শাস্ত্রীয় সম্ভাব্যতা এবং এর বৈশিষ্ট্য

সম্ভাব্যতা হল সম্ভাব্যতা তত্ত্বের মৌলিক ধারণাগুলির মধ্যে একটি। এই ধারণার বিভিন্ন সংজ্ঞা আছে। আসুন একটি সংজ্ঞা দিই যাকে ক্লাসিক্যাল বলা হয়।

সম্ভাবনাইভেন্ট হল প্রাথমিক ফলাফলের সংখ্যার অনুপাত যা একটি প্রদত্ত ইভেন্টের পক্ষে অভিজ্ঞতার সমস্ত সমান সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা যেখানে এই ঘটনাটি উপস্থিত হতে পারে।

একটি ঘটনার সম্ভাবনা A দ্বারা চিহ্নিত করা হয় P(A)(এখানে আর- ফরাসি শব্দের প্রথম অক্ষর সম্ভাবনা- সম্ভাবনা).

সংজ্ঞা অনুযায়ী

ইভেন্টের উপস্থিতির পক্ষে প্রাথমিক পরীক্ষার ফলাফলের সংখ্যা কোথায়;

ট্রায়ালের সম্ভাব্য প্রাথমিক ফলাফলের মোট সংখ্যা।

সম্ভাব্যতার এই সংজ্ঞা বলা হয় ক্লাসিক. এটা উঠেছিল প্রাথমিক অবস্থাসম্ভাবনা তত্ত্বের বিকাশ।

সংখ্যাটিকে প্রায়শই ঘটনার সংঘটনের আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি হিসাবে উল্লেখ করা হয়। কঅভিজ্ঞতায়

একটি ঘটনার সম্ভাব্যতা যত বেশি হবে, ততবার এটি ঘটবে এবং তদ্বিপরীত, একটি ঘটনার সম্ভাবনা কম, এটি প্রায়ই কম ঘটবে। যখন একটি ঘটনার সম্ভাবনা একের কাছাকাছি বা একের সমান হয়, তখন এটি প্রায় সব পরীক্ষায় ঘটে। এমন ঘটনা বলা হয় প্রায় নির্দিষ্ট, অর্থাৎ, যে কেউ অবশ্যই তার আক্রমণাত্মক উপর নির্ভর করতে পারে।

বিপরীতভাবে, যখন সম্ভাবনা শূন্য বা খুব ছোট, তখন ঘটনাটি খুব কমই ঘটে; এমন একটি ঘটনা বলা হয় প্রায় অসম্ভব.

কখনও কখনও সম্ভাবনা শতাংশ হিসাবে প্রকাশ করা হয়: R(A) 100%ইভেন্টের সংঘটন সংখ্যার গড় শতাংশ ক.

উদাহরণ 2.13।একটি ফোন নম্বর ডায়াল করার সময়, গ্রাহক একটি সংখ্যা ভুলে যান এবং এলোমেলোভাবে এটি ডায়াল করেন। পছন্দসই সংখ্যা ডায়াল হওয়ার সম্ভাবনা খুঁজে বের করুন।

সমাধান।

দ্বারা নির্দেশ করুন কঘটনা - "প্রয়োজনীয় নম্বর ডায়াল করা হয়েছে"।

গ্রাহক 10 সংখ্যার যেকোনো একটি ডায়াল করতে পারে, তাই সম্ভাব্য প্রাথমিক ফলাফলের মোট সংখ্যা 10। এই ফলাফলগুলি বেমানান, সমানভাবে সম্ভব এবং একটি সম্পূর্ণ গোষ্ঠী গঠন করে। অনুষ্ঠানের পক্ষে কশুধুমাত্র একটি ফলাফল (প্রয়োজনীয় সংখ্যা শুধুমাত্র একটি)।

পছন্দসই সম্ভাব্যতা ফলাফলের সংখ্যার অনুপাতের সমান যা ইভেন্টটিকে সমস্ত প্রাথমিক ফলাফলের সংখ্যার অনুকূল করে:

শাস্ত্রীয় সম্ভাব্যতা সূত্র সম্ভাব্যতা গণনা করার একটি খুব সহজ উপায় প্রদান করে যার জন্য পরীক্ষার প্রয়োজন নেই। যাইহোক, এই সূত্রের সরলতা খুব প্রতারণামূলক। আসল বিষয়টি হ'ল এটি ব্যবহার করার সময়, একটি নিয়ম হিসাবে, দুটি খুব কঠিন প্রশ্ন দেখা দেয়:

1. অভিজ্ঞতার ফলাফলের একটি সিস্টেম কীভাবে চয়ন করবেন যাতে তারা সমানভাবে সম্ভাবনাময় হয় এবং এটি কি আদৌ করা সম্ভব?

2. কিভাবে সংখ্যা খুঁজে বের করতে হয় মিএবং n?

যদি একাধিক বিষয় একটি পরীক্ষায় জড়িত থাকে, তবে সমান সম্ভাব্য ফলাফলগুলি দেখা সবসময় সহজ নয়।

মহান ফরাসি দার্শনিক এবং গণিতবিদ ডি'আলেমবার্ট তার বিখ্যাত ভুলের সাথে সম্ভাব্যতা তত্ত্বের ইতিহাসে প্রবেশ করেছিলেন, যার সারমর্ম ছিল যে তিনি ভুলভাবে শুধুমাত্র দুটি মুদ্রা দিয়ে একটি পরীক্ষায় ফলাফলের সমতা নির্ধারণ করেছিলেন!

উদাহরণ 2.14। ( d'Alembert ত্রুটি). দুটি অভিন্ন মুদ্রা নিক্ষেপ করা হয়। তারা একই দিকে পড়ে যাওয়ার সম্ভাবনা কত?

d'Alembert এর সমাধান।

অভিজ্ঞতার তিনটি সমানভাবে সম্ভাব্য ফলাফল রয়েছে:

1. উভয় মুদ্রা "ঈগল" এর উপর পড়বে;

2. উভয় মুদ্রা "লেজ" উপর পড়বে;

3. মুদ্রাগুলির একটি মাথার উপর, অন্যটি লেজের উপর অবতরণ করবে।

সঠিক সিদ্ধান্ত।

অভিজ্ঞতার চারটি সমানভাবে সম্ভাব্য ফলাফল রয়েছে:

1. প্রথম মুদ্রা "ঈগল" এর উপর পড়বে, দ্বিতীয়টি "ঈগল" এর উপরও পড়বে;

2. প্রথম মুদ্রা "লেজ" এর উপর পড়বে, দ্বিতীয়টিও "লেজ" এর উপর পড়বে;

3. প্রথম মুদ্রা মাথার উপর এবং দ্বিতীয়টি লেজের উপর অবতরণ করবে;

4. প্রথম মুদ্রাটি লেজের উপর এবং দ্বিতীয়টি মাথার উপর অবতরণ করবে।

এর মধ্যে, দুটি ফলাফল আমাদের ইভেন্টের জন্য অনুকূল হবে, তাই পছন্দসই সম্ভাবনা সমান।

d'Alembert সম্ভাব্যতা গণনা করার সময় করা সবচেয়ে সাধারণ ভুলগুলির মধ্যে একটি করেছিলেন: তিনি দুটি প্রাথমিক ফলাফলকে একত্রিত করেছিলেন, যার ফলে এটি পরীক্ষার অবশিষ্ট ফলাফলগুলির সম্ভাব্যতার ক্ষেত্রে অসম হয়ে ওঠে।

আসুন সূত্র এবং উদাহরণ ব্যবহার করে সম্ভাব্যতার শাস্ত্রীয় সংজ্ঞা বিশ্লেষণ করি।

এলোমেলো ঘটনা বলা হয় বেমানানযদি তারা একই সময়ে ঘটতে না পারে। উদাহরণস্বরূপ, যখন আমরা একটি মুদ্রা টস করি, তখন একটি জিনিস পড়ে যাবে - একটি "অস্ত্রের কোট" বা একটি সংখ্যা এবং সেগুলি একই সময়ে উপস্থিত হতে পারে না, কারণ এটি যৌক্তিক যে এটি অসম্ভব। গুলি চালানোর পরে হিট এবং মিস হওয়ার মতো ঘটনাগুলি বেমানান হতে পারে।

একটি সীমাবদ্ধ সেট ফর্মের এলোমেলো ঘটনা সম্পূর্ণ গ্রুপজোড়া অনুসারে বেমানান ইভেন্ট, যদি প্রতিটি ট্রায়ালে একটি উপস্থিত হয়, এবং এই ইভেন্টগুলির মধ্যে শুধুমাত্র একটিই সম্ভব।

একই মুদ্রা টসিং উদাহরণ বিবেচনা করুন:

প্রথম মুদ্রা দ্বিতীয় মুদ্রা ঘটনা

1) "কোট অফ আর্মস" "কোট অফ আর্মস"

2) "কোট অফ আর্মস" "সংখ্যা"

3) "নম্বর" "কোট অফ আর্মস"

4) "নম্বর" "নম্বর"

বা সংক্ষেপে - "YY", - "MS", - "CH", - "CH"।

ঘটনা বলা হয় সমানভাবে সম্ভব, যদি অধ্যয়নের শর্তগুলি তাদের প্রত্যেকের উপস্থিতির একই সম্ভাবনা প্রদান করে।

আপনি যেমন বোঝেন, আপনি যখন একটি প্রতিসম মুদ্রা টস করেন, তখন এটির একই সম্ভাবনা থাকে এবং "বাহুর কোট" এবং "সংখ্যা" উভয়ই পড়ে যাওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে। একটি প্রতিসম পাশা নিক্ষেপের ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য, যেহেতু 1, 2, 3, 4, 5, 6 এর যেকোনো সংখ্যার মুখোমুখি হওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে।

ধরা যাক যে এখন আমরা মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্রে একটি স্থানান্তর সহ ঘনকটিকে নিক্ষেপ করি, উদাহরণস্বরূপ, 1 নম্বরের পাশের দিকে, তারপরে বিপরীত দিকটি, অর্থাৎ, একটি ভিন্ন সংখ্যার দিকটি প্রায়শই পড়ে যাবে। এইভাবে, এই মডেলে, 1 থেকে 6 পর্যন্ত প্রতিটি সংখ্যার জন্য সংঘটনের সম্ভাবনা ভিন্ন হবে।

সমানভাবে সম্ভব এবং অনন্যভাবে সম্ভব এলোমেলো ঘটনাগুলিকে কেস বলা হয়।

এলোমেলো ঘটনা আছে যেগুলো কেস, এবং আছে র্যান্ডম ইভেন্ট যেগুলো কেস নয়। নীচে এই ঘটনাগুলির উদাহরণ দেওয়া হল।

যে মামলাগুলির ফলস্বরূপ একটি এলোমেলো ঘটনা উপস্থিত হয়, সেগুলিকে এই ইভেন্টের জন্য অনুকূল কেস বলা হয়।

যদি আমরা দ্বারা বোঝাই, যা সমস্ত সম্ভাব্য ক্ষেত্রে ইভেন্টকে প্রভাবিত করে, এবং এর মাধ্যমে - একটি এলোমেলো ঘটনার সম্ভাব্যতা, তাহলে আমরা সম্ভাব্যতার সুপরিচিত শাস্ত্রীয় সংজ্ঞা লিখতে পারি:

সংজ্ঞা

একটি ইভেন্টের সম্ভাব্যতা হল এই ইভেন্টের অনুকূল কেসের সংখ্যার সাথে সমস্ত সম্ভাব্য কেসের মোট সংখ্যার অনুপাত, অর্থাৎ:

সম্ভাব্যতা বৈশিষ্ট্য

শাস্ত্রীয় সম্ভাব্যতা বিবেচনা করা হয়েছে, এবং এখন আমরা প্রধান এবং বিশ্লেষণ করব গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যসম্ভাবনা

সম্পত্তি 1.একটি নির্দিষ্ট ঘটনার সম্ভাবনা একের সমান।

উদাহরণস্বরূপ, যদি বালতির সমস্ত বল সাদা হয়, তাহলে ঘটনাটি, এলোমেলোভাবে একটি সাদা বল নির্বাচন করে, কেস দ্বারা প্রভাবিত হয়।

সম্পত্তি 2।একটি অসম্ভব ঘটনার সম্ভাবনা শূন্য।

সম্পত্তি 3.একটি এলোমেলো ঘটনার সম্ভাবনা একটি ধনাত্মক সংখ্যা:

অত:পর, কোনো ঘটনার সম্ভাবনা অসমতাকে সন্তুষ্ট করে:

এখন সম্ভাব্যতার শাস্ত্রীয় সংজ্ঞার কিছু উদাহরণ সমাধান করা যাক।

সম্ভাব্যতার শাস্ত্রীয় সংজ্ঞার উদাহরণ

উদাহরণ 1

টাস্ক

একটি ঝুড়িতে 20টি বল থাকে, তার মধ্যে 10টি সাদা, 7টি লাল এবং 3টি কালো। একটি বল এলোমেলোভাবে নির্বাচিত হয়। একটি সাদা বল (ইভেন্ট), একটি লাল বল (ঘটনা), এবং একটি কালো বল (ইভেন্ট) নির্বাচন করা হয়েছে। এলোমেলো ঘটনাগুলির সম্ভাবনা খুঁজুন।

সমাধান

সমস্যার অবস্থা অনুযায়ী, অবদান রাখুন, এবং সম্ভাব্য ক্ষেত্রে, অতএব, সূত্র অনুযায়ী (1):

একটি সাদা বলের সম্ভাবনা।

একইভাবে লালের জন্য:

এবং কালো জন্য: .

উত্তর

একটি এলোমেলো ঘটনার সম্ভাবনা , , .

উদাহরণ 2

টাস্ক

একটি বাক্সে 25টি অভিন্ন বৈদ্যুতিক বাতি রয়েছে, যার মধ্যে 2টি ত্রুটিপূর্ণ। একটি এলোমেলোভাবে নির্বাচিত লাইট বাল্ব ত্রুটিপূর্ণ না হওয়ার সম্ভাবনা খুঁজুন।

সমাধান

সমস্যার শর্ত অনুযায়ী, সমস্ত বাতি একই এবং শুধুমাত্র একটি নির্বাচন করা হয়। নির্বাচন করার জন্য মোট সম্ভাবনা। সমস্ত 25টি প্রদীপের মধ্যে, দুটি ত্রুটিপূর্ণ, যার মানে বাকি প্রদীপগুলি উপযুক্ত৷ অতএব, সূত্র (1) অনুসারে, একটি উপযুক্ত বৈদ্যুতিক বাতি (ইভেন্ট) বেছে নেওয়ার সম্ভাবনা সমান:

উত্তর

সম্ভাব্যতা যে একটি এলোমেলোভাবে নির্বাচিত আলোর বাল্ব ত্রুটিপূর্ণ নয় = .

উদাহরণ 3

টাস্ক

দুটি কয়েন এলোমেলোভাবে নিক্ষেপ করা হয়। এই ধরনের ঘটনার সম্ভাবনা খুঁজুন:

1) - উভয় মুদ্রায় অস্ত্রের কোট পড়ে গেছে;

2) - মুদ্রাগুলির একটিতে একটি অস্ত্রের কোট পড়েছিল এবং দ্বিতীয়টিতে - একটি সংখ্যা;

3) - উভয় মুদ্রায় সংখ্যা পড়ে গেছে;

4) - অন্তত একবার অস্ত্রের কোট পড়ে গেল।

সমাধান

এখানে আমরা চারটি ঘটনা নিয়ে আলোচনা করছি। আসুন তাদের প্রতিটিতে কোন ক্ষেত্রে অবদান রাখি তা নির্ধারণ করি। ইভেন্টটি একটি কেস দ্বারা সহজতর হয়, এটি তখন যখন উভয় মুদ্রার উপর অস্ত্রের কোট পড়ে যায় (সংক্ষেপে "GG")।

ঘটনাটি মোকাবেলা করার জন্য, কল্পনা করুন যে একটি মুদ্রা রূপার এবং দ্বিতীয়টি তামার। কয়েন টস করার সময়, এমন কিছু ঘটনা থাকতে পারে:

1) অস্ত্রের একটি রূপালী কোট, অস্ত্রের একটি তামার আবরণে - একটি সংখ্যা (আসুন এটিকে "MS" হিসাবে চিহ্নিত করা যাক);

2) একটি রৌপ্য নম্বরে, একটি তামার নম্বরে - অস্ত্রের একটি কোট (- "ChG")।

অত:পর, ঘটনাগুলো কেস এবং .

ইভেন্টটি একটি কেস দ্বারা সহজতর হয়: উভয় কয়েনে সংখ্যাগুলি পড়েছিল - "CH"।

এইভাবে, ঘটনাগুলি বা (YY, MG, GH, FF) ইভেন্টগুলির একটি সম্পূর্ণ গোষ্ঠী গঠন করে, এই সমস্ত ঘটনাগুলি বেমানান, কারণ তাদের মধ্যে শুধুমাত্র একটি টসের ফলে ঘটে। উপরন্তু, প্রতিসম মুদ্রার জন্য, চারটি ঘটনাই সমানভাবে সম্ভব, তাই সেগুলি কেস হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। চারটি সম্ভাব্য ঘটনা রয়েছে।

একটি ইভেন্ট শুধুমাত্র একটি ইভেন্ট দ্বারা সহজতর করা হয়, তাই এর সম্ভাবনা হল:

দুটি ক্ষেত্রে ইভেন্টে অবদান রাখে, তাই:

একটি ইভেন্টের সম্ভাবনা একই:

তিনটি ক্ষেত্রে ইভেন্টে অবদান রাখে: YY, YY, YY এবং তাই:

যেহেতু GY, MS, CH, CH ঘটনাগুলিকে বিবেচনা করা হয়, যেগুলি সমানভাবে সম্ভাব্য এবং ইভেন্টগুলির একটি সম্পূর্ণ গোষ্ঠী তৈরি করে, তারপরে তাদের যে কোনও একটির উপস্থিতি একটি নির্ভরযোগ্য ঘটনা (আমরা এটিকে অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করি, যা সমস্ত 4 দ্বারা সহজতর হয়) ক্ষেত্রে। অতএব, সম্ভাবনা:

সুতরাং, সম্ভাব্যতার প্রথম সম্পত্তি নিশ্চিত করা হয়।

উত্তর

একটি ঘটনার সম্ভাবনা।

একটি ঘটনার সম্ভাবনা।

একটি ঘটনার সম্ভাবনা।

একটি ঘটনার সম্ভাবনা।

উদাহরণ 4

টাস্ক

একই এবং নিয়মিত জ্যামিতিক আকৃতির দুটি পাশা নিক্ষেপ করা হয়। উভয় পক্ষের সমস্ত সম্ভাব্য রাশির সম্ভাব্যতা খুঁজুন যা পড়ে।

সমাধান

সমস্যাটি সমাধান করা সহজ করার জন্য, কল্পনা করুন যে একটি ঘনক সাদা এবং অন্যটি কালো। প্রতিটির সাথে সাদা ডাই এর ছয় পাশে এবং কালো ডাই এর ছয় পাশের একটিও পড়ে যেতে পারে, তাই সম্ভাব্য সব জোড়া থাকবে।

যেহেতু আলাদা ডাইতে মুখের উপস্থিতির সম্ভাবনা একই (সঠিক জ্যামিতিক আকারের কিউবস!), তাহলে প্রতিটি জোড়া মুখের উপস্থিতির সম্ভাবনা একই হবে, উপরন্তু, টসিংয়ের ফলে, শুধুমাত্র জোড়ার একটি পড়ে যায়। ইভেন্ট মানগুলি বেমানান, অনন্য। এইগুলি কেস, এবং সম্ভাব্য 36 টি কেস আছে।

এখন মুখের উপর যোগফলের মানের সম্ভাবনা বিবেচনা করুন। স্পষ্টতই, ক্ষুদ্রতম যোগফল হল 1 + 1 = 2, এবং বৃহত্তমটি হল 6 + 6 = 12৷ বাকি যোগফল দ্বিতীয় থেকে শুরু করে এক দ্বারা বৃদ্ধি পায়৷ আসুন সেই ইভেন্টগুলি বোঝাই যার সূচকগুলি পাশার মুখে পড়ে থাকা পয়েন্টগুলির যোগফলের সমান। এই প্রতিটি ইভেন্টের জন্য, আমরা স্বরলিপি ব্যবহার করে অনুকূল কেস লিখি, যোগফল কোথায়, সাদা ডাইয়ের উপরের দিকের বিন্দুগুলি এবং কালো ডাইয়ের মুখের বিন্দুগুলি।

তাই একটি ইভেন্টের জন্য:

জন্য - একটি ক্ষেত্রে (1 + 1);

জন্য – দুটি ক্ষেত্রে (1 + 2; 2 + 1);

জন্য – তিনটি ক্ষেত্রে (1 + 3; 2 + 2; 3 + 1);

জন্য – চারটি ক্ষেত্রে (1 + 4; 2 + 3; 3 + 2; 4 + 1);

জন্য – পাঁচটি ক্ষেত্রে (1 + 5; 2 + 4; 3 + 3; 4 + 2; 5 + 1);

জন্য – ছয়টি ক্ষেত্রে (1 + 6; 2 + 5; 3 + 4; 4 + 3; 5 + 2; 6 + 1);

জন্য – পাঁচটি ক্ষেত্রে (2 + 6; 3 + 5; 4 + 4; 5 + 3; 6 + 2);

জন্য – চারটি ক্ষেত্রে (3 + 6; 4 + 5; 5 + 4; 6 + 3);

জন্য – তিনটি ক্ষেত্রে (4 + 6; 5 + 5; 6 + 4);

জন্য – দুটি ক্ষেত্রে (5 + 6; 6 + 5);

জন্য - একটি ক্ষেত্রে (6 + 6)।

সুতরাং সম্ভাব্যতা হল:

উত্তর

উদাহরণ 5

টাস্ক

উত্সবের আগে, তিনজন অংশগ্রহণকারীকে লট আঁকার প্রস্তাব দেওয়া হয়েছিল: প্রতিটি অংশগ্রহণকারী পালাক্রমে বালতির কাছে যায় এবং এলোমেলোভাবে 1, 2 এবং 3 নম্বর সহ তিনটি কার্ডের মধ্যে একটি বেছে নেয়, যার অর্থ এই অংশগ্রহণকারীর পারফরম্যান্সের ক্রমিক নম্বর।

এই ধরনের ঘটনার সম্ভাবনা খুঁজুন:

1) - সারিতে থাকা সিরিয়াল নম্বরটি কার্ড নম্বরের সাথে মিলে যায়, অর্থাৎ পারফরম্যান্সের ক্রমিক নম্বর;

2) - সারিতে থাকা কোন সংখ্যা পারফরম্যান্স নম্বরের সাথে মেলে না;

3) - সারিতে থাকা সংখ্যাগুলির মধ্যে একটি মাত্র পারফরম্যান্স নম্বরের সাথে মেলে;

4) – সারিতে থাকা নম্বরগুলির মধ্যে অন্তত একটি পারফরম্যান্স নম্বরের সাথে মেলে৷

সমাধান

কার্ড বাছাইয়ের সম্ভাব্য ফলাফল হল তিনটি উপাদানের পারমুটেশন, এই ধরনের পারমিউটেশনের সংখ্যা সমান। প্রতিটি স্থানান্তর একটি ঘটনা। আসুন এই ঘটনাগুলিকে হিসাবে চিহ্নিত করি। আমরা বন্ধনীতে প্রতিটি ইভেন্টে সংশ্লিষ্ট স্থানচ্যুতি বরাদ্দ করি:

; ; ; ; ; .

তালিকাভুক্ত ঘটনাগুলি সমানভাবে সম্ভব এবং অভিন্ন, অর্থাৎ এই ঘটনাগুলি। নিম্নরূপ নির্দেশ করুন: (1h, 2h, 3h) - সারিতে থাকা সংশ্লিষ্ট সংখ্যাগুলি।

ঘটনা দিয়ে শুরু করা যাক। অনুকূল শুধুমাত্র একটি ক্ষেত্রে, তাই:

ইভেন্টের জন্য অনুকূল দুটি ক্ষেত্রে এবং তাই:

ইভেন্টটি 3টি ক্ষেত্রে সহায়তা করে: , তাই:

এছাড়াও, ইভেন্টটি এতে অবদান রাখে, যা হল:

উত্তর

একটি ঘটনার সম্ভাবনা হল .

একটি ঘটনার সম্ভাবনা হল .

একটি ইভেন্টের সম্ভাবনা - আপডেট: সেপ্টেম্বর 15, 2017 দ্বারা: বৈজ্ঞানিক প্রবন্ধ.রু

সম্ভাব্যতা তত্ত্বের মৌলিক বিষয়

পরিকল্পনা:

1. এলোমেলো ঘটনা

2. সম্ভাব্যতার ক্লাসিক্যাল সংজ্ঞা

3. ইভেন্টের সম্ভাব্যতা এবং কম্বিনেটরিক্সের গণনা

4. জ্যামিতিক সম্ভাবনা

তাত্ত্বিক তথ্য

এলোমেলো ঘটনা।

এলোমেলো ঘটনা- একটি ঘটনা, যার ফলাফল দ্ব্যর্থহীনভাবে নির্ধারিত হয়। এই ধারণাটি মোটামুটি ব্যাপক অর্থে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। যথা: প্রকৃতির সবকিছুই বেশ আকস্মিক, যে কোনও ব্যক্তির চেহারা এবং জন্ম একটি এলোমেলো ঘটনা, একটি দোকানে পণ্য পছন্দ করাও একটি এলোমেলো ঘটনা, পরীক্ষায় নম্বর পাওয়া একটি এলোমেলো ঘটনা, অসুস্থতা এবং পুনরুদ্ধার এলোমেলো ঘটনা, ইত্যাদি

এলোমেলো ঘটনার উদাহরণ:

~ দিগন্তের একটি প্রদত্ত কোণে একটি বন্দুক সেট থেকে শুটিং করা হয়। এটিকে লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করা দুর্ঘটনাজনিত, তবে একটি নির্দিষ্ট "কাঁটাচামচ" এ একটি প্রজেক্টাইলকে আঘাত করা একটি প্যাটার্ন। আপনি যে দূরত্বের কাছাকাছি এবং তার বাইরে প্রক্ষিপ্তটি উড়বে না তা নির্দিষ্ট করতে পারেন। কিছু "খোলের কাঁটা বিচ্ছুরণ" পান

~ একই শরীরে কয়েকবার ওজন করা হয়। কঠোরভাবে বলতে গেলে, প্রতিবার ভিন্ন ফলাফল পাওয়া যাবে, যদিও সামান্য পরিমাণে ভিন্ন হলেও ভিন্ন।

~ একই রুটে উড়ে যাওয়া একটি বিমানের একটি নির্দিষ্ট ফ্লাইট করিডোর থাকে যার মধ্যে বিমানটি চালাতে পারে, কিন্তু এটির ঠিক একই রুট কখনই থাকবে না

~ একজন ক্রীড়াবিদ কখনই একই সময়ের সাথে একই দূরত্ব চালাতে সক্ষম হবে না। তার ফলাফলও হবে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার সীমার মধ্যে।

অভিজ্ঞতা, পরীক্ষা, পর্যবেক্ষণ হচ্ছে পরীক্ষা

বিচার- অন্যান্য অভিন্ন পরামিতিগুলি পর্যবেক্ষণ করার সময় এই এবং একই ক্রম, সময়কালের মধ্যে বারবার সঞ্চালিত এবং নিয়মিতভাবে পুনরাবৃত্তি করা হয় এমন একটি নির্দিষ্ট সেটের পর্যবেক্ষণ বা পূর্ণতা।

এর একটি লক্ষ্যে শট খেলা ক্রীড়াবিদ দ্বারা কর্মক্ষমতা বিবেচনা করা যাক. এটি তৈরি করার জন্য, অ্যাথলিটের প্রস্তুতি, অস্ত্র লোড করা, লক্ষ্য করা ইত্যাদির মতো শর্তগুলি পূরণ করা প্রয়োজন। "হিট" এবং "মিস" একটি শটের ফলস্বরূপ ঘটনা।

ঘটনা- গুণগত পরীক্ষার ফলাফল।

একটি ঘটনা ঘটতে পারে বা নাও হতে পারে ঘটনাগুলি বড় ল্যাটিন অক্ষর দ্বারা নির্দেশিত হয়। যেমন: D ="শুটার টার্গেট হিট"। S="সাদা বল টানা"। K="বিনা জয়ে এলোমেলো লটারির টিকিট।"

একটি মুদ্রা নিক্ষেপ একটি পরীক্ষা. তার "কোট অফ আর্মস" এর পতন একটি ঘটনা, তার "সংখ্যা" এর পতন দ্বিতীয় ঘটনা।

যেকোন পরীক্ষায় বেশ কিছু ঘটনা ঘটে থাকে। তাদের মধ্যে কিছু গবেষকের একটি নির্দিষ্ট সময়ে প্রয়োজন হতে পারে, অন্যদের প্রয়োজন নাও হতে পারে।

ঘটনাটিকে এলোমেলো বলা হয়, শর্ত একটি নির্দিষ্ট সেট বাস্তবায়ন অধীনে যদি এসএটা ঘটতে পারে বা ঘটতে পারে না। নিম্নলিখিতটিতে, "শর্তের সেট S পূরণ হয়েছে" বলার পরিবর্তে আমরা সংক্ষেপে বলব: "পরীক্ষা করা হয়েছিল।" সুতরাং, ঘটনাটি পরীক্ষার ফলাফল হিসাবে বিবেচিত হবে।

~ শ্যুটার চারটি এলাকায় বিভক্ত লক্ষ্যবস্তুতে গুলি করে। শট একটি পরীক্ষা. টার্গেটের একটি নির্দিষ্ট এলাকায় আঘাত করা একটি ঘটনা।

~ কলসে রঙিন বল আছে। একটি বল মল থেকে এলোমেলোভাবে টানা হয়। একটি কলস থেকে একটি বল অপসারণ একটি পরীক্ষা. একটি নির্দিষ্ট রঙের বলের চেহারা একটি ঘটনা।

এলোমেলো ইভেন্টের প্রকার

1. ঘটনাগুলি বেমানান বলা হয়যদি তাদের মধ্যে একটির ঘটনা একই বিচারে অন্যান্য ঘটনার সংঘটন বাদ দেয়।

~ অংশ সহ একটি বাক্স থেকে এলোমেলোভাবে একটি অংশ নেওয়া হয়েছিল। একটি আদর্শ অংশের উপস্থিতি একটি অ-মানক অংশের চেহারা বাদ দেয়। ইভেন্ট € একটি আদর্শ অংশ উপস্থিত হয়েছে" এবং একটি অ-মানক অংশ উপস্থিত হয়েছে" - বেমানান৷

~ একটি মুদ্রা নিক্ষেপ করা হয়। "হাতের কোট" এর চেহারা শিলালিপির চেহারা বাদ দেয়। "অস্ত্রের কোট উপস্থিত হয়েছে" এবং "একটি শিলালিপি উপস্থিত হয়েছে" ঘটনাগুলি বেমানান৷

বেশ কিছু ঘটনা তৈরি হয় পুরো দল,যদি তাদের মধ্যে অন্তত একটি পরীক্ষার ফলাফল হিসাবে উপস্থিত হয়। অন্য কথায়, সম্পূর্ণ গোষ্ঠীর অন্তত একটি ঘটনার সংঘটন একটি নির্দিষ্ট ঘটনা।

বিশেষ করে, যদি একটি সম্পূর্ণ গোষ্ঠী গঠন করে এমন ঘটনাগুলি যুগলভাবে বেমানান হয়, তাহলে পরীক্ষার ফলাফল হিসাবে এই ইভেন্টগুলির মধ্যে একটি এবং শুধুমাত্র একটি উপস্থিত হবে৷ এই বিশেষ কেসটি আমাদের কাছে সবচেয়ে বেশি আগ্রহের বিষয়, যেহেতু এটি নীচে ব্যবহার করা হয়েছে৷

~ টাকা এবং জামাকাপড় লটারির দুটি টিকিট কেনা হয়েছে। নিম্নলিখিত ইভেন্টগুলির মধ্যে একটি এবং শুধুমাত্র একটি ঘটতে হবে:

1. "জয় প্রথম টিকিটে পড়েছে এবং দ্বিতীয়টিতে পড়েনি",

2. "জয় প্রথম টিকিটে পড়েনি এবং দ্বিতীয়টিতে পড়েছিল",

3. "উভয় টিকিটে জয়ী হয়েছে",

4. "উভয় টিকেটই জেতেনি।"

এই ইভেন্টগুলি জোড়ার মতো বেমানান ইভেন্টগুলির একটি সম্পূর্ণ গোষ্ঠী গঠন করে,

~ বন্দুকধারী লক্ষ্য করে একটি গুলি ছুড়েছে। নিম্নলিখিত দুটি ইভেন্টের মধ্যে একটি ঘটবে নিশ্চিত: আঘাত, মিস। এই দুটি বিচ্ছিন্ন ঘটনাও একটি সম্পূর্ণ দল গঠন করে।

2. ঘটনা বলা হয় সমানভাবে সম্ভবযদি বিশ্বাস করার কারণ থাকে যে কোনটিই অন্যটির চেয়ে বেশি সম্ভব নয়।

~ একটি "অস্ত্রের আবরণ" এর চেহারা এবং একটি শিলালিপির উপস্থিতি যখন একটি মুদ্রা নিক্ষেপ করা হয় একইভাবে সম্ভাব্য ঘটনা। প্রকৃতপক্ষে, এটি অনুমান করা হয় যে মুদ্রাটি একটি সমজাতীয় উপাদান দিয়ে তৈরি, একটি নিয়মিত নলাকার আকৃতি রয়েছে এবং একটি মুদ্রার উপস্থিতি মুদ্রার এক বা অন্য দিকের ক্ষতিকে প্রভাবিত করে না।

~ একটি নিক্ষিপ্ত পাশায় এক বা অন্য সংখ্যক বিন্দুর উপস্থিতি একটি সমান সম্ভাব্য ঘটনা। প্রকৃতপক্ষে, এটা অনুমান করা হয় ছক্কাএকটি সমজাতীয় উপাদান দিয়ে তৈরি, একটি নিয়মিত পলিহেড্রনের আকৃতি রয়েছে এবং চশমার উপস্থিতি কোনও মুখের ক্ষতিকে প্রভাবিত করে না।

3. ঘটনা বলা হয় খাঁটি,যদি এটি ঘটতে না পারে

4. ঘটনা বলা হয় নির্ভরযোগ্য নাযদি এটি ঘটতে না পারে।

5. ঘটনা বলা হয় বিপরীতকিছু ইভেন্টে যদি এটি প্রদত্ত ইভেন্টের অ-ঘটনা নিয়ে থাকে। বিপরীত ঘটনাগুলি সামঞ্জস্যপূর্ণ নয়, তবে তাদের মধ্যে একটি অবশ্যই ঘটতে হবে। বিপরীত ঘটনাগুলিকে সাধারণত অস্বীকার হিসাবে উল্লেখ করা হয়, যেমন চিঠির উপরে একটি ড্যাশ লেখা আছে। ঘটনাগুলি বিপরীত: A এবং Ā; U এবং Ū, ইত্যাদি .

সম্ভাব্যতার শাস্ত্রীয় সংজ্ঞা

সম্ভাব্যতা হল সম্ভাব্যতা তত্ত্বের মৌলিক ধারণাগুলির মধ্যে একটি।

এই ধারণার বিভিন্ন সংজ্ঞা আছে। আসুন একটি সংজ্ঞা দিই যাকে ক্লাসিক্যাল বলা হয়। পরবর্তী, আমরা ইঙ্গিত দুর্বলতাএই সংজ্ঞা এবং আমরা অন্যান্য সংজ্ঞা দিই যা আমাদের ক্লাসিক্যাল সংজ্ঞার ত্রুটিগুলি কাটিয়ে উঠতে দেয়।

পরিস্থিতি বিবেচনা করুন: একটি বাক্সে 6টি অভিন্ন বল রয়েছে, 2টি লাল, 3টি নীল এবং 1টি সাদা। স্পষ্টতই, একটি কলস থেকে এলোমেলোভাবে একটি রঙিন (অর্থাৎ, লাল বা নীল) বল আঁকার সম্ভাবনা একটি সাদা বল আঁকার সম্ভাবনার চেয়ে বেশি। এই সম্ভাবনাটিকে একটি সংখ্যা দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে, যাকে একটি ঘটনার সম্ভাব্যতা (একটি রঙিন বলের উপস্থিতি) বলা হয়।

সম্ভাবনা- একটি সংখ্যা যা ঘটনা ঘটার সম্ভাবনার মাত্রা চিহ্নিত করে।

বিবেচনাধীন পরিস্থিতিতে, আমরা নির্দেশ করি:

ইভেন্ট A = "একটি রঙিন বল বের করা"।

পরীক্ষার প্রতিটি সম্ভাব্য ফলাফলকে (পরীক্ষায় কলশি থেকে একটি বল বের করা হয়) বলা হয় প্রাথমিক (সম্ভাব্য) ফলাফল এবং ঘটনা।প্রাথমিক ফলাফলগুলি নীচের সূচী সহ অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ: k 1 , k 2।

আমাদের উদাহরণে, 6টি বল আছে, তাই 6টি সম্ভাব্য ফলাফল রয়েছে: একটি সাদা বল উপস্থিত হয়েছে; একটি লাল বল হাজির; একটি নীল বল হাজির, এবং তাই। এটা দেখা সহজ যে এই ফলাফলগুলি জোড়ার মতো অসঙ্গতিপূর্ণ ঘটনাগুলির একটি সম্পূর্ণ গোষ্ঠী গঠন করে (কেবলমাত্র একটি বল অগত্যা উপস্থিত হবে) এবং তারা সমানভাবে সম্ভাব্য (বলটি এলোমেলোভাবে নেওয়া হয়, বলগুলি একই এবং পুঙ্খানুপুঙ্খভাবে মিশ্রিত)।

প্রাথমিক ফলাফল, যেখানে আমাদের আগ্রহের ঘটনা ঘটে, আমরা কল করব অনুকূল ফলাফলএই ঘটনা. আমাদের উদাহরণে, ঘটনাটি অনুকূল হয় ক(একটি রঙিন বলের চেহারা) নিম্নলিখিত 5টি ফলাফল:

এভাবেই ঘটনা কপর্যবেক্ষণ করা হয়েছে যদি পরীক্ষায় ঘটে থাকে, প্রাথমিক ফলাফলের যেটি অনুকূলে থাকুক না কেন ক.এটি যে কোনও রঙিন বলের চেহারা, যার মধ্যে বক্সে 5 টি টুকরো রয়েছে

প্রাথমিক ফলাফলের বিবেচিত উদাহরণে 6; যার মধ্যে ৫টি ইভেন্টের পক্ষে ক.তাই, P(A)= 5/6। এই সংখ্যাটি একটি রঙিন বলের উপস্থিতির সম্ভাবনার মাত্রার পরিমাণ দেয়।

সম্ভাব্যতার সংজ্ঞা:

ঘটনার সম্ভাবনা Aএই ইভেন্টের অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা এবং একটি সম্পূর্ণ গোষ্ঠী গঠনকারী সমস্ত সমানভাবে সম্ভাব্য বেমানান প্রাথমিক ফলাফলের মোট সংখ্যার অনুপাত।

P(A)=m/n বা P(A)=m: n, যেখানে:

m হল প্রাথমিক ফলাফলের সংখ্যা যা পছন্দ করে ক;

পৃ- পরীক্ষার সমস্ত সম্ভাব্য প্রাথমিক ফলাফলের সংখ্যা।

এখানে অনুমান করা হয় যে প্রাথমিক ফলাফলগুলি বেমানান, সমানভাবে সম্ভাব্য এবং একটি সম্পূর্ণ গোষ্ঠী গঠন করে।

নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি সম্ভাব্যতার সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে:

1. একটি নির্দিষ্ট ঘটনার সম্ভাবনা একের সমান।

প্রকৃতপক্ষে, যদি ঘটনাটি নির্ভরযোগ্য হয়, তাহলে পরীক্ষার প্রতিটি প্রাথমিক ফলাফল ইভেন্টের পক্ষে। এক্ষেত্রে m = nতাই p=1

2. একটি অসম্ভব ঘটনার সম্ভাবনা শূন্য।

প্রকৃতপক্ষে, যদি ঘটনাটি অসম্ভব হয়, তাহলে বিচারের প্রাথমিক ফলাফলগুলির কোনটিই ইভেন্টের পক্ষে নয়। এই ক্ষেত্রে m=0, তাই p=0।

3.একটি এলোমেলো ঘটনার সম্ভাবনা হল শূন্য এবং একের মধ্যে একটি ধনাত্মক সংখ্যা৷ 0টি< n.

পরবর্তী বিষয়গুলিতে, উপপাদ্যগুলি দেওয়া হবে যা কিছু ইভেন্টের পরিচিত সম্ভাব্যতা থেকে অন্যান্য ঘটনার সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করার অনুমতি দেয়।

মাপা. ছাত্রদের দলে 6 জন মেয়ে এবং 4 জন ছেলে রয়েছে। এলোমেলোভাবে নির্বাচিত ছাত্রের মেয়ে হওয়ার সম্ভাবনা কত? এটা কি যুবক হবে?

p dev = 6 / 10 = 0.6 p জুন = 4 / 10 = 0.4

সম্ভাব্যতা তত্ত্বের আধুনিক কঠোর কোর্সে "সম্ভাব্যতা" ধারণাটি একটি সেট-তাত্ত্বিক ভিত্তিতে নির্মিত। আসুন এই পদ্ধতির কিছু কটাক্ষপাত করা যাক.

ধরুন যে পরীক্ষার ফলস্বরূপ নিম্নলিখিত ঘটনাগুলির মধ্যে একটি এবং শুধুমাত্র একটি ঘটে: w i(i=1, 2, .... n)। ঘটনা w i, বলা হয় প্রাথমিক ঘটনা (প্রাথমিক ফলাফল)। ওএটি অনুসরণ করে যে প্রাথমিক ঘটনাগুলি যুগলভাবে বেমানান। একটি বিচারে উপস্থিত হতে পারে এমন সমস্ত প্রাথমিক ঘটনার সেটকে বলা হয় প্রাথমিক ঘটনা স্থানΩ (গ্রীক অক্ষর ওমেগা ক্যাপিটাল), এবং প্রাথমিক ঘটনা নিজেই - এই স্থান পয়েন্ট..

ঘটনা কএকটি উপসেট (স্পেস Ω) দিয়ে চিহ্নিত করা হয়েছে যার উপাদানগুলি প্রাথমিক ফলাফলগুলি অনুকূল ক;ঘটনা ভিএকটি উপসেট Ω যার উপাদানগুলি ফলাফলগুলিকে অনুকূল করে ভি,ইত্যাদি। এইভাবে, পরীক্ষায় ঘটতে পারে এমন সমস্ত ঘটনার সেট হল Ω এর সমস্ত উপসেটের সেট। Ω নিজেই পরীক্ষার যেকোনো ফলাফলের জন্য ঘটে, তাই Ω একটি নির্দিষ্ট ঘটনা; স্থানের একটি খালি উপসেট Ω একটি -অসম্ভব ঘটনা (এটি পরীক্ষার কোনো ফলাফলের জন্য ঘটে না)।

প্রাথমিক ইভেন্টগুলিকে বিষয় অনুসারে সমস্ত ইভেন্টের মধ্যে আলাদা করা হয়, "এগুলির প্রতিটিতে শুধুমাত্র একটি উপাদান থাকে Ω

প্রতিটি প্রাথমিক ফলাফলের জন্য w iএকটি ইতিবাচক সংখ্যা মেলে p iএই ফলাফলের সম্ভাব্যতা, এবং সকলের যোগফল p i 1 এর সমান বা যোগফলের চিহ্ন সহ, এই সত্যটি একটি অভিব্যক্তি হিসাবে লেখা হবে:

সংজ্ঞা অনুসারে, সম্ভাবনা P(A)ঘটনা কপ্রাথমিক ফলাফলের পক্ষে সম্ভাব্যতার সমষ্টির সমান ক.অতএব, একটি নির্দিষ্ট ঘটনার সম্ভাবনা একের সমান, অসম্ভব - শূন্য থেকে, নির্বিচারে - শূন্য এবং একের মধ্যে।

আমাদের একটি গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক, যখন সমস্ত ফলাফল সমানভাবে সম্ভাব্য। ফলাফলের সংখ্যা n এর সমান, সমস্ত ফলাফলের সম্ভাব্যতার যোগফল একের সমান; তাই প্রতিটি ফলাফলের সম্ভাবনা 1/n। অনুষ্ঠান হোক ক m ফলাফলের পক্ষে।

ইভেন্ট সম্ভাবনা কঅনুকূল ফলাফলের সম্ভাব্যতার সমষ্টির সমান ক:

P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1

সম্ভাব্যতার শাস্ত্রীয় সংজ্ঞা পাওয়া যায়।

এখনও আছে স্বতঃসিদ্ধ"সম্ভাব্যতা" ধারণার প্রতি দৃষ্টিভঙ্গি। প্রস্তাবিত স্বতঃসিদ্ধ ব্যবস্থায়। Kolmogorov A.N., অনির্ধারিত ধারণা হল প্রাথমিক ঘটনা এবং সম্ভাব্যতা। একটি যৌক্তিকভাবে সম্পূর্ণ সম্ভাব্যতা তত্ত্বের নির্মাণ একটি এলোমেলো ঘটনার স্বতঃসিদ্ধ সংজ্ঞা এবং এর সম্ভাব্যতার উপর ভিত্তি করে।

এখানে স্বতঃসিদ্ধ রয়েছে যা সম্ভাব্যতাকে সংজ্ঞায়িত করে:

1. প্রতিটি ঘটনা কএকটি অ নেতিবাচক বাস্তব সংখ্যা বরাদ্দ করা হয়েছে P(A)।এই সংখ্যাটিকে ইভেন্টের সম্ভাব্যতা বলা হয়। ক.

2. একটি নির্দিষ্ট ঘটনার সম্ভাবনা একের সমান:

3. পেয়ারওয়াইজ বেমানান ইভেন্টগুলির মধ্যে অন্তত একটি হওয়ার সম্ভাবনা এই ইভেন্টগুলির সম্ভাব্যতার সমষ্টির সমান।

এই স্বতঃসিদ্ধগুলির উপর ভিত্তি করে, তাদের মধ্যে সম্পর্কের জন্য সম্ভাব্যতার বৈশিষ্ট্যগুলি উপপাদ্য হিসাবে উদ্ভূত হয়।

সংক্ষিপ্ত তত্ত্ব

ঘটনাগুলির সংঘটনের সম্ভাবনার মাত্রা অনুসারে পরিমাণগত তুলনা করার জন্য, একটি সংখ্যাসূচক পরিমাপ চালু করা হয়, যাকে একটি ঘটনার সম্ভাব্যতা বলা হয়। একটি এলোমেলো ঘটনার সম্ভাবনাএকটি সংখ্যা বলা হয়, যা একটি ঘটনার সংঘটনের উদ্দেশ্যমূলক সম্ভাবনার পরিমাপের একটি অভিব্যক্তি।

একটি ইভেন্টের সংঘটনের উপর গণনা করার জন্য উদ্দেশ্যমূলক ভিত্তিগুলি কতটা তাৎপর্যপূর্ণ তা নির্ধারণ করে এমন মানগুলি ইভেন্টের সম্ভাব্যতা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এটি অবশ্যই জোর দেওয়া উচিত যে সম্ভাব্যতা হল একটি বস্তুগত পরিমাণ যা কগনিজার থেকে স্বাধীনভাবে বিদ্যমান এবং পরিস্থিতির সামগ্রিকতা দ্বারা শর্তযুক্ত যা একটি ঘটনার সংঘটনে অবদান রাখে।

সম্ভাব্যতার ধারণার যে ব্যাখ্যাগুলো আমরা দিয়েছি সেগুলো কোনো গাণিতিক সংজ্ঞা নয়, কারণ তারা এই ধারণাটিকে পরিমাণগতভাবে সংজ্ঞায়িত করে না। একটি এলোমেলো ঘটনার সম্ভাব্যতার বেশ কয়েকটি সংজ্ঞা রয়েছে, যা নির্দিষ্ট সমস্যা সমাধানে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় (শাস্ত্রীয়, স্বতঃসিদ্ধ, পরিসংখ্যানগত, ইত্যাদি)।

একটি ঘটনার সম্ভাব্যতার শাস্ত্রীয় সংজ্ঞাএই ধারণাটিকে সমানভাবে সম্ভাব্য ঘটনাগুলির আরও প্রাথমিক ধারণায় হ্রাস করে, যা আর সংজ্ঞার বিষয় নয় এবং অনুমান করা হয় স্বজ্ঞাতভাবে পরিষ্কার। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি পাশা একটি সমজাতীয় ঘনক হয়, তাহলে এই ঘনকের মুখগুলির যে কোনো একটির পতন সমানভাবে সম্ভাব্য ঘটনা হবে।

একটি নির্দিষ্ট ঘটনাকে সমানভাবে সম্ভাব্য ক্ষেত্রে বিভক্ত করা যাক, যার যোগফল ঘটনাটি দেয়। অর্থাৎ, যে মামলাগুলি থেকে এটি ভেঙে যায়, সেগুলিকে ইভেন্টের জন্য অনুকূল বলা হয়, যেহেতু তাদের মধ্যে একটির উপস্থিতি আক্রমণাত্মক নিশ্চিত করে।

একটি ইভেন্টের সম্ভাবনা প্রতীক দ্বারা চিহ্নিত করা হবে।

একটি ইভেন্টের সম্ভাব্যতা তার পক্ষে অনুকূল মামলার সংখ্যার অনুপাতের সমান, অনন্য, সমানভাবে সম্ভব এবং বেমানান মামলার মোট সংখ্যার মধ্যে, সংখ্যার সাথে, অর্থাৎ

এটি সম্ভাব্যতার শাস্ত্রীয় সংজ্ঞা। সুতরাং, একটি ঘটনার সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করার জন্য, পরীক্ষার বিভিন্ন ফলাফল বিবেচনা করার পরে, একমাত্র সম্ভাব্য, সমানভাবে সম্ভব এবং বেমানান কেসের একটি সেট খুঁজে বের করার জন্য, তাদের মোট সংখ্যা n, কেসের সংখ্যা গণনা করা প্রয়োজন। m যে এই ইভেন্টের পক্ষে, এবং তারপর উপরোক্ত সূত্র অনুযায়ী গণনা সঞ্চালন.

অভিজ্ঞতার ফলাফলের সংখ্যা এবং অভিজ্ঞতার মোট ফলাফলের সংখ্যার অনুপাতের অনুপাতে একটি ঘটনার সম্ভাবনাকে বলা হয় শাস্ত্রীয় সম্ভাবনাএলোমেলো ঘটনা।

সম্ভাব্যতার নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি সংজ্ঞা থেকে অনুসরণ করে:

বৈশিষ্ট্য 1. একটি নির্দিষ্ট ঘটনার সম্ভাবনা একের সমান।

সম্পত্তি 2. একটি অসম্ভব ঘটনার সম্ভাবনা শূন্য।

বৈশিষ্ট্য 3. একটি এলোমেলো ঘটনার সম্ভাবনা হল শূন্য এবং একের মধ্যে একটি ধনাত্মক সংখ্যা।

বৈশিষ্ট্য 4. একটি সম্পূর্ণ গোষ্ঠী গঠন করে এমন ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা একের সমান।

বৈশিষ্ট্য 5. বিপরীত ঘটনার সংঘটনের সম্ভাবনা একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় ঘটনা A ঘটার সম্ভাবনার মতো।

বিপরীত ঘটনার সংঘটনের পক্ষে থাকা ঘটনার সংখ্যা। সুতরাং, বিপরীত ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা একতা এবং ঘটনা A ঘটার সম্ভাবনার মধ্যে পার্থক্যের সমান:

একটি ঘটনার সম্ভাব্যতার শাস্ত্রীয় সংজ্ঞার একটি গুরুত্বপূর্ণ সুবিধা হল যে এর সাহায্যে একটি ঘটনার সম্ভাব্যতা অভিজ্ঞতার আশ্রয় না নিয়ে, কিন্তু যৌক্তিক যুক্তির ভিত্তিতে নির্ধারণ করা যেতে পারে।

শর্তের একটি সেট পূরণ হলে, একটি নির্দিষ্ট ঘটনা