পরম মান)চিহ্নিত এবং নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়:

প্রতি সহজ বৈশিষ্ট্যমডিউল নিম্নলিখিত সম্পর্ক অন্তর্ভুক্ত:

বিঃদ্রঃ, যে শেষ দুটি বৈশিষ্ট্য কোনো জোড় ডিগ্রীর জন্য রাখা.

এছাড়াও, যদি, কোথায়, তারপর এবং

আরো জটিল মডিউল বৈশিষ্ট্য, যা কার্যকরভাবে মডিউল সহ সমীকরণ সমাধানে ব্যবহার করা যেতে পারে, নিম্নলিখিত উপপাদ্য মাধ্যমে প্রণয়ন করা হয়:

উপপাদ্য ঘ.কোনো বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন জন্যএবং অসমতা

উপপাদ্য 2।সমতা বৈষম্যের সমান।

উপপাদ্য 3.সমতা অসমতার সমতুল্য.

"সমীকরণ" বিষয়ে সমস্যা সমাধানের সাধারণ উদাহরণ বিবেচনা করুন, মডিউল চিহ্নের অধীনে ভেরিয়েবল ধারণ করে।

মডুলাস দিয়ে সমীকরণ সমাধান করা

একটি মডুলাস দিয়ে সমীকরণ সমাধানের জন্য স্কুলের গণিতের সবচেয়ে সাধারণ পদ্ধতি হল পদ্ধতি, মডিউল সম্প্রসারণের উপর ভিত্তি করে। এই পদ্ধতিটি জেনেরিক, যাইহোক, সাধারণ ক্ষেত্রে, এর প্রয়োগ খুব কষ্টকর গণনার দিকে নিয়ে যেতে পারে। এ বিষয়ে শিক্ষার্থীদেরও অন্যদের সচেতন হতে হবে, আরো কার্যকর পদ্ধতিএবং এই ধরনের সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি। নির্দিষ্টভাবে, উপপাদ্য প্রয়োগ করার দক্ষতা থাকতে হবে, এই নিবন্ধে দেওয়া.

উদাহরণ 1সমীকরণটি সমাধান করুন। (এক)

সমাধান। সমীকরণ (1) "শাস্ত্রীয়" পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করা হবে - মডিউল সম্প্রসারণ পদ্ধতি। এটি করার জন্য, আমরা সংখ্যাসূচক অক্ষ ভাঙ্গাবিন্দু এবং বিরতি এবং তিনটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন।

1. যদি , তাহলে , , , এবং সমীকরণ (1) রূপ নেয়। এটি এখান থেকে অনুসরণ করে। যাইহোক, এখানে , তাই পাওয়া মানটি সমীকরণের মূল নয় (1)।

2. যদি, তারপর সমীকরণ (1) থেকে আমরা পাইঅথবা

তখন থেকে সমীকরণের মূল (1)।

3. যদি, তারপর সমীকরণ (1) রূপ নেয়অথবা মনে রাখবেন যে .

উত্তর: , .

একটি মডিউল দিয়ে নিম্নলিখিত সমীকরণগুলি সমাধান করার সময়, আমরা এই ধরনের সমীকরণগুলি সমাধান করার দক্ষতা বাড়াতে সক্রিয়ভাবে মডিউলগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করব।

উদাহরণ 2সমীকরণ সমাধান করুন.

সমাধান।যেহেতু এবং তারপর এটি সমীকরণ থেকে অনুসরণ করে. এ প্রসঙ্গে,,,, এবং সমীকরণ হয়ে যায়. এখান থেকে আমরা পাই. যাহোক , তাই মূল সমীকরণের কোনো শিকড় নেই।

উত্তর: শিকড় নেই।

উদাহরণ 3সমীকরণ সমাধান করুন.

সমাধান।তখন থেকে . যদি, তাহলে, এবং সমীকরণ হয়ে যায়.

এখান থেকে আমরা পাই।

উদাহরণ 4সমীকরণ সমাধান করুন.

সমাধান।আসুন সমীকরণটিকে একটি সমতুল্য আকারে পুনরায় লিখি. (2)

ফলস্বরূপ সমীকরণটি টাইপের সমীকরণের অন্তর্গত।

উপপাদ্য 2 বিবেচনা করে, আমরা বলতে পারি যে সমীকরণ (2) অসমতার সমতুল্য। এখান থেকে আমরা পাই।

উত্তর: .

উদাহরণ 5সমীকরণটি সমাধান করুন।

সমাধান। এই সমীকরণ ফর্ম আছে. এই জন্য , উপপাদ্য 3 অনুযায়ী, এখানে আমাদের অসমতা আছেঅথবা

উদাহরণ 6সমীকরণ সমাধান করুন.

সমাধান।ধরা যাক যে. কারণ , তাহলে প্রদত্ত সমীকরণটি দ্বিঘাত সমীকরণে রূপ নেয়, (3)

কোথায় . যেহেতু সমীকরণ (3) এর একটি একক ধনাত্মক মূল রয়েছেএবং তারপর . এখান থেকে আমরা মূল সমীকরণের দুটি মূল পাই:এবং .

উদাহরণ 7 সমীকরণ সমাধান করুন. (4)

সমাধান। যেহেতু সমীকরণদুটি সমীকরণের সমন্বয়ের সমতুল্য:এবং , তারপর সমীকরণ (4) সমাধান করার সময় দুটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করা প্রয়োজন।

1. যদি , তারপর বা .

এখান থেকে আমরা পাই, এবং।

2. যদি , তারপর বা .

তখন থেকে .

উত্তর: , , , .

উদাহরণ 8সমীকরণ সমাধান করুন . (5)

সমাধান।তারপর থেকে এবং এখান থেকে এবং Eq. (5) থেকে এটি অনুসরণ করে এবং , i.e. এখানে আমাদের সমীকরণের একটি সিস্টেম আছে

যাইহোক, সমীকরণের এই সিস্টেমটি অসামঞ্জস্যপূর্ণ।

উত্তর: শিকড় নেই।

উদাহরণ 9 সমীকরণ সমাধান করুন. (6)

সমাধান।যদি আমরা মনোনীত করি এবং সমীকরণ (6) থেকে আমরা প্রাপ্ত করি

বা (৭)

যেহেতু সমীকরণ (7) এর ফর্ম আছে, তাই এই সমীকরণটি অসমতার সমতুল্য। এখান থেকে আমরা পাই। তারপর থেকে বা।

উত্তর: .

