Кинематические парадоксы и теория относительности. Парадокс близнецов (мысленный эксперимент): объяснение

На первый взгляд, патентное бюро было не самым перспективным
местом, где могла начаться величайшая со времен Ньютона револю-

ция в физике. Но были у этой службы и свои преимущества. Быстро
разделавшись с заявками на патенты, загромождавшими его стол,
Эйнштейн откидывался на стуле и погружался в детские воспомина-
ния. В молодости он прочел «Естественнонаучные книги для народа»
Аарона Бернштейна, «работу, которую я прочел, затаив дыхание»,
вспоминал Альберт. Бернштейн предлагал читателю представить, что
тот следует параллельно с электрическим током, когда тот передается
по проводам. В 16 лет Эйнштейн задал себе вопрос: на что был бы
похож луч света, если бы его можно было догнать? Он вспоминал:
«Такой принцип родился из парадокса, на который я натолкнулся в
16 лет: если я гонюсь за лучом света со скоростью с (скорость света
в вакууме), я должен наблюдать такой луч света как пространственно
колеблющееся электромагнитное поле в состоянии покоя. Однако,
кажется, такой вещи не может существовать - так говорит опыт, и
так говорят уравнения Максвелла». В детстве Эйнштейн считал, что
если двигаться параллельно лучу света со скоростью света, то свет
будет казаться замерзшим, подобно застывшей волне. Однако никто
не видел замерзшего света, так что тут явно что-то было не так.

В начале нового века существовали в физике два столпа, на кото-
рых покоилось все: ньютоновская теория механики и гравитации и
теория света Максвелла. В 1860-е годы шотландский физик Джеймс
Кларк Максвелл доказал, что свет состоит из пульсирующих элек-
трических и магнитных полей, постоянно переходящих друг в друга.
Эйнштейну же предстояло открыть, к его великому потрясению, что
эти два столпа противоречат друг другу, и одному из них предстояло
рухнуть.

В уравнениях Максвелла он обнаружил решение загадки, которая
преследовала его на протяжении 10 лет. Эйнштейн нашел в них то,
что упустил сам Максвелл: уравнения доказывали, что свет пере-
мещается с постоянной скоростью, при этом было совершенно не-
важно, с какой скоростью вы пытались догнать его. Скорость света
с была одинаковой во всех инерциальных системах отсчета (то есть
системах отсчета, двигающихся с постоянной скоростью). Стояли
ли вы на месте, ехали ли на поезде или примостились на мчащейся
комете, вы бы обязательно увидели луч света, нес)шщйся впереди вас
с постоянной скоростью. Неважно, насколько быстро вы двигались
бы сами, - обогнать свет вам не под силу.

Такое положение дел быстро привело к появлению множества па-
радоксов. Представьте на миг астронавта, пытающегося догнать луч
света. Астронавт стартует на космическом корабле, и вот он несется
голова в голову с лучом света. Наблюдатель на Земле, ставший свиде-
телем этой гипотетической погони, заявил бы, что астронавт и луч
света двигаются бок о бок. Однако астронавт сказал бы нечто иное, а
именно: луч света уносился от него вперед, как если бы космический
корабль находился в состоянии покоя.

Вопрос, вставший перед Эйнштейном, заключался в следующем:
как могут два человека настолько по-разному интерпретировать
одно и то же событие? По теории Ньютона, луч света всегда мож-
но догнать; в мире Максвелла это было невозможно. Эйнштейна
внезапно озарило, что уже в фундаментальных основах физики та-
ился фундаментальный же изъян. Эйнштейн вспоминал, что весной
1905 года «в моей голове разразился шторм». Он наконец нашел
решение: время движется с различными скоростями в зависимости от
скорости движения. По сути, чем быстрее двигаться, тем медленнее
движется время. Время не абсолютно, как когда-то считал Ньютон.
По Ньютону, время однородно во всей Вселенной и длительность
одной секунды на Земле будет идентична одной секунде на Юпитере
или Марсе. Часы абсолютно синхронизированы со всей Вселенной.
Однако, по Эйнштейну, различные часы во Вселенной идут с различ-
ными скоростями.

Основное «назначение» множества парадоксов СТО – это показать внутренние противоречия теории. Если теория делает предсказания о каком-либо явлении, которые противоречат друг другу, то это свидетельствует об ошибочности теории, что требует её пересмотра. Парадоксы СТО выводятся из мысленных экспериментов, то есть, воображаемого эксперимента на основе положений теории. Одним из таких парадоксов по праву считается один из старейших парадоксов – парадокс Эренфеста от 1909 года, в настоящее время часто формулирующийся как «парадокс колеса» и который по утверждениям многих авторов до настоящего времени не имеет удовлетворительного объяснения, решения.

В литературе приводятся несколько различающихся формулировок «парадокса» Эренфеста. Здесь в кавычки слово парадокс поставлено умышленно, поскольку в данной заметке будет показано, что парадокс сформулирован с ошибками, на основе утверждений, приписываемых специальной теории относительности, но которых она не делает. Обобщённо эти различные формулировки парадокса можно свести к трём группам:

• при вращении колеса спицы деформируются;
• невозможно вообще раскрутить колесо из абсолютно твёрдого материала;
• при раскрутке со световой скоростью (обода) колесо стягивается в точку, исчезает.

Все эти формулировки в своей сути достаточно близки друг к другу и при некоторых условиях объединяются. Например, в работе «Теория относительности в элементарном изложении» приводится такая формулировка:

Вначале колесо неподвижно, а затем приводится в столь быстрое вращение, что линейная скорость его краёв приближается к световой. При этом участки обода... сокращаются.., тогда как радиальные «спицы»... сохраняют свою длину (ведь релятивистское укорочение испытывают только продольные размеры, т.е. размеры в направлении движения) .

Рис. 1. Иллюстрация к парадоксу колеса в работе

И затем приводится решение сформулированного парадокса:

Когда неподвижное вначале колесо приводится в быстрое вращение: его обод стремится сократиться, а спицы – сохранить неизменную длину. Какая из этих тенденций возьмёт верх – всецело зависит от механических свойств обода и спиц; но никакого укорочения обода без пропорционального ему укорочения спиц не будет (разве что колесо примет форму сферического сегмента). Очевидно, что с принципиальной точки зрения ничто не изменится также и в том случае, если колесо со спицами будет заменено сплошным диском» .

Суть решения, как видим, состоит в том, что либо спицы обязательно сократятся, либо обод вытянется, в зависимости, от жёсткости материала. Видимо, при однородности материала сокращение будет взаимным: сократятся и спицы и обод, но в меньшей мере.

Парадокс колеса в версии Эренфеста приводится в работе «Неисправленная ошибка Пуанкаре и анализ СТО» :

Рассмотрим плоский, твёрдый диск, вращающийся вокруг своей оси. Пусть линейная скорость его края по порядку величины сравнима со скоростью света. Согласно специальной теории относительности, длина края этого диска должна испытывать лоренцево сокращение...

В радиальном направлении лоренцева сокращения нет, поэтому радиус диска должен сохранять свою длину. При такой деформации диск технически уже не может быть плоским.

Угловая скорость вращения уменьшается с увеличением расстояния от оси вращения. Поэтому соседние слои диска должны скользить друг относительно друга, а сам диск будет испытывать деформации кручения. Диск с течением времени должен разрушиться .

Трактовка, следует заметить, весьма специфическая: разрушение связывается не со сжатием внутренних слоёв или спиц, а с их изгибом, закручиванием. Причину возникновения разности угловых скоростей автор не объясняет, ссылаясь на Эренфеста, и лишь добавляя:

Сами релятивисты не смогли привести никаких объяснений физических причин ни для объяснения гипотезы, ни для объяснения парадокса .

Однако, это единственное описание эффекта скручивания диска, которое мне встретилось в интернете при беглом просмотре.

Википедия описывает парадокс следующим образом, приводя в тексте ссылку на детскую энциклопедию:

Рассмотрим окружность (или полый цилиндр), вращающуюся вокруг своей оси. Так как скорость каждого элемента окружности направлена по касательной, то она (окружность) должна испытывать лоренцево сокращение, то есть её размер для внешнего наблюдателя должен казаться меньше, чем её собственная длина.

Изначально неподвижная жёсткая окружность после её раскручивания должна парадоксальным образом уменьшать свой радиус, чтобы сохранить длину.

По рассуждениям Эренфеста абсолютно твёрдое тело невозможно привести во вращательное движение, поскольку в радиальном направлении лоренцева сжатия быть не должно. Следовательно, диск, бывший в покоящемся состоянии плоским, при раскручивании должен как-то изменить свою форму .

Здесь указывается ещё одно проявление парадокса со ссылкой на Эренфеста: абсолютно твёрдый диск вообще невозможно привести во вращение. Подобная же трактовка приведена и в «Энциклопедии для детей», которая, в свою очередь, ссылается на авторскую работу Эренфеста – короткую заметку «Равномерное вращательное движение тел и теория относительности» от 1909 года:

Заметка содержала парадоксальное утверждение: абсолютно твёрдый цилиндр (или диск) невозможно привести в быстрое вращательное движение вокруг центральной оси, в противном случае возникает противоречие частной теории относительности. В самом деле, пусть такой диск вращается, тогда длина его окружности вследствие лоренцева сокращения уменьшится, а радиус диска останется постоянным... При этом отношение длины окружности диска к диаметру уже не равняется числу n. Этот мысленный эксперимент и составляет содержание парадокса Эренфеста .

Здесь, можно сказать, приводится основная, общепринятая формулировка парадокса Эренфеста, отличающаяся от распространённой формулировки парадокса колеса. В ней уже не говорится о деформации диска или спиц колеса. Просто диск будет оставаться неподвижным.

Проведём опыт с диском. Будем вращать его, постепенно увеличивая скорость. Размеры диска... будут уменьшаться; кроме того, диск искривится. Когда же скорость вращения достигнет скорости света, он попросту исчезнет. И куда только денется?.. .

Диск при вращении должен был деформироваться, как показано на рисунке.

То есть, как и выше делается вывод о деформации спиц, при этом, очевидно, вполне обоснованно предполагается, что твёрдость обода превышает гибкость спиц.

Наконец, чтобы выяснить, какая из формулировок парадокса соответствует авторской, приведём описание парадокса, как он сформулирован в упомянутой работе Эренфеста. Приводимая ниже цитата практически составляет всё содержание той краткой заметки:

Оба определения не абсолютной твёрдости являются – если я правильно понял – эквивалентными. Поэтому достаточно указать на простейший вид движения, для которого данное первоначальное определение уже приводит к противоречию, а именно на равномерное вращение вокруг неподвижной оси.

В самом деле, пусть имеется не абсолютно твёрдый цилиндр C с радиусом R и высотой H. Пусть он постепенно приводится во вращение вокруг своей оси, происходящее затем с постоянной скоростью. Назовём R" радиус, который характеризует этот цилиндр с точки зрения неподвижного наблюдателя. Тогда величина R" должна удовлетворять двум противоречащим друг другу требованиям:

а) длина окружности вращающегося цилиндра по сравнению с состоянием покоя должна сократиться:

2πR′ < 2πR,

поскольку каждый элемент такой окружности движется в направлении касательной с мгновенной скоростью R"ω;

б) мгновенная скорость какого-либо элемента радиуса перпендикулярна его направлению; это значит, что элементы радиуса не подвергаются никакому сокращению по сравнению с состоянием покоя.

Отсюда следует, что

Замечание. Если считать, что деформация каждого элемента радиуса определяется не только мгновенной скоростью центра тяжести, но также и мгновенной угловой скоростью этого элемента, то необходимо, чтобы функция, описывающая деформацию, содержала кроме скорости света с ещё одну универсальную размерную константу, или же в неё должно входить ускорение центра тяжести элемента .

Как видим, по крайней мере, в первоначальной авторской версии парадокс прямо касается не абсолютно твёрдых тел. Ничего не говорится о скручивании слоёв. Ничего об «исчезновении» диска. Возможно, все эти расширения первоначальной идеи сформулированы где-то в последующих работах Эренфеста, но оставим это всё на совести цитированных авторов: проверяемых ссылок на свои утверждения они не привели. Таким образом, мы вполне обоснованно можем рассмотреть:

Миф о парадоксе Эренфеста

Рассмотрим по возможности современные версии парадокса, указанные в начале статьи. Простейшей и, видимо, самой распространённой, является версия «парадокс колеса», с которой, как можно заметить, в наибольшей степени совпадает и противоречие, сформулированное в 1909 году Эренфестом. По сути, парадокс Эренфеста и является тождественно парадоксом колеса.

Однако, сначала мы рассмотрим его предельную версию. Это версия, в которой спицы или внутренняя часть колеса не вращаются вообще. В этом случае мы избавляемся от всяких сомнений о том, сокращаются спицы или не сокращаются. Такое «колесо», как можно догадаться, имеет вид полого тонкостенного цилиндра или тонкого кольца, насаженного на толстую ось. Решение такого «парадокса» очевидно. И вновь, как выше, слово «парадокс» здесь взято в кавычки исключительно по причине того, что это, собственно, и не парадокс, а псевдо-, мнимый парадокс. Специальная теория относительности описывает поведение такого колеса без каких-либо противоречий. Действительно, с точки зрения неподвижной оси «обод» колеса при вращении испытывает лоренцево сокращение, что приводит к уменьшению его диаметра. С этой точки зрения либо колесо лопнет, либо оно сожмёт ось, выдавив на ней выемку, либо при достаточной упругости кольцо растянется. В этом случае внешний наблюдатель не заметит никаких изменений, даже если колесо-кольцо будет раскручено до световой скорости: лишь бы материалу колеса хватило запаса упругости.

Теперь перейдём в систему отсчёта колеса-обода. Очевидно, что невозможно привязать систему покоя ко всему колесу, поскольку векторы скоростей точек направлены в разные стороны. В покое может быть одновременно лишь одна точка, касающаяся неподвижной поверхности. Понятно, что такое «неподвижное» колесо – это просто колесо, катящееся по неподвижной поверхности. О нём мы только-то и можем сказать, что скорость его центра равна половине скорости элемента на верхней части. Но это замечание вдруг неожиданно напоминает нам уже рассмотренный парадокс – парадокс транспортёра . Действительно, в том парадоксе тоже есть три точки: неподвижная; верхняя, движущаяся с некоторой скоростью и средняя, движущаяся с половинной от верхней скоростью. Что может быть общего между колесом и транспортёром?

Однако, присмотримся повнимательнее. Посмотрим на колесо под углом к его оси. Чем этот угол больше, тем сильнее «сплющивается» колесо, принимая вид вытянутого эллипса, что довольно заметно напоминает транспортёр.

Рис. 2. Если смотреть на колесо под большим углом, оно выглядит как эллипс. Окружность из утолщённой линии – это внешняя поверхность оси колеса. Окружность из тонкой линии – вращающийся обод (колесо)

Хотя на получившемся транспортёре лента – обод колеса движется по эллиптической траектории, мы вполне можем рассматривать «проекцию» этого обода на горизонтальную ось. В этом случае мы получаем вполне допустимую аналогию задачи о транспортёрной ленте и её очевидное решение:

В обоих случаях, и с точки зрения балки (станины) и с точки зрения... ленты, результатом будет натяжение ленты, приводящее либо к деформации... станины, либо к деформации... ленты. В зависимости от начальных условий: что будет задано более прочным. Парадокс транспортёра оказался мнимым, кажущимся парадоксом .

Обод колеса, видимый как транспортёрная лента, как и в задаче о транспортёре будет сокращаться, что неизбежно приведёт либо к его разрыву, либо к деформации оси, которая под выбранным углом выглядит как станина транспортёра. Понятно, что ось может быть сегментированной, то есть состоять из спиц, которые, как и сплошная ось, будут деформированы, если обод окажется прочнее.

Таким образом, вариант «парадокса» колеса с тонким ободом и неподвижной осью парадоксом не является, поскольку теория относительности делает о нём непротиворечивые предсказания.

Теперь перейдём к сплошному диску. Более того, будем считать его абсолютно твёрдым, то есть, рассмотрим вариант парадокса Эренфеста о невозможности раскрутки такого диска.

Представим диск как насаженные друг на друга концентрические окружности – ободья достаточно малой толщины и жёстко скреплённые друг с другом. Обозначим радиус каждого такого обода Ri. Длина окружности каждого обода, соответственно, 2πRi. Допустим, нам удалось раскрутить диск. Угловая скорость диска ω едина для каждой точки диска и определяет линейную скорость каждого частного обода диска. Здесь мы решительно отвергаем идею о скручивании как ничем не обоснованную. Тангенциальная скорость каждой точки обода vi = ωRi. Сокращённую длину окружности каждого обода определяем по уравнениям Лоренца:

L i = 2 π R i 1 − ω 2 R 2 i −−−−−−−−√ Li=2πRi1−ω2Ri2

Здесь мы рассматриваем задачу в системе единиц, в которой скорость света с = 1. Рассмотрим два обода: внешний с R0 и один из внутренних – R1, пусть R1 = kR0, где k = 0...1. Из уравнения (1) получаем:

L 1 = 2 π k R 0 1 − ω 2 k 2 R 2 0 −−−−−−−−−√ L 0 = 2 π R 0 1 − ω 2 R 2 0 −−−−−−−−√ L1=2πkR01−ω2k2R02L0=2πR01−ω2R02

При «раскручивании» диска два эти обода уменьшили свою длину. Следовательно, радиусы их новых окружностей составят:

l R 1 ω = L 1 2 π = k R 0 1 − ω 2 k 2 R 2 0 −−−−−−−−−√ R 0 ω = L 0 2 π = R 0 1 − ω 2 R 2 0 −−−−−−−−√ lR1ω=L12π=kR01−ω2k2R02R0ω=L02π=R01−ω2R02

Отношение радиусов ободьев после раскрутки равно:

R 1 ω R 0 ω = k R 0 1 − ω 2 k 2 R 2 0 −−−−−−−−−√ R 0 1 − ω 2 R 2 0 −−−−−−−−√ = k 1 − ω 2 k 2 R 2 0 1 − ω 2 R 2 0 −−−−−−−−−−√ R1ωR0ω=kR01−ω2k2R02R01−ω2R02=k1−ω2k2R021−ω2R02

Это выражение показывает, что отношение радиусов смежных слоёв зависит от скорости вращения. Нас должно заинтересовать, какой может быть скорость вращения, чтобы радиусы, отличающиеся в k раз в неподвижном состоянии, после раскрутки сравнялись. Видимо, это будет предельная скорость, после которой слои будут «наползать» друг на друга. Вычислим это отношение для указанного условия:

R 1 ω R 0 ω = k 1 − ω 2 k 2 R 2 0 1 − ω 2 R 2 0 −−−−−−−−−−√ = 1 R1ωR0ω=k1−ω2k2R021−ω2R02=1

Для наглядности отбросим левое равенство:

k 1 − ω 2 k 2 R 2 0 1 − ω 2 R 2 0 −−−−−−−−−−√ = 1 k1−ω2k2R021−ω2R02=1

Делим всё на k

1 − ω 2 k 2 R 2 0 1 − ω 2 R 2 0 −−−−−−−−−−√ = 1 k 1−ω2k2R021−ω2R02=1k

Возводим в квадрат обе части равенства

1 − ω 2 k 2 R 2 0 1 − ω 2 R 2 0 = 1 k 2 1−ω2k2R021−ω2R02=1k2

Избавляемся от дробного вида

k 2 − ω 2 k 4 R 2 0 = 1 − ω 2 R 2 0 k2−ω2k4R02=1−ω2R02

Переносим влево члены с радиусами, а вправо члены без радиусов

ω 2 R 2 0 − k 4 ω 2 R 2 0 = 1 − k 2 ω2R02−k4ω2R02=1−k2

Собираем подобные члены

ω 2 R 2 0 (1 − k 4 ) = 1 − k 2 ω2R02(1−k4)=1−k2

Переписываем уравнение как решение для члена с радиусом

ω 2 R 2 0 = 1 − k 2 1 − k 4 ω2R02=1−k21−k4

Видим, что справа в равенстве есть сократимые члены

ω 2 R 2 0 = 1 − k 2 (1 − k 2 ) (1 + k 2 ) ω2R02=1−k2(1−k2)(1+k2)

Сокращаем

ω 2 R 2 0 = 1 1 + k 2 ω2R02=11+k2

Заменяем угловую скорость на линейную

v 2 0 = 1 1 + k 2 v02=11+k2

Извлекаем корень и находим значение скорости

v 0 = 1 1 + k 2 −−−−−√ v0=11+k2

Пересечение может начаться между соседними слоями, для которых почти k = 1. Собственно пересечение возникает при скорости внешнего обода:

v 0 = 1 1 + 1 −−−−√ = 1 2 –√ = 2 –√ 2 ≈ 0 , 7 v0=11+1=12=22≈0,7

Во-первых, это означает, что наше допущение о возможности раскрутить диск оказалось правомерным. Во-вторых, мы обнаруживаем, что два соседних бесконечно тонких слоя-обода будут давить друг на друга только при их скорости, составляющей более 0,7 от скорости света. А это, в свою очередь, означает, что при раскручивании каждый обод уменьшает как длину своей окружности, так и соответствующий ей радиус. Тем самым здесь мы же обнаруживаем заблуждение в отношении сокращения спиц вращающегося колеса. Все авторы при формулировке парадокса явно заявляют, что обод сокращается, а спицы – нет. Мы же обнаружили, что, наоборот, каждый обод, каждый тонкий слой колеса сокращается и уменьшает свой собственный радиус. Следовательно, он не препятствует сокращению слоя, обода, который находится выше него. Точно так же, слой, обод, находящийся ниже него, не препятствует и его собственному сжатию. Поскольку рассмотренные ободья все вместе образуют сплошной диск колеса, то это колесо и в целом не испытывает никаких внутренних деформаций, препятствующих его сжатию. Утверждения всех авторов, включая и автора парадокса – Эренфеста – ошибочны: радиус колеса будет уменьшаться без каких-либо препятствий:

Элементы радиуса не подвергаются никакому сокращению по сравнению с состоянием покоя .

Но у обнаруженного сокращения, сжатия радиусов есть довольно странная особенность: это сокращение возможно только до тангенциальной скорости внешнего обода, не превышающей 0,7 скорости света. Почему именно 0,7? Откуда, из каких физических особенностей колеса возникает это число? И что будет, если колесо раскрутить ещё быстрее?

Впрочем, почему мы утверждаем, что спицы будут сокращаться, ведь в нашей модели спиц нет, колесо сплошное. А в колесе со спицами нет никаких «тонких ободьев», между соседними спицами пустое пространство.

Как верно указано в работе , нет никакой разницы между сплошным диском и диском со спицами. Лоренцеву сокращению подвержены все элементы, удалённые от центра на одинаковое расстояние. То есть, в этом случае «тонкий слой» представляет собой последовательность из «долек» спиц и пустого пространства между ними. Здесь может возникнуть недоумённое возражение: как же так, почему это каждая «долька» спицы сжимается вдоль окружности? Ведь у них рядом пустое пространство! Да, пустое. Но лоренцеву сокращению подвержены все без исключения элементы, это не реальное физическое сжатие, это сжатие, видимое внешнему наблюдателю. Как правило, при описании лоренцева сокращения всегда подчёркивается: объект с точки зрения внешнего наблюдателя уменьшил свои размеры, хотя с точки зрения самого объекта с ним ничего не произошло.

Для пояснения этого тангенциального сжатия, утончения спиц представим себе движущуюся платформу, на которой с интервалом уложены, например, кирпичи. Внешнему наблюдателю будет казаться, что платформа сократилась. А что будет с интервалами между кирпичами? Кирпичи, разумеется, сократятся, но в случае неизменности интервала между ними, они просто вытолкнут друг друга с платформы. Однако, на самом деле кирпичи и интервалы между ними сокращаются как один единый объект. Любой наблюдатель, движущийся мимо платформы, будет видеть её уменьшенную длину, в зависимости от относительной скорости, и уменьшенную длину объекта «кирпичи с интервалами». С самой же платформой, кирпичами и интервалами между ними, как известно, ничего не произойдёт.

Так и в случае с колесом со спицами. Каждый отдельный радиальный слой колеса – обод будет представлять собой «слоёный пирог», состоящий из последовательных кусочков спиц и пространства между ними. Сокращаясь по длине, такой «слоёный» обод будет одновременно уменьшать свой радиус кривизны. В этом смысле полезно представить себе, что колесо сначала раскручено, затем замедлено до остановки. Что с ним будет? Оно вернётся в исходное состояние. Уменьшение его размеров никак не связано с его физической деформацией, это размеры, видимые внешнему, неподвижному наблюдателю. С самим колесом при этом ничего не происходит.

Отсюда, кстати, непосредственно и следует, что колесо может быть абсолютно твёрдым. Никаких усилий деформации к нему не прикладывается, изменение его диаметра не требует непосредственного физического сжатия материала колеса. Можно колесо раскручивать, затем замедлять сколько угодно раз: для наблюдателя колесо будет уменьшать свои размеры и вновь их восстанавливать. Но при одном условии: тангенциальная скорость внешнего обода колеса не должна превышать таинственной величины – 0,7 скорости света.

Очевидно, что при достижении этой скорости внешним ободом колеса, скорости всех нижележащих будут заведомо меньше. Следовательно, «волна» перекрытия начнётся с внешней части и будет постепенно перемещаться внутрь колеса, к его оси. При этом если внешний обод будет раскручен до скорости света, перекрытие слоёв будет только до слоя, имеющего 0,7 исходного радиуса колеса. Все более близкие к оси слои перекрывать друг друга не будут. Понятно, что это гипотетическая модель, поскольку пока неясно, что будет происходить со слоями, находящимися от оси дальше, чем 0,7 исходного радиуса. Напомним точное значение этой величины: √2/2.

На диаграмме показан процесс сокращения радиусов слоёв и точка начала их пересечения:

Рис. 3. Степени сжатия радиусов ободьев в зависимости от их удалённости от центра и тангенциальной скорости внешнего обода

При увеличении тангенциальной скорости внешнего края диска, его слои – ободья уменьшают собственные радиусы в разной степени. Сильнее всего уменьшается радиус внешнего края – вплоть до нуля. Видим, что обод, радиус которого равен десятой части от радиуса внешнего края диска, практически не изменяет своего радиуса. Это значит, что при сильной раскрутке внешний обод сократится до радиуса меньшего, чем внутренний, но как это будет выглядеть в реальности, пока неясно. Пока только очевидно, что деформация наступает лишь при скорости внешнего обода, превышающей √2/2 скорости света (ок. 0,71 c). До этой скорости все ободья сжимаются, не пересекая друг друга, без деформации плоскости диска, внешний радиус которого при этом уменьшится до 0,7 от исходного значения. Чтобы наглядно показать эту точку, на диаграмме приведены два смежных внешних слоя обода, имеющие почти одинаковые радиусы. Это первые «кандидаты» на взаимное пересечение при раскручивании.

Если на диск нанести равномерно концентрические окружности, через равные интервалы, то в процессе его раскручивания для внешнего наблюдателя эти окружности будут располагаться с интервалами, равномерно уменьшающимися от центра (практически исходная величина интервала) к периферии (уменьшающийся вплоть до нуля).

Для того чтобы выяснить, что произойдёт с колесом после превышения внешним ободом скорости 0,7 от скорости света, изменим форму колеса так, чтобы слои не мешали друг другу. Сдвинем слои колеса вдоль оси, превратив колесо в тонкостенный конус, воронку. Теперь при сжатии каждого слоя под ним нет других слоёв, и ничто не мешает ему сжиматься сколько угодно. Начнём раскручивать конус из состояния покоя до скорости 0,7 от скорости света и затем до скорости света, после чего уменьшим скорость в обратной последовательности. Изобразим этот процесс в виде анимации:

Рис. 4. Лоренцева деформация конуса при раскручивании. Слева вид вдоль оси конуса – воронки, справа – вид сбоку, перпендикулярно к оси. Красной тонкой линией на конусе показан его контур

На рисунке конус (воронка) показан в двух видах: вдоль оси, как всегда изображается парадокс колеса, и перпендикулярно к оси, вид сбоку, на котором виден «профиль» конуса. На виде сбоку мы отчётливо видим поведение каждого слоя-обода конуса, бывшего колеса. Каждый из этих слоёв изображён цветной линией. Эти линии повторяют соответствующие окружности, ободья, для которых построен график на предыдущем рисунке. Это позволяет увидеть каждый обод независимо от других и то, как внешний обод уменьшает свой радиус сильнее, чем внутренние.

Следует особо отметить следующие очевидные обстоятельства. Согласно теории относительности деформации диска или показанного конуса как таковой нет. Все изменения в его форме – это видимость для внешнего наблюдателя, с самим диском и конусом при этом ничего не происходит. Следовательно, он вполне может быть из абсолютно твёрдого материала. Изделия из такого материала не сжимаются, не растягиваются, не изгибаются и не скручиваются – они не подвержены никакой геометрической деформации. Поэтому видимость деформации вполне допускает и раскручивание этого диска до световой скорости. Внешний наблюдатель будет видеть, как показано на анимации, вполне логичную, хотя и довольно странную картину. Внешний обод конуса уменьшается до скорости 0,7 c, после чего продолжает сжиматься дальше. При этом внутренний обод, который имел меньший радиус, оказывается с внешней стороны. Однако, это вполне очевидное явление. По раскрашенным ободьям на анимации видно, как внешние ободья приближаются к центру диска, превращая конус в своеобразный замкнутый сосуд, амфору. Но нужно понимать, что при этом собственно конус остаётся таким, как и был изначально. Если уменьшить скорость его вращения, то все слои вернутся на свои места и амфора для неподвижного наблюдателя вновь превратится в конус. Это кажущееся перемещение слоёв, ободьев вследствие сжатия к центру диска с точки зрения внешнего наблюдателя никак не связано с реальной геометрической деформацией самого диска. Потому-то и нет никаких физических препятствий для того, чтобы конус был изготовлен из абсолютно твёрдого материала.

Но это относится к конусу. А как поведёт себя плоское колесо, в котором все слои находятся всё-таки друг над другом? В этом случае неподвижный наблюдатель увидит весьма странную картину. После того как внешний обод диска уменьшится на скорости 0,7 c, он сделает попытку дальнейшего сжатия. При этом внутренний обод, который имел меньший радиус, будет сопротивляться этому. Здесь мы напомним очевидное условие – при любой скорости диск должен оставаться плоским.

При всей странности картины можно достаточно легко догадаться о том, что произойдёт дальше. Нужно просто вспомнить рассмотренную выше картину с тонкостенным колесом, насаженным на неподвижную ось. Отличие лишь в том, что в рассмотренном случае неподвижная ось не испытывает лоренцева сокращения. Здесь же слои, он нуля до 0,7 от радиуса колеса, сами испытали сжатие и несколько уменьшили свои размеры. Не смотря на это внешние слои их всё равно «догнали». Теперь лоренцева сжатия внутренних слоёв недостаточно, они не дают внешним продолжить собственное сжатие. Как варианты мы можем выделить три сценария дальнейшего развития событий, не принимая во внимание действие центробежных сил и тот факт, что для такой раскрутки потребуется бесконечно мощный двигатель.

Для обычного материала при взаимодействии слоёв-ободьев внутренние слои испытывают деформацию сжатия, а внешние – растяжения. Следовательно, более вероятен разрыв внешних ободьев, чем упругое уменьшение объёма внутренних. Это очевидно, поскольку материал их один и тот же.

Рис. 5. Лоренцева деформация диска из обычного твёрдого материала

Здесь и на последующих анимация раскраска полос сделана наподобие «тельняшки» – более светлые цвета чередуются с более тёмными. В этом случае при сжатии диска на его разрезе лучше видно, что они не пересекают друг друга, а как бы складываются в виде «гармошки». На анимации сжатия обычного твёрдого (хрупкого) диска в красный цвет перекрашиваются слои (ободья), которые приходят в тесное соприкосновение, с силой давят друг на друга. В этом случае их материал испытывает как усилие на сжатие (внутренние слои), так и усилие на растяжение (внешние слои). При некоторых усилиях внешние слои, что более вероятно, просто будут разорваны, и разлетятся в разные стороны. Как видно на анимации, условия для разрыва наступают после достижения предельной скорости 0,7 c.

Для абсолютно эластичного материала картина немного иная. Разрыв слоёв невозможен, но возможно их бесконечное сжатие. Следовательно, при скорости внешнего обода, близкой к скорости света, для внешнего наблюдателя колесо может превратиться в бесконечно малую точку.

Рис. 6. Лоренцева деформация диска из эластичного материала

Это в том случае, если на сжатие будет необходимо меньшее усилие, чем на растяжение. Иначе форма колеса при равенстве этих сил будет оставаться неизменной. После прекращения вращения колесо примет свои первоначальные размеры без каких бы то ни было повреждений. На анимации, как и выше, видно, что слои-ободья складываются в виде «гармошки», не пересекая друг друга. Правда, здесь следовало бы показать утолщение диска в зазоре между внешним ободом и осью. Диск, очевидно, должен при сжатии принять форму бублика. При достижении скорости внешнего обода, равной скорости света, диск сожмётся в точку (вернее, в тонкую трубочку, надетую на ось).

Для абсолютно твёрдого материала колеса, который не сжимается, не растягивается и не изгибается, картина также будет отличаться от предыдущих.

Рис. 7. Лоренцева деформация диска из абсолютно твёрдого материала

Внешние ободья не могут разорваться, а внутренние – сжаться. Поэтому, разрушения ни тех, ни других не будет, но будет стремительно возрастать сила их давления друг на друга после того, как будет достигнута предельная скорость вращения. За счёт каких источников возникает эта сила? Очевидно, что за счёт сил, приводящих колесо во вращение. Следовательно, внешний источник должен будет прикладывать всё большее и большее усилие вплоть до бесконечности. Понятно, что это невозможно, и мы приходим к выводу: при достижении внешним ободом абсолютно твёрдого колеса скорости √2/2 от скорости света дальнейшего увеличения этой скорости не будет. Приводной двигатель словно упрётся в стену. Это примерно то же самое, как бежать, например, за тракторной тележкой, прицепом. Можно бежать с любой скоростью, но при достижении тележки скорость будет сразу же ограничена её скоростью, скоростью трактора.

Итак, подведём итоги. Как видим, поведение раскручиваемого колеса имеет строго согласованные и непротиворечивые предсказания в специальной теории относительности для всех вариантов парадокса колеса.

Ошибочным является вариант парадокса Эренфеста – невозможность раскрутить абсолютно твёрдое тело:

Рассуждение Эренфеста показывает невозможность приведения абсолютно твёрдого тела (изначально покоившегося) во вращение

Это ошибочные выводы, не соответствующие предсказаниям специальной теории относительности. Кроме того, в работе Эренфеста, которую следует считать первой формулировкой парадокса, нет таких рассуждений. Считается, что само по себе абсолютно твёрдое тело по определению невозможно в специальной относительности, поскольку оно позволяет производить сверхсветовую передачу сигналов. Поэтому математика СТО к таким телам изначально неприменима. Тем не менее, такое тело, как мы показали, можно раскрутить до скорости более чем в две трети от скорости света. При этом никаких парадоксов СТО не возникает, поскольку для внешнего наблюдателя происходит релятивистское сжатие круга целиком, включая его спицы. Утверждение Эренфеста и других авторов о том, что продольно спицы не сжимаются – ошибочно. Действительно, поскольку ободья движутся без проскальзывания относительно друг друга, мы можем склеить их, рассматривая их как один сплошной диск. Если теперь на таком сплошном диске мы «нарисуем» спицы, то очевидно, они будут уменьшать свою длину, следуя за уменьшением диаметров ободьев. Также спицы можно выполнить как рифление на поверхности диска и даже сделав радиальные (или под углом) пропилы внутри него. Получившиеся спицы и пустые интервалы (пространство) между ними движутся как связанные друг с другом части ободьев, то есть, являются объектами, которые сокращается как единое целое. И материал спиц, и интервал между ними испытывают тангенциальное лоренцево сокращение в равной мере, что, соответственно, приводит и к такому же их радиальному сокращению.

Ошибочным является и оригинальный, распространённый в литературе, авторский вариант парадокса Эренфеста – раскручивание обычного тела: радиус колеса одновременно равен исходному и укороченному значению.

Ошибка заключена в утверждении от имени теории относительности, что радиус (спицы) колеса не испытывает лоренцева сокращения. Но специальная теория относительности не делает такого предсказания. Согласно её предсказаниям спицы испытывают такое же лоренцево сокращение, как и обод колеса. При этом в зависимости от материала колеса его часть, превышающая 0,7 от радиуса при раскручивании обода до световой скорости, будет либо разрушена, разорвана, если материал недостаточно эластичен, либо всё колесо целиком испытает лоренцево сжатие до бесконечно малого радиуса с точки зрения внешнего наблюдателя. Если остановить колесо до его разрушения и до достижения скорости 0,7 от скорости света, то оно примет для внешнего наблюдателя свою исходную форму без каких-либо повреждений. Упругое тело при достижении скорости выше 0,7 от скорости света может испытать некоторые деформации. Например, если в нём были вкрапления из хрупкого материала, то они будут разрушены. После остановки колеса разрушения не будут восстановлены.

Таким образом, следует признать, что ни одна из рассмотренных формулировок не позволяет говорить о парадоксе. Все виды парадокса колеса, Эренфеста являются мнимыми, псевдопарадоксами. Корректное и последовательное применение математики СТО позволяет для каждой описанной ситуации сделать непротиворечивые предсказания. Под парадоксом мы понимаем правильные предсказания, которые противоречат друг другу, но здесь этого нет.

После просмотра ряда источников (который нельзя, конечно, назвать исчерпывающим), выяснилось следующее. Изложенное решение парадокса Эренфеста (парадокса колеса) является, видимо, первым с момента его формулировки Эренфестом в 1909 году корректным решением парадокса в рамках специальной теории относительности. Впервые рассмотренное решение обнаружено в октябре 2015 года и 18.10.2015 данная статья направлена для публикации на сайте Международной ассоциации учёных, преподавателей и специалистов (Российской Академии Естествознания) в разделе Заочные электронные конференции.

Основным назначением мысленного эксперимента под названием «Парадокс близнецов» было опровержение логичности и обоснованности специальной теории относительности (СТО). Стоит сразу оговориться, что ни о каком парадоксе на самом деле речи не идёт, а само слово фигурирует в этой теме потому, что суть мысленного эксперимента была изначально неправильно воспринята.

Основная идея СТО

Парадокс (парадокс близнецов) гласит, что «неподвижный» наблюдатель воспринимает процессы движущихся объектов как замедляющиеся. В соответствии с той же теорией инерциальные системы отсчёта (системы, в которых движение свободных тел происходит прямолинейно и равномерно либо они находятся в состоянии покоя) равноправны относительно друг друга.

Парадокс близнецов: кратко

С учётом второго постулата возникает предположение о противоречивости Чтобы разрешить эту проблему наглядно, было предложено рассмотреть ситуацию с двумя братьями-близнецами. Одного (условно - путешественника) отправляют в космический полёт, а другого (домоседа) оставляют на планете Земля.

Формулировка парадокса близнецов при таких условиях обычно звучит так: по оценке домоседа, время на тех часах, которые находятся у путешественника, движется медленнее, а значит, когда он вернётся, его (путешественника) часы будут отставать. Путешественник, напротив, видит, что относительно него движется Земля (на которой находится домосед со своими часами), и, с его точки зрения, именно у его брата время будет идти более медленно.

В действительности оба брата находятся в равных условиях, а значит, когда они окажутся вместе, то на их часах время будет одинаковым. Одновременно по теории относительности отставать должны именно часы брата-путешественника. Такое нарушение очевидной симметричности было рассмотрено как несогласованность положений теории.

Парадокс близнецов из теории относительности Эйнштейна

В 1905 году Альберт Эйнштейн вывел теорему, которая гласит, что при нахождении в точке А пары синхронизированных друг с другом часов можно перемещать одни из них по криволинейной замкнутой траектории с неизменной скоростью до тех пор, пока они вновь не достигнут точки А (и на это будет затрачено, например, t секунд), но в момент прибытия они покажут меньшее время, чем те часы, что оставались неподвижны.

Шесть лет спустя статус парадокса этой теории придал Поль Ланжевен. «Завернутая» в наглядную историю, она скоро приобрела популярность даже среди людей, далёких от науки. По мнению самого Ланжевена, нестыковки в теории объяснялись тем, что, возвращаясь на Землю, путешественник двигался ускоренно.

Ещё через два года Максом фон Лауэ была выдвинута версия о том, что значимы вовсе не моменты ускорения объекта, а тот факт, что он попадает в другую инерциальную систему отсчёта, когда оказывается на Земле.

Наконец в 1918 году Эйнштейн смог сам объяснить парадокс двух близнецов через влияние поля гравитации на течение времени.

Объяснение парадокса

Парадокс близнецов объяснение имеет довольно простое: изначальное предположение о равноправии между двумя системами отсчёта неверно. Путешественник пребывал в инерциальной системе отсчёта не всё время (это же касается и истории с часами).

Как следствие, многие посчитали, что специальную теорию относительности нельзя использовать для правильной формулировки парадокса близнецов, иначе получаются несовместимые друг с другом предсказания.

Всё разрешилось, когда была создана Она дала точное решение для имеющейся задачи и смогла подтвердить, что из пары синхронизированных часов отставать будут именно те, которые находятся в движении. Так изначально парадоксальная задача получила статус рядовой.

Спорные моменты

Существуют предположения о том, что момент ускорения достаточно значим для изменения скорости хода часов. Но в ходе многочисленных экспериментальных проверок было доказано, что под действием ускорения движение времени не ускоряется и не замедляется.

В итоге отрезок траектории, на котором один из братьев ускорялся, демонстрирует только некоторую асимметричность, возникающую между путешественником и домоседом.

Но данное утверждение не может объяснить, почему время замедляется именно у движущегося объекта, а не у того, что остаётся в покое.

Проверка практикой

Парадокс близнецов формулы и теоремы описывают точно, но это для человека некомпетентного довольно сложно. Для тех, кто больше склонен доверять практике, а не теоретическим выкладкам, были проведены многочисленные эксперименты, целью которых было доказать или опровергнуть теорию относительности.

В одном из случаев использовались Они отличаются сверхточностью, и для минимальной рассинхронизации им потребуется не один миллион лет. Помещённые в пассажирский самолёт, они несколько раз облетели Землю и после показали вполне заметное отставание от тех часов, которые никуда не летали. И это притом что скорость передвижения у первого образца часов была далеко не световая.

Другой пример: более продолжительна жизнь мюонов (тяжёлых электронов). Эти элементарные частицы в несколько сотен раз тяжелее обычных, обладают отрицательным зарядом и формируются в верхнем слое земной атмосферы благодаря действию космических лучей. Скорость их движения к Земле лишь на малость уступает световой. При их истинной продолжительности жизни (в 2 микросекунды) они распадались бы раньше, чем коснутся поверхности планеты. Но в процессе полёта они живут в 15 раз дольше (30 микросекунд) и всё-таки достигают цели.

Физическая причина парадокса и обмен сигналами

Парадокс близнецов физика объясняет и более доступным языком. Пока происходит полёт, оба брата-близнеца находятся вне зоны досягаемости друг для друга и не могут на практике удостовериться в том, что их часы движутся синхронно. Точно определить, насколько замедляется движение часов у путешественника, можно, если проанализировать сигналы, которые они будут посылать друг другу. Это условные сигналы «точного времени», выраженные как световые импульсы или видеотрансляция циферблата часов.

Нужно понимать, что передаваться сигнал будет не в настоящем времени, а уже в прошедшем, поскольку распространение сигнала происходит с определённой скоростью и требуется определённое время, чтобы пройти от источника до приёмника.

Правильно оценивать результат сигнального диалога можно только с учётом эффекта Доплера: при удалении источника от приёмника частота сигнала уменьшится, а при приближении - увеличится.

Формулировка объяснения в парадоксальных ситуациях

Для объяснения парадоксов подобных историй с близнецами можно применить два основных способа:

1. Внимательное рассмотрение имеющихся логических построений на предмет противоречий и выявление логических ошибок в цепи рассуждений.
2. Осуществление детальных вычислений с целью оценки факта торможения времени с точки зрения каждого из братьев.

В первую группу попадают вычислительные выражения, основанные на СТО и вписанные в Здесь подразумевается, что моменты, связанные с ускорением движения, настолько малы по отношению к общей длине полёта, что ими можно пренебречь. В отдельных случаях могут вводить третью инерциальную систему отсчёта, которая продвигается по встречному направлению в отношении путешественника и используется для передачи данных с его часов на Землю.

Во вторую группу входят вычисления, построенные с учётом того, что моменты ускоренного движения всё же присутствуют. Сама эта группа также подразделяется на две подгруппы: в одной применяется гравитационная теория (ОТО), а в другой - нет. Если ОТО задействована, то подразумевается, что в уравнении фигурирует поле гравитации, которое соответствует ускорению системы, и берётся во внимание изменение скорости течения времени.

Заключение

Все обсуждения, связанные с мнимым парадоксом, обусловлены лишь кажущейся логической ошибкой. Как бы ни были сформулированы условия задачи, добиться того, чтобы братья оказались в полностью симметричных условиях, невозможно. Важно учесть, что время замедляется именно на движущихся часах, которым пришлось пройти через смену систем отсчёта, потому что одновременность событий относительна.

Рассчитать, насколько замедлилось время с точки зрения каждого из братьев, можно двумя способами: используя простейшие действия в рамках специальной теории относительности либо ориентируясь на неинерциальные системы отсчёта. Результаты обеих цепей вычислений могут быть взаимно согласованы и в равной степени служат для подтверждения того, что на движущихся часах время идёт медленнее.

На этом основании можно предполагать, что при перенесении мысленного эксперимента в реальность тот, кто займёт место домоседа, действительно состарится быстрее, чем путешественник.

Хотите удивить всех своей молодостью? Отправляйтесь в длительный космический полет! Хотя, когда вернетесь, удивляться, скорее всего, уже будет некому...

Давайте проанализируем историю двух братьев-близнецов.
Один из них - «путешественник» отправляется в космический полёт (где скорость движения ракет околосветовая), второй - «домосед» остаётся на Земле. А вопрос-то в чем? - в возрасте братьев!
После космического путешествия останутся они одного возраста, или кто-то из них (и кто именно)станет старше?

Еще в 1905 г. Альбертом Эйнштейном в Специальной Теории Относительности (СТО) был сформулирован эффект релятивистского замедления времени , согласно которому часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее неподвижных часов и показывают меньший промежуток времени между событиями. Причем заметно это замедление при околосветовых скоростях.

Именно после выдвижения Эйнштейном СТО французским физиком Полем Ланжевеном был сформулирован «парадокс близнецов» (или иначе "парадокс часов") . Парадокс близнецов (иначе "парадокс часов") – это мысленный эксперимент, с помощью которого пытались объяснить возникшие противоречия в СТО.

Итак, вернемся к братьям –близнецам!

Домоседу должно показаться, что часы движущегося путешественника имеют замедленный ход времени, поэтому при возвращении они должны отстать от часов домоседа.
А с другой стороны, относительно путешественника двигается Земля, поэтому он считает, что отстать должны часы домоседа.

Но, не могут оба брата быть одновременно один старше другого!
Вот в этом и парадокс …

С точки зрения существовавшей на время возникновения «парадокса близнецов» в данной ситуации возникало противоречие.

Однако, парадокса, как такового, в действительности не существует, т.к. надо помнить, что СТО - это теория для инерциальных систем отсчёта! А, система отсчёта по крайней мере одного из близнецов не было инерциальной!

На этапах разгона, торможения или разворота путешественник испытывал ускорения, и поэтому к нему в эти моменты неприменимы положения СТО.

Здесь надо пользоваться Общей Теорией Относительности , где с помощью расчетов доказывается, что:

Вернемся , к вопросу о замедлении времени в полете!
Если свет проходит какой либо путь за время t.
Тогда продолжительность полета корабля для «домоседа» будет Т= 2vt/c

А для «путешественника» на космическом корабле по его часам (основываясь на преобразовании Лоренца) пройдет всего To=Tумноженное на корень квадратный из (1-v2/c2)
В результате, расчеты (в ОТО) величины замедления времени с позиции каждого брата покажут, что брат- путешественник окажется моложе своего брата-домоседа.

Для примера можно просчитать мысленно полёт к звёздной системе Альфа Центавра, удалённой от Земли на расстояние в 4.3 световых года (световой год – расстояние, которое проходит свет за год). Пусть время измеряется в годах, а расстояния в световых годах.

Пусть половину пути космический корабль двигается с ускорением, близким к ускорению свободного падения, а вторую половину - с таким же ускорением тормозит. Проделывая обратный путь, корабль повторяет этапы разгона и торможения.

В этой ситуации время полёта в земной системе отсчёта составит примерно 12 лет, тогда как по часам на корабле пройдёт 7,3 года. Максимальная скорость корабля достигнет 0,95 от скорости света.

За 64 года собственного времени космический корабль с подобным ускорением может совершить путешествие к галактике Андромеды (туда и обратно). На Земле за время такого полёта пройдёт около 5 млн лет.

Рассуждения, проводимые в истории с близнецами, приводят только к кажущемуся логическому противоречию. При любой формулировке «парадокса» полной симметричности между братьями нет.

Важную роль для понимания того, почему время замедляется именно у путешественника, менявшего свою систему отсчёта, играет относительность одновременности событий.

Уже проведенные эксперименты по удлинению времени жизни элементарных частиц и замедлению хода часов при их движении подтверждают теорию относительности.

Это даёт основание утверждать, что замедление времени, описанное в истории с близнецами, произойдёт и при реальном осуществлении этого мысленного эксперимента.

ПАРАДОКСЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ. Под словом «парадоксы» в данном случае понимают те выводы из СТО, которые, хотя и являются совершенно правильными по существу и подтверждаются экспериментами, тем не менее противоречат интуитивным, основанным на классической физике представлениям.

Два вывода из постулатов СТО (кстати, экспериментально подтвержденные) всегда вызывали особый интерес, хотя на практике с ними почти не приходится сталкиваться явно (неявно эти эффекты содержатся в любой релятивистской формуле).

Все дело в том, что эти выводы, на первый взгляд, совершенно не могут соответствовать реальности.

1. Самый известный – парадокс близнецов обычно формулируется так. Пусть брат-близнец А отправляется в космический полет на звезду Х , находящуюся от нас на расстоянии, скажем, 20 световых лет. Скорость звездолета близка к скорости света: v = 0,9с . Долетев до звезды примерно за 22,3 года (по своим часам), корабль разворачивается и летит обратно. Таким образом, по часам брата А, совершившего этот полет, прошло примерно T = 44,6 года. Второй брат-близнец Б дожидался возвращения брата А на Земле. У трапа звездолета брата А встретил дряхлый старец, которому пришлось ждать встречи более 100 лет.

Собственно, здесь еще нет парадокса. Действительно, при движении со скоростью v = 0,9c лоренц-фактор равен g » 2,3 и вследствие эффекта замедления времени по часам земного наблюдателя прошло время, равное gT » 103 года.

Парадокс возникает при попытке обратить рассуждение. Ведь с точки зрения брата А (неподвижный наблюдатель) движется брат Б, и по его часам проходит больше времени. Но с точки зрения брата Б движется брат А, и по его часам должно пройти больше времени. Таким образом, брат А должен вернуться постаревшим. Казалось бы, формулы СТО симметричны относительно замены v на –v . В чем же дело?

Этот парадокс разрешается следующим образом. Дело в том, что мировые линии братьев А и Б различны. Один из них (Б) находится в покое, другой (А) совершает движение с постоянной скоростью, которая в определенный момент изменяется на обратную, что возможно только при торможении и последующем ускорении космического корабля (что соответствует движению в неинерциальной системе отсчета). Таким образом, брат А движется от Земли и к Земле, находясь в покое сначала относительно одной инерциальной системы, а затем - относительно другой, и по дороге переходит на короткое время в неинерциальную систему. В то же время брат Б покоится относительно одной и той же инерциальной системы. Видно, что А и Б находятся в разных физических условиях, и это разрешает парадокс. Точный расчет показывает, что с точки зрения любого из братьев постареет больше тот, который неподвижен относительно Земли.

В ускорителях коротко живущие частицы, движущиеся со скоростями, близкими к скорости света, «живут» много дольше, чем «покоящиеся» частицы

2. Другой эффект – лоренцевское сокращение длины и связанные с ним парадоксы.

Пусть есть две инерциальные системы отсчета – S " и S . В системе S " жесткий стержень длиной Dx " покоится вдоль оси x и нужно определить его длину в системе S , относительно которой стержень движется со скоростью v . Чтобы измерить длину стержня в любой инерциальной системе, относительно которой стержень движется вдоль продольной оси, нужно одновременно наблюдать его концы. Это – ключевое положение, непонимание которого и приводит иногда к парадоксам.

В СТО нужно отличать то, что видит наблюдатель, от того, что он знает как бы пост-фактум. То, что наблюдатель видит или фотографирует в любой фиксированный момент времени, называется картиной мира в этот момент. Это понятие практически не очень важно, а теоретически очень сложно, т.к. то, что наблюдатель видит в данный момент, – это смесь событий, происходивших все дальше в прошлом и все дальше в пространстве.Если смотреть на ночное небо, полное звезд, то расстояния до этих звезд составляют от нескольких до сотен тысяч св. лет, следовательно, наблюдающий видит свет от этих звезд, испущенный в разное время и одновременно дошедший до его глаза, т.е он. видит разновременные события.

Полезнее понятие карты мира. Ее можно представлять как карту событий в сечении 4-мерного пространства Минковского плоскостью постоянного времени t = t 0. Карта мира – это как бы трехмерный мгновенный фотоснимок в натуральную величину, сделанный одновременно везде, застывшее мгновение в пространственной системе отсчета наблюдателя. Реализовать такую карту мира могут совместные снимки, сделанные вспомогательными наблюдателями, размещенными в узлах пространственной решетки в данной инерциальной системе, причем каждый фотографирует свою окрестность в заранее обусловленный момент времени t = t 0, а потом снимки склеиваются.

Когда говорят, что длина тела в системе S равна такой-то величине, речь идет о карте мира, т.е. об одновременной фиксации положений концов стержня в заданный момент времени. То, что на самом деле видит глаз, наблюдая движущееся тело, совершенно другой и не очень существенный вопрос.

Для вывода формулы сокращения длины преобразования Лоренца от системы S к системе S " записываются для приращений координат:

Dx ў0 = g(Dx 0 – v Dx 1), Dx ў1 = g(Dx 1 – v Dx 0).

Во второй формуле нужно положить Dx 0 = 0 (одновременная фиксация концов стержня в системе S !). Тогда Dx ў1 = gDx 1. Если обозначить Dx ў1 = L 0, а Dx 1 = L , то

L = L 0/g ,

(g – лоренц-фактор).

Все парадоксы сокращения длины связаны, конечно, с симметрией эффекта: если наблюдатель в S видит сокращение длины, то и наблюдатель в S " должен видеть то же самое. Из «парадоксов» СТО можно сделать важный вывод: какой бы результат ни получился путем корректных рассуждений в некоторой инерциальной системе отсчета, он является верным в любой другой инерциальной системе отсчета.

При правильном использовании, СТО не допускает никаких «парадоксов».

Некоторые кажущиеся очевидными вещи оказываются совсем не такими очевидными в рамках СТО. Например, казалось бы, если вдоль оси x летит куб заданного размера, то, в силу лоренцовского сокращения, он должен в лабораторной системе выглядеть сплющенным в направлении движения, превратившимся в параллелепипед. Подробный расчет показывает, однако, что это не так: видимый куб не меняет своих размеров и только поворачивается на некоторый угол относительно оси x . Этот результат («невидимость лоренцова сокращения») был получен только через пятьдесят лет после создания СТО.

Александр Берков