উদাহরণ 10সমীকরণ সমাধান করুন. (8)

সমাধান।উপপাদ্য 1 অনুসারে, আমরা লিখতে পারি

(9)

সমীকরণ (8) বিবেচনায় নিয়ে, আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে উভয় অসমতা (9) সমতায় পরিণত হয়, অর্থাৎ সমীকরণের একটি সিস্টেম আছে

যাইহোক, উপপাদ্য 3 দ্বারা, সমীকরণের উপরের সিস্টেমটি অসমতার সিস্টেমের সমতুল্য

(10)

বৈষম্যের ব্যবস্থার সমাধান (10) আমরা প্রাপ্ত করি। যেহেতু অসমতার সিস্টেম (10) সমীকরণ (8) এর সমতুল্য, তাই মূল সমীকরণটির একটি একক মূল রয়েছে।

উত্তর: .

উদাহরণ 11। সমীকরণ সমাধান করুন. (11)

সমাধান।যাক এবং , তারপর সমীকরণ (11) সমতা বোঝায়।

এই থেকে এটি যে অনুসরণ করে এবং . সুতরাং, আমাদের এখানে অসমতার একটি ব্যবস্থা রয়েছে

এই বৈষম্য ব্যবস্থার সমাধান হচ্ছেএবং .

উত্তর: , .

উদাহরণ 12।সমীকরণ সমাধান করুন. (12)

সমাধান। সমীকরণ (12) মডিউলগুলির ধারাবাহিক প্রসারণের পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করা হবে। এটি করার জন্য, বেশ কয়েকটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন।

1. যদি, তাহলে।

1.1। যদি , তাহলে এবং , .

1.2। যদি, তাহলে. যাহোক , অতএব, এই ক্ষেত্রে, সমীকরণ (12) এর কোন মূল নেই।

2. যদি, তাহলে।

2.1। যদি , তাহলে এবং , .

2.2। যদি , তারপর এবং .

উত্তর: , , , , .

উদাহরণ 13সমীকরণ সমাধান করুন. (13)

সমাধান।যেহেতু সমীকরণের বাম দিক (13) অ-ঋণাত্মক, তারপর এবং . এই বিষয়ে, , এবং সমীকরণ (13)

রূপ নেয় বা।

জানা গেছে সমীকরণ দুটি সমীকরণের সমন্বয়ের সমতুল্যএবং , আমরা পেতে যা সমাধান, কারণ , তারপর সমীকরণ (13) এর একটি মূল আছে.

উত্তর: .

উদাহরণ 14 সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন (14)

সমাধান।যেহেতু এবং , তারপর এবং . অতএব, সমীকরণের সিস্টেম (14) থেকে আমরা সমীকরণের চারটি সিস্টেম পাই:

সমীকরণের উপরের সিস্টেমগুলির শিকড়গুলি হল সমীকরণের সিস্টেমের মূল (14)।

উত্তর: ,, , , , , , .

উদাহরণ 15 সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন (15)

সমাধান।তখন থেকে . এই বিষয়ে, সমীকরণ (15) সিস্টেম থেকে আমরা সমীকরণের দুটি সিস্টেম পাই

সমীকরণের প্রথম সিস্টেমের মূল হল এবং , এবং দ্বিতীয় সমীকরণ সিস্টেম থেকে আমরা পাই এবং .

উত্তর: , , , .

উদাহরণ 16 সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করুন (16)

সমাধান।এটি সিস্টেমের প্রথম সমীকরণ (16) থেকে অনুসরণ করে যে .

তখন থেকে . সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণ বিবেচনা করুন। কারন, তারপর, এবং সমীকরণ হয়ে যায়, বা

যদি আমরা মান প্রতিস্থাপনসিস্টেমের প্রথম সমীকরণে (16), তারপর, বা

উত্তর: , .

সমস্যা সমাধানের পদ্ধতির গভীর অধ্যয়নের জন্য, সমীকরণের সমাধানের সাথে সম্পর্কিত, মডিউল চিহ্নের অধীনে ভেরিয়েবল ধারণ করে, আপনি পরামর্শ দিতে পারেন অধ্যয়ন গাইডপ্রস্তাবিত সাহিত্যের তালিকা থেকে।

1. কারিগরি বিশ্ববিদ্যালয়/এড-এ আবেদনকারীদের জন্য গণিতে কাজের সংগ্রহ। এম.আই. স্ক্যানভি। - এম।: বিশ্ব এবং শিক্ষা, 2013। - 608 পি।

2. Suprun V.P. উচ্চ বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের জন্য গণিত: কাজ বর্ধিত জটিলতা. - এম।: কেডি "লিব্রোকম" / ইউআরএসএস, 2017। - 200 পি।

3. Suprun V.P. উচ্চ বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের জন্য গণিত: সমস্যা সমাধানের জন্য অ-মানক পদ্ধতি। - এম।: কেডি "লিব্রোকম" / ইউআরএসএস, 2017। - 296 পি।

আপনি কি কিছু জানতে চান?

একজন গৃহশিক্ষকের সাহায্য পেতে - নিবন্ধন করুন।

সাইটে, উপাদানের সম্পূর্ণ বা আংশিক অনুলিপি সহ, উৎসের একটি লিঙ্ক প্রয়োজন।

মধ্যে মডিউল প্রতি উদাহরণপ্রায়শই এমন সমীকরণ রয়েছে যেখানে আপনাকে খুঁজে বের করতে হবে মডিউল মধ্যে মডিউল শিকড়, অর্থাৎ ফর্মের একটি সমীকরণ
||a*x-b|-c|=k*x+m
যদি k=0 , অর্থাৎ ডান দিকটি একটি ধ্রুবক (m) এর সমান হয় তাহলে সমাধান খোঁজা সহজ হয় গ্রাফিকভাবে মডিউল সহ সমীকরণ।নীচে পদ্ধতিটি দেওয়া হল ডাবল মডিউল স্থাপনসাধারণ অনুশীলন উদাহরণের উপর। মডিউলগুলির সাথে সমীকরণ গণনার জন্য অ্যালগরিদমটি ভালভাবে বুঝুন, যাতে নিয়ন্ত্রণ, পরীক্ষা এবং শুধু জানতে সমস্যা না হয়।

উদাহরণ 1 মডিউলে সমীকরণটি সমাধান করুন |3|x|-5|=-2x-2।
সমাধান: সর্বদা অভ্যন্তরীণ মডিউল থেকে সমীকরণগুলি প্রসারিত করা শুরু করুন
|x|=0 <->x=0।
x=0 বিন্দুতে, মডুলাস সহ সমীকরণটি 2 দ্বারা বিভক্ত।
এক্স এর জন্য< 0 подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2।
x>0 বা সমানের জন্য, মডুলাস প্রসারিত করলে আমরা পাই
|3x-5|=-2x-2।
আসুন সমীকরণটি সমাধান করিনেতিবাচক ভেরিয়েবলের জন্য (x< 0) . Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе - раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная - меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).

প্রথম সমীকরণ থেকে, আমরা পাই যে সমাধানটি (-1) এর বেশি হওয়া উচিত নয়, অর্থাৎ

এই বিধিনিষেধটি সম্পূর্ণভাবে সেই এলাকার জন্য যেখানে আমরা সমাধান করছি৷ চলক এবং ধ্রুবকগুলিকে প্রথম এবং দ্বিতীয় সিস্টেমে সমতার বিপরীত দিকে সরানো যাক

এবং একটি সমাধান খুঁজে বের করুন


উভয় মানই বিবেচিত ব্যবধানের অন্তর্গত, অর্থাৎ তারা মূল।
ইতিবাচক ভেরিয়েবলের জন্য মডিউল সহ একটি সমীকরণ বিবেচনা করুন
|3x-5|=-2x-2।
মডিউলটি প্রসারিত করে, আমরা সমীকরণের দুটি সিস্টেম পাই

প্রথম সমীকরণ থেকে, যা দুটি সিস্টেমের জন্য সাধারণ, আমরা পরিচিত শর্তটি পাই

যা, সেটের সাথে ছেদ করে যার উপর আমরা একটি সমাধান খুঁজছি, একটি খালি সেট দেয় (কোন ছেদ বিন্দু নেই)। তাই মডিউল সহ মডিউলের একমাত্র রুট হল মান
x=-3; x=-1.4।

উদাহরণ 2 মডিউল দিয়ে সমীকরণটি সমাধান করুন ||x-1|-2|=3x-4।
সমাধান: আসুন ভিতরের মডিউলটি প্রসারিত করে শুরু করি
|x-1|=0 <=>x=1।
একটি সাবমডিউল ফাংশন একটিতে সাইন পরিবর্তন করে। ছোট মানগুলিতে এটি নেতিবাচক, বড় মানগুলিতে এটি ইতিবাচক। এটি অনুসারে, অভ্যন্তরীণ মডিউলটি প্রসারিত করার সময়, আমরা মডিউলটির সাথে দুটি সমীকরণ পাই
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4।
মডুলাস সহ সমীকরণের ডান দিকটি পরীক্ষা করতে ভুলবেন না, এটি অবশ্যই শূন্যের চেয়ে বেশি হতে হবে।
3x-4>=0 -> x>=4/3।
এর মানে হল যে সমীকরণের প্রথমটি সমাধান করার দরকার নেই, যেহেতু এটি x এর জন্য লেখা হয়েছে< 1, что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4অথবা x-3=4-3x;
4-3=3x-x বা x+3x=4+3;
2x=1 বা 4x=7;
x=1/2 বা x=7/4।
আমরা দুটি মান পেয়েছি, যার মধ্যে প্রথমটি প্রত্যাখ্যান করা হয়েছে, কারণ এটি পছন্দসই ব্যবধানের অন্তর্গত নয়। চূড়ান্ত সমীকরণের একটি সমাধান আছে x=7/4।

উদাহরণ 3 মডিউল দিয়ে সমীকরণটি সমাধান করুন ||2x-5|-1|=x+3।
সমাধান: চলুন অভ্যন্তরীণ মডিউল খুলি
|2x-5|=0 <=>x=5/2=2.5।
বিন্দু x=2.5 সাংখ্যিক অক্ষকে দুটি ব্যবধানে বিভক্ত করে। যথাক্রমে, সাবমডিউল ফাংশন 2.5 এর মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময় পরিবর্তনের চিহ্ন। এর সাথে সমাধানের শর্ত লিখুন ডান পাশমডুলো সমীকরণ।
x+3>=0 -> x>=-3.
সুতরাং সমাধানটি মান হতে পারে (-3) এর কম নয়। অভ্যন্তরীণ মডুলাসের ঋণাত্মক মানের জন্য মডুলাসটি প্রসারিত করা যাক
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3।
এই মডিউলটি প্রসারিত হলে 2টি সমীকরণও দেবে
-2x+4=x+3 বা 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 বা 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3 বা x=7।
মান x=7 প্রত্যাখ্যান করা হয়েছে, যেহেতু আমরা ব্যবধানে একটি সমাধান খুঁজছিলাম [-3;2.5]। এখন x>2.5 এর জন্য ভিতরের মডিউলটি প্রসারিত করুন। আমরা একটি মডিউল দিয়ে একটি সমীকরণ পাই
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3।
মডিউলটি প্রসারিত করার সময়, আমরা নিম্নলিখিত রৈখিক সমীকরণগুলি পাই
-2x+6=x+3 বা 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 বা 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 বা x=9।
প্রথম মান x=1 শর্তটি পূরণ করে না x>2.5। সুতরাং এই ব্যবধানে আমাদের কাছে মডুলাস x=9 সমীকরণের একটি মূল রয়েছে এবং তাদের মধ্যে কেবল দুটি রয়েছে (x=1/3)। প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে, আপনি সম্পাদিত গণনার সঠিকতা পরীক্ষা করতে পারেন।
উত্তর: x=1/3; x=9।

উদাহরণ 4 ডবল মডিউলের সমাধান খুঁজুন ||3x-1|-5|=2x-3।
সমাধান: সমীকরণের ভিতরের মডিউলটি প্রসারিত করুন
|3x-1|=0 <=>x=1/3।
বিন্দু x=2.5 সংখ্যাসূচক অক্ষকে দুটি ব্যবধানে এবং প্রদত্ত সমীকরণটিকে দুটি ক্ষেত্রে ভাগ করে। আমরা ডান দিকের সমীকরণের ধরণের উপর ভিত্তি করে সমাধানের শর্তটি লিখি
2x-3>=0 -> x>=3/2=1.5।
এটি অনুসরণ করে যে আমরা মানগুলিতে আগ্রহী >=1.5। এইভাবে মডুলার সমীকরণদুটি ব্যবধান দেখুন
,
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3।
ফলস্বরূপ মডিউল, যখন প্রসারিত হয়, তখন 2টি সমীকরণে বিভক্ত হয়
-3x-4=2x-3 বা 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 বা 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 বা x=-7।
উভয় মানই ব্যবধানের মধ্যে পড়ে না, অর্থাৎ, তারা মডিউল সহ সমীকরণের সমাধান নয়। এর পরে, x>2.5 এর জন্য মডুলাস প্রসারিত করুন। আমরা নিম্নলিখিত সমীকরণ পেতে
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3.
মডিউলটি প্রসারিত করে, আমরা 2টি রৈখিক সমীকরণ পাই
3x-6=2x-3 বা –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6অথবা 2x+3x=6+3;
x=3 বা 5x=9; x=9/5=1.8।
পাওয়া দ্বিতীয় মানটি x>2.5 শর্ত পূরণ করে না, আমরা এটি প্রত্যাখ্যান করি।
অবশেষে x=3 মডিউল সহ আমাদের সমীকরণের একটি মূল আছে।
আমরা একটি চেক সঞ্চালন
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3 .
মডুলাসের সাথে সমীকরণের মূল সঠিকভাবে গণনা করা হয়েছে।
উত্তর: x=1/3; x=9।

এই নিবন্ধে, আমরা বিস্তারিত বিশ্লেষণ করব একটি সংখ্যার পরম মান. আমরা একটি সংখ্যার মডুলাসের বিভিন্ন সংজ্ঞা দেব, স্বরলিপি প্রবর্তন করব এবং গ্রাফিক চিত্রগুলি দেব। এই ক্ষেত্রে, আমরা সংজ্ঞা দ্বারা একটি সংখ্যার মডুলাস খুঁজে বের করার বিভিন্ন উদাহরণ বিবেচনা করি। এর পরে, আমরা মডিউলের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি তালিকাভুক্ত করি এবং ন্যায্যতা করি। নিবন্ধের শেষে, আমরা কীভাবে একটি জটিল সংখ্যার মডুলাস নির্ধারণ এবং পাওয়া যায় সে সম্পর্কে কথা বলব।

পৃষ্ঠা নেভিগেশন.

সংখ্যার মডুলাস - সংজ্ঞা, স্বরলিপি এবং উদাহরণ

প্রথমে আমরা পরিচয় করিয়ে দিই মডুলাস পদবী. a সংখ্যাটির মডিউলটি লেখা হবে, অর্থাৎ সংখ্যাটির বাম এবং ডানে আমরা উল্লম্ব রেখাগুলি রাখব যা মডিউলটির চিহ্ন তৈরি করে। কয়েকটা উদাহরণ দেওয়া যাক। উদাহরণস্বরূপ, modulo -7 হিসাবে লেখা যেতে পারে; মডিউল 4,125 হিসাবে লেখা হয়, এবং মডিউল হিসাবে লেখা হয়।

মডিউলের নিম্নলিখিত সংজ্ঞাটি বাস্তব সংখ্যার সেটের উপাদান অংশ হিসাবে, এবং তাই, এবং পূর্ণসংখ্যা এবং মূলদ এবং অমূলদ সংখ্যাকে বোঝায়। আমরা একটি জটিল সংখ্যার মডুলাস সম্পর্কে কথা বলব।

সংজ্ঞা।

a এর মডুলাসহয় সংখ্যাটি a নিজেই, যদি a একটি ধনাত্মক সংখ্যা হয়, বা সংখ্যা −a, সংখ্যাটির বিপরীত, a যদি একটি ঋণাত্মক সংখ্যা হয়, অথবা 0, যদি a=0 হয়।

একটি সংখ্যার মডুলাসের স্বরযুক্ত সংজ্ঞা প্রায়শই নিম্নলিখিত আকারে লেখা হয় , এই স্বরলিপির অর্থ হল যদি a>0 , if a=0 , এবং if a<0 .

রেকর্ডটি আরও কমপ্যাক্ট আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে . এই স্বরলিপির অর্থ হল যদি (a 0 এর চেয়ে বড় বা সমান), এবং যদি a<0 .

রেকর্ডও আছে . এখানে, কেস যখন a=0 আলাদাভাবে ব্যাখ্যা করা উচিত। এই ক্ষেত্রে, আমাদের আছে , কিন্তু −0=0 , যেহেতু শূন্য একটি সংখ্যা হিসাবে বিবেচিত হয় যা তার নিজের বিপরীত।

নিয়ে আসি একটি সংখ্যার মডুলাস খোঁজার উদাহরণএকটি প্রদত্ত সংজ্ঞা সহ। উদাহরণস্বরূপ, আসুন 15 এবং সংখ্যার মডিউলগুলি সন্ধান করি। এর খুঁজে শুরু করা যাক. যেহেতু 15 নম্বরটি ধনাত্মক, এর মডুলাসটি সংজ্ঞা অনুসারে, এই সংখ্যার সমান, অর্থাৎ। একটি সংখ্যার মডুলাস কি? যেহেতু একটি ঋণাত্মক সংখ্যা, তাহলে এর মডুলাস সংখ্যাটির বিপরীত সংখ্যার সমান, অর্থাৎ সংখ্যাটি . এইভাবে, .

এই অনুচ্ছেদের উপসংহারে, আমরা একটি উপসংহার দিই, যা একটি সংখ্যার মডুলাস খুঁজে বের করার সময় অনুশীলনে প্রয়োগ করা খুবই সুবিধাজনক। একটি সংখ্যার মডুলাসের সংজ্ঞা থেকে এটি অনুসরণ করে একটি সংখ্যার মডুলাস মডুলাসের চিহ্নের নীচে থাকা সংখ্যার সমান, তার চিহ্ন নির্বিশেষে, এবং উপরে আলোচনা করা উদাহরণ থেকে, এটি খুব স্পষ্টভাবে দৃশ্যমান। ভয়েসড স্টেটমেন্ট ব্যাখ্যা করে কেন একটি সংখ্যার মডুলাসও বলা হয় সংখ্যার পরম মান. সুতরাং একটি সংখ্যার মডুলাস এবং একটি সংখ্যার পরম মান এক এবং অভিন্ন।

দূরত্ব হিসাবে একটি সংখ্যার মডুলাস

জ্যামিতিকভাবে, একটি সংখ্যার মডুলাস হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে দূরত্ব. নিয়ে আসি দূরত্বের পরিপ্রেক্ষিতে একটি সংখ্যার মডুলাস নির্ধারণ.

সংজ্ঞা।

a এর মডুলাসস্থানাঙ্ক রেখার উৎপত্তি থেকে একটি সংখ্যার সাথে সংশ্লিষ্ট বিন্দুর দূরত্ব।

এই সংজ্ঞাটি প্রথম অনুচ্ছেদে প্রদত্ত একটি সংখ্যার মডুলাসের সংজ্ঞার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। এই পয়েন্ট ব্যাখ্যা করা যাক. একটি ধনাত্মক সংখ্যার সাথে সংশ্লিষ্ট বিন্দুর উৎপত্তি থেকে দূরত্ব এই সংখ্যার সমান। শূন্য রেফারেন্স বিন্দুর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ, তাই স্থানাঙ্ক 0 সহ রেফারেন্স বিন্দু থেকে বিন্দুর দূরত্ব শূন্যের সমান (কোন একক রেখাংশ এবং একটি একক রেখাংশের কোনো ভগ্নাংশ গঠন করে এমন কোনো সেগমেন্টের প্রয়োজন নেই যা O বিন্দু থেকে বিন্দুতে পৌঁছাতে পারে। স্থানাঙ্ক 0)। একটি ঋণাত্মক স্থানাঙ্ক সহ একটি বিন্দুর উৎপত্তি থেকে দূরত্ব প্রদত্ত বিন্দুর স্থানাঙ্কের বিপরীত সংখ্যার সমান, কারণ এটি উৎপত্তি থেকে বিন্দুর দূরত্বের সমান যার স্থানাঙ্কটি বিপরীত সংখ্যা।

উদাহরণ স্বরূপ, 9 সংখ্যার মডুলাস হল 9, যেহেতু স্থানাঙ্ক 9 দিয়ে উৎপত্তিস্থল থেকে বিন্দুর দূরত্ব হল নয়টি। আরেকটি উদাহরণ নেওয়া যাক। স্থানাঙ্ক −3.25 সহ বিন্দুটি O বিন্দু থেকে 3.25 দূরত্বে, তাই .

একটি সংখ্যার মডুলাসের শব্দযুক্ত সংজ্ঞা হল দুটি সংখ্যার পার্থক্যের মডুলাস সংজ্ঞায়িত করার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে।

সংজ্ঞা।

দুটি সংখ্যার পার্থক্য মডুলাস a এবং b স্থানাঙ্ক a এবং b সহ স্থানাঙ্ক রেখার বিন্দুর মধ্যে দূরত্বের সমান।

অর্থাৎ, যদি স্থানাঙ্ক রেখা A(a) এবং B(b) বিন্দু দেওয়া হয়, তাহলে বিন্দু A থেকে B বিন্দুর দূরত্ব a এবং b সংখ্যার পার্থক্যের মডুলাসের সমান। যদি আমরা বিন্দু O (রেফারেন্স পয়েন্ট) বিন্দু হিসাবে নিই, তাহলে আমরা এই অনুচ্ছেদের শুরুতে দেওয়া সংখ্যাটির মডুলাসের সংজ্ঞা পাব।

পাটিগণিত বর্গমূলের মাধ্যমে একটি সংখ্যার মডুলাস নির্ণয় করা

মাঝে মাঝে পাওয়া যায় পাটিগণিত বর্গমূলের মাধ্যমে মডুলাস নির্ধারণ.

উদাহরণস্বরূপ, আসুন এই সংজ্ঞার উপর ভিত্তি করে −30 সংখ্যার মডিউলগুলি গণনা করি। আমাদের আছে . একইভাবে, আমরা দুই-তৃতীয়াংশের মডুলাস গণনা করি: .

পাটিগণিত বর্গমূলের পরিপ্রেক্ষিতে একটি সংখ্যার মডুলাসের সংজ্ঞাটিও এই নিবন্ধের প্রথম অনুচ্ছেদে দেওয়া সংজ্ঞার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। দেখাই যাক। একটি ধনাত্মক সংখ্যা হোক, এবং −a ঋণাত্মক হোক। তারপর এবং , যদি a=0 হয়, তাহলে .

মডিউল বৈশিষ্ট্য

মডিউলটির বেশ কয়েকটি বৈশিষ্ট্যযুক্ত ফলাফল রয়েছে - মডিউল বৈশিষ্ট্য. এখন আমরা তাদের মধ্যে প্রধান এবং সর্বাধিক ব্যবহৃত বিষয়গুলি দেব। এই বৈশিষ্ট্যগুলিকে প্রমাণ করার সময়, আমরা দূরত্বের পরিপ্রেক্ষিতে একটি সংখ্যার মডুলাসের সংজ্ঞার উপর নির্ভর করব।

সবচেয়ে সুস্পষ্ট মডিউল সম্পত্তি - দিয়ে শুরু করা যাক একটি সংখ্যার মডুলাস একটি ঋণাত্মক সংখ্যা হতে পারে না. আক্ষরিক আকারে, এই সম্পত্তির যে কোনো সংখ্যার জন্য একটি ফর্ম আছে। এই বৈশিষ্ট্যটি ন্যায়সঙ্গত করা খুব সহজ: একটি সংখ্যার মডুলাস হল দূরত্ব, এবং দূরত্বটিকে ঋণাত্মক সংখ্যা হিসাবে প্রকাশ করা যায় না।

মডিউলের পরবর্তী বৈশিষ্ট্যে যাওয়া যাক। একটি সংখ্যার মডুলাস শূন্যের সমান এবং শুধুমাত্র যদি এই সংখ্যাটি শূন্য হয়. শূন্যের মডুলাস সংজ্ঞা অনুসারে শূন্য। শূন্য মূলের সাথে মিলে যায়, স্থানাঙ্ক রেখার অন্য কোন বিন্দু শূন্যের সাথে মিলে না, যেহেতু প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা স্থানাঙ্ক রেখার একটি একক বিন্দুর সাথে যুক্ত। একই কারণে, শূন্য ব্যতীত অন্য যেকোনো সংখ্যা উৎপত্তি ব্যতীত অন্য কোনো বিন্দুর সাথে মিলে যায়। এবং উৎপত্তি থেকে O বিন্দু ব্যতীত অন্য কোনো বিন্দুর দূরত্ব শূন্যের সমান নয়, যেহেতু দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব শূন্যের সমান যদি এবং শুধুমাত্র এই বিন্দুগুলো মিলে যায়। উপরের যুক্তি প্রমাণ করে যে শুধুমাত্র শূন্যের মডুলাস শূন্যের সমান।

চলো এগোই. বিপরীত সংখ্যার সমান মডিউল আছে, যে কোন সংখ্যার জন্য a. প্রকৃতপক্ষে, স্থানাঙ্ক রেখার দুটি বিন্দু, যার স্থানাঙ্কগুলি বিপরীত সংখ্যা, উৎপত্তি থেকে একই দূরত্বে রয়েছে, যার অর্থ বিপরীত সংখ্যাগুলির মডিউলগুলি সমান।

পরবর্তী মডিউল সম্পত্তি হল: দুটি সংখ্যার গুণফলের মডুলাস এই সংখ্যার মডিউলগুলির গুণফলের সমান, এটাই, . সংজ্ঞা অনুসারে, a এবং b সংখ্যার গুণফলের মডুলাস হয় a b if , অথবা −(a b) if। এটি বাস্তব সংখ্যার গুণনের নিয়ম থেকে অনুসরণ করে যে সংখ্যা a এবং b এর মডিউলির গুণফল হয় a b , , অথবা −(a b) , if , যা বিবেচিত সম্পত্তি প্রমাণ করে।

a কে b দ্বারা ভাগ করার ভাগফলের মডুলাস a এর মডুলাসকে b এর মডুলাস দ্বারা ভাগ করার ভাগফলের সমান, এটাই, . আসুন মডিউলটির এই বৈশিষ্ট্যটিকে ন্যায়সঙ্গত করা যাক। যেহেতু ভাগফল গুণফলের সমান, তাহলে। আগের সম্পত্তির গুণে, আমাদের আছে . এটি শুধুমাত্র সমতা ব্যবহার করতে রয়ে গেছে, যা সংখ্যার মডুলাসের সংজ্ঞার কারণে বৈধ।

নিম্নলিখিত মডিউল সম্পত্তি একটি অসমতা হিসাবে লেখা হয়: , a, b এবং c হল নির্বিচারে বাস্তব সংখ্যা। লিখিত অসমতা আর কিছু নয় ত্রিভুজ অসমতা. এটি পরিষ্কার করার জন্য, আসুন স্থানাঙ্ক রেখার A(a) , B(b) , C(c) বিন্দুগুলি গ্রহণ করি এবং ABC ক্ষয়প্রাপ্ত ত্রিভুজ বিবেচনা করি, যার শীর্ষবিন্দুগুলি একই রেখায় অবস্থিত। সংজ্ঞা অনুসারে, পার্থক্যের মডুলাস AB সেগমেন্টের দৈর্ঘ্যের সমান, - AC সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য এবং - CB সেগমেন্টের দৈর্ঘ্য। যেহেতু একটি ত্রিভুজের যেকোনো বাহুর দৈর্ঘ্য অন্য দুটি বাহুর দৈর্ঘ্যের সমষ্টির বেশি নয়, তাই অসমতা তাই, বৈষম্যও রয়ে গেছে।

এইমাত্র প্রমাণিত অসমতা আকারে অনেক বেশি সাধারণ . লিখিত অসমতা সাধারণত সূত্রের সাথে মডিউলের একটি পৃথক সম্পত্তি হিসাবে বিবেচিত হয়: “ দুটি সংখ্যার যোগফলের মডুলাস এই সংখ্যার মডিউলির যোগফলের বেশি নয়" কিন্তু অসমতা সরাসরি অসমতা থেকে অনুসরণ করে, যদি আমরা b এর পরিবর্তে −b রাখি এবং c=0 নিই।

জটিল সংখ্যা মডুলাস

দেওয়া যাক একটি জটিল সংখ্যার মডুলাস নির্ধারণ. আমাদের দেওয়া হোক জটিল সংখ্যা, বীজগণিত আকারে লিখিত, যেখানে x এবং y কিছু বাস্তব সংখ্যা, যথাক্রমে, একটি প্রদত্ত জটিল সংখ্যা z এর বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশগুলিকে প্রতিনিধিত্ব করে এবং এটি একটি কাল্পনিক একক।

শিক্ষার্থীদের জন্য সবচেয়ে কঠিন বিষয়গুলির মধ্যে একটি হল মডুলাস চিহ্নের অধীনে একটি পরিবর্তনশীল সমীকরণগুলি সমাধান করা। চলুন শুরু করা যাক এটা কিসের সাথে যুক্ত? কেন, উদাহরণস্বরূপ, দ্বিঘাত সমীকরণগুলি বেশিরভাগ শিশু বাদামের মতো ক্লিক করে, কিন্তু একটি মডিউল হিসাবে সবচেয়ে জটিল ধারণা থেকে এত দূরে কেন এত সমস্যা রয়েছে?

আমার মতে, এই সমস্ত অসুবিধাগুলি একটি মডুলাসের সাথে সমীকরণগুলি সমাধানের জন্য স্পষ্টভাবে প্রণয়নকৃত নিয়মের অভাবের সাথে যুক্ত। সুতরাং, একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করার সময়, শিক্ষার্থী নিশ্চিতভাবে জানে যে তাকে প্রথমে বৈষম্যমূলক সূত্র প্রয়োগ করতে হবে, এবং তারপরে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলগুলির জন্য সূত্রগুলি প্রয়োগ করতে হবে। কিন্তু যদি একটি মডিউল সমীকরণের সম্মুখীন হয়? যখন সমীকরণটি মডুলাস চিহ্নের অধীনে একটি অজানা থাকে তখন আমরা প্রয়োজনীয় কর্ম পরিকল্পনাটি স্পষ্টভাবে বর্ণনা করার চেষ্টা করব। আমরা প্রতিটি ক্ষেত্রে বেশ কয়েকটি উদাহরণ দিই।

কিন্তু প্রথম, আসুন মনে রাখবেন মডিউল সংজ্ঞা. সুতরাং, সংখ্যার মডুলাস কসংখ্যা নিজেই যদি বলা হয় কঅ নেতিবাচক এবং -কযদি সংখ্যা কশূন্যের চেয়ে কম আপনি এটি এই মত লিখতে পারেন:

|a| = a যদি a ≥ 0 এবং |a| = -a যদি a< 0

মডিউলটির জ্যামিতিক অর্থ সম্পর্কে বলতে গেলে, এটি মনে রাখা উচিত যে প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা সংখ্যা অক্ষের একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর সাথে মিলে যায় - এটি সমন্বয় সুতরাং, মডিউল বা একটি সংখ্যার পরম মান হল এই বিন্দু থেকে সাংখ্যিক অক্ষের উৎপত্তি পর্যন্ত দূরত্ব। দূরত্ব সবসময় একটি ধনাত্মক সংখ্যা হিসাবে দেওয়া হয়। সুতরাং, যেকোনো ঋণাত্মক সংখ্যার মডুলাস একটি ধনাত্মক সংখ্যা। যাইহোক, এমনকি এই পর্যায়ে, অনেক শিক্ষার্থী বিভ্রান্ত হতে শুরু করে। যেকোন সংখ্যা মডিউলে থাকতে পারে, কিন্তু মডিউল প্রয়োগের ফলাফল সর্বদা একটি ধনাত্মক সংখ্যা।

এখন সমীকরণ সমাধানের দিকে এগিয়ে যাওয়া যাক।

1. ফর্মের একটি সমীকরণ বিবেচনা করুন |x| = c, যেখানে c একটি বাস্তব সংখ্যা। এই সমীকরণটি মডুলাসের সংজ্ঞা ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে।

আমরা সমস্ত বাস্তব সংখ্যাকে তিনটি গ্রুপে ভাগ করি: যেগুলি শূন্যের চেয়ে বড়, যেগুলি শূন্যের চেয়ে কম, এবং তৃতীয় দলটি হল সংখ্যা 0৷ আমরা একটি চিত্রের আকারে সমাধানটি লিখি:

(±c হলে c > 0

যদি |x| = c, তারপর x = (0 হলে c = 0

(কোন শিকড় সঙ্গে থাকলে< 0

1) |x| = 5, কারণ 5 > 0, তারপর x = ±5;

2) |x| = -5, কারণ -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, তারপর x = 0।

2. ফর্মের একটি সমীকরণ |f(x)| = b, যেখানে b > 0। এই সমীকরণটি সমাধান করার জন্য, মডুলাস থেকে মুক্তি পাওয়া প্রয়োজন। আমরা এটি এভাবে করি: f(x) = b বা f(x) = -b। এখন প্রতিটি প্রাপ্ত সমীকরণ আলাদাভাবে সমাধান করা প্রয়োজন। যদি মূল সমীকরণে খ< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, কারণ 4 > 0, তারপর

x + 2 = 4 বা x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, কারণ 11 > 0, তারপর

x 2 - 5 = 11 বা x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 কোন শিকড় নেই

3) |x 2 – 5x| = -8, কারণ -আটটি< 0, то уравнение не имеет корней.

3. ফর্মের একটি সমীকরণ |f(x)| = g(x)। মডিউলের অর্থ অনুসারে, এই জাতীয় সমীকরণের সমাধান থাকবে যদি এর ডান দিকটি শূন্যের চেয়ে বড় বা সমান হয়, যেমন g(x) ≥ 0. তারপর আমাদের আছে:

f(x) = g(x)বা f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x - 10. এই সমীকরণটির মূল থাকবে যদি 5x - 10 ≥ 0 হয়। এখান থেকেই এই সমীকরণের সমাধান শুরু হয়।

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. সমাধান:

2x - 1 = 5x - 10 বা 2x - 1 = -(5x - 10)

3. O.D.Z একত্রিত করুন এবং সমাধান, আমরা পাই:

মূল x \u003d 11/7 O.D.Z. অনুযায়ী মানায় না, এটি 2 এর কম, এবং x \u003d 3 এই শর্তটি পূরণ করে।

উত্তরঃ x = 3

2) |x – 1| \u003d 1 - x 2।

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. ইন্টারভাল পদ্ধতি ব্যবহার করে এই অসমতা সমাধান করা যাক:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. সমাধান:

x - 1 \u003d 1 - x 2 বা x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 বা x = 1 x = 0 বা x = 1

3. সমাধান এবং O.D.Z. একত্রিত করুন:

শুধুমাত্র শিকড় x = 1 এবং x = 0 উপযুক্ত।

উত্তরঃ x = 0, x = 1।

4. ফর্মের একটি সমীকরণ |f(x)| = |g(x)|। এই ধরনের একটি সমীকরণ নিম্নলিখিত দুটি সমীকরণ f(x) = g(x) বা f(x) = -g(x) এর সমতুল্য।

1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|। এই সমীকরণটি নিম্নলিখিত দুটির সমতুল্য:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 বা x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 বা x = 4 x = 2 বা x = 1

উত্তরঃ x = 1, x = 2, x = 3, x = 4।

5. প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (ভেরিয়েবলের পরিবর্তন) দ্বারা সমাধান করা সমীকরণ। এই পদ্ধতিসমাধান ব্যাখ্যা করা সবচেয়ে সহজ নির্দিষ্ট উদাহরণ. সুতরাং, একটি মডুলাস সহ একটি দ্বিঘাত সমীকরণ দেওয়া যাক:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. মডিউল x 2 = |x| এর বৈশিষ্ট্য দ্বারা 2, তাই সমীকরণটি নিম্নরূপ পুনর্লিখন করা যেতে পারে:

|x| 2–6|x| + 5 = 0। আসুন পরিবর্তনটি করি |x| = t ≥ 0, তাহলে আমাদের থাকবে:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0। এই সমীকরণটি সমাধান করে, আমরা t \u003d 1 বা t \u003d 5 পেয়েছি। প্রতিস্থাপনে ফিরে আসা যাক:

|x| = 1 বা |x| = 5

x = ±1 x = ±5

উত্তর: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5।

আসুন আরেকটি উদাহরণ দেখি:

x 2 + |x| – 2 = 0. মডিউল x 2 = |x| এর বৈশিষ্ট্য অনুসারে 2, তাই

|x| 2 + |x| – 2 = 0। আসুন পরিবর্তনটি করি |x| = t ≥ 0, তারপর:

t 2 + t - 2 \u003d 0। এই সমীকরণটি সমাধান করলে, আমরা পাই, t \u003d -2 বা t \u003d 1। আসুন প্রতিস্থাপনে ফিরে যাই:

|x| = -2 বা |x| = 1

কোন শিকড় নেই x = ± 1

উত্তরঃ x = -1, x = 1।

6. অন্য ধরনের সমীকরণ হল "জটিল" মডুলাস সহ সমীকরণ। এই ধরনের সমীকরণগুলির মধ্যে "একটি মডিউলের মধ্যে মডিউল" রয়েছে এমন সমীকরণ অন্তর্ভুক্ত। এই ধরণের সমীকরণগুলি মডিউলের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে।

1) |3 – |x|| = 4. আমরা দ্বিতীয় প্রকারের সমীকরণের মতো একইভাবে কাজ করব। কারণ 4 > 0, তাহলে আমরা দুটি সমীকরণ পাব:

3 – |x| = 4 বা 3 – |x| =-4।

এখন প্রতিটি সমীকরণে মডিউল x প্রকাশ করা যাক, তারপর |x| = -1 বা |x| = 7।

আমরা প্রতিটি ফলাফলের সমীকরণ সমাধান করি। প্রথম সমীকরণে কোন শিকড় নেই, কারণ -এক< 0, а во втором x = ±7.

উত্তর x = -7, x = 7।

2) |3 + |x + 1|| = 5. আমরা এই সমীকরণটি একইভাবে সমাধান করি:

3 + |x + 1| = 5 বা 3 + |x + 1| =-5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 বা x + 1 = -2। কোন শিকড় আছে.

উত্তরঃ x = -3, x = 1।

একটি মডুলাস দিয়ে সমীকরণ সমাধানের জন্য একটি সর্বজনীন পদ্ধতিও রয়েছে। এটি ব্যবধান পদ্ধতি। তবে আমরা এটি আরও বিবেচনা করব।

সাইটে, উপাদানের সম্পূর্ণ বা আংশিক অনুলিপি সহ, উৎসের একটি লিঙ্ক প্রয়োজন।

মডুলাস হল অভিব্যক্তির পরম মান। অন্তত কোনোভাবে একটি মডিউল মনোনীত করার জন্য, এটি সোজা বন্ধনী ব্যবহার করার জন্য প্রথাগত। যে মানটি জোড় বন্ধনীতে আবদ্ধ থাকে সেটি হল মান যা মডিউলে নেওয়া হয়। যেকোন মডিউল সমাধানের প্রক্রিয়ার মধ্যে রয়েছে একই প্রত্যক্ষ বন্ধনী খোলা, যাকে গাণিতিক ভাষায় মডুলার বন্ধনী বলা হয়। তাদের প্রকাশ একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক নিয়ম অনুযায়ী ঘটে। এছাড়াও, মডিউলগুলি সমাধানের ক্রমে, সেই অভিব্যক্তিগুলির মানগুলির সেটও রয়েছে যা মডিউল বন্ধনীতে ছিল। বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, মডিউলটি এমনভাবে প্রসারিত করা হয় যে সাবমডিউলের অভিব্যক্তিটি শূন্যের মান সহ ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক উভয় মানই পায়। থেকে বিচ্যুত হলে বৈশিষ্ট্য সেট করুনমডিউল, তারপর প্রক্রিয়ায় মূল অভিব্যক্তি থেকে বিভিন্ন সমীকরণ বা অসমতা সংকলিত হয়, যা তারপর সমাধান করা প্রয়োজন। আসুন জেনে নেই কিভাবে মডিউল সমাধান করবেন।

সমাধান প্রক্রিয়া

মডিউলটির সমাধান মডিউলটির সাথে মূল সমীকরণ লেখার মাধ্যমে শুরু হয়। একটি মডুলাস দিয়ে সমীকরণগুলি কীভাবে সমাধান করবেন এই প্রশ্নের উত্তর দিতে, আপনাকে এটি সম্পূর্ণরূপে খুলতে হবে। এই ধরনের একটি সমীকরণ সমাধান করতে, মডিউল প্রসারিত করা হয়। সমস্ত মডুলার এক্সপ্রেশন বিবেচনা করা আবশ্যক. এটির সংমিশ্রণে অন্তর্ভুক্ত অজানা পরিমাণের কোন মানগুলি নির্ধারণ করা প্রয়োজন, বন্ধনীতে মডুলার অভিব্যক্তিটি অদৃশ্য হয়ে যায়। এটি করার জন্য, মডুলার বন্ধনীতে অভিব্যক্তিটিকে শূন্যের সাথে সমান করা এবং তারপর ফলাফলের সমীকরণের সমাধান গণনা করা যথেষ্ট। পাওয়া মান রেকর্ড করা আবশ্যক. একইভাবে, আপনাকে এই সমীকরণের সমস্ত মডিউলের জন্য সমস্ত অজানা ভেরিয়েবলের মান নির্ধারণ করতে হবে। এর পরে, অভিব্যক্তিতে ভেরিয়েবলের অস্তিত্বের সমস্ত ক্ষেত্রে সংজ্ঞা এবং বিবেচনার সাথে মোকাবিলা করা প্রয়োজন যখন তারা মান শূন্য থেকে আলাদা। এটি করার জন্য, আপনাকে মূল অসমতার সমস্ত মডিউলের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ অসমতার কিছু সিস্টেম লিখতে হবে। অসমতাগুলি অবশ্যই আঁকতে হবে যাতে তারা সংখ্যা রেখায় পাওয়া ভেরিয়েবলের সমস্ত উপলব্ধ এবং সম্ভাব্য মানগুলিকে কভার করে। তারপরে আপনাকে ভিজ্যুয়ালাইজেশনের জন্য এই একই নম্বর লাইনটি আঁকতে হবে, যার উপর ভবিষ্যতে সমস্ত প্রাপ্ত মান রাখতে হবে।

এখন প্রায় সবকিছুই অনলাইনে করা যায়। মডিউল নিয়মের ব্যতিক্রম নয়। আপনি অনেক আধুনিক সম্পদের একটিতে অনলাইনে এটি সমাধান করতে পারেন। শূন্য মডিউলে থাকা ভেরিয়েবলের সমস্ত মানগুলি একটি বিশেষ সীমাবদ্ধতা হবে যা মডুলার সমীকরণ সমাধানের প্রক্রিয়াতে ব্যবহৃত হবে। মূল সমীকরণে, অভিব্যক্তির চিহ্ন পরিবর্তন করার সময় সমস্ত উপলব্ধ মডুলার বন্ধনীকে প্রসারিত করতে হবে যাতে পছন্দসই পরিবর্তনশীলের মানগুলি সংখ্যারেখায় দৃশ্যমান সেই মানগুলির সাথে মিলে যায়। ফলাফল সমীকরণ সমাধান করা আবশ্যক. ভেরিয়েবলের মান, যা সমীকরণ সমাধানের সময় প্রাপ্ত হবে, মডিউল নিজেই সেট করা সীমাবদ্ধতার বিরুদ্ধে পরীক্ষা করা আবশ্যক। যদি ভেরিয়েবলের মান শর্তটি সম্পূর্ণরূপে সন্তুষ্ট করে, তবে এটি সঠিক। সমীকরণটি সমাধান করার সময় যে সমস্ত শিকড় প্রাপ্ত হবে, কিন্তু সীমাবদ্ধতার সাথে খাপ খাবে না, সেগুলি অবশ্যই বাতিল করতে হবে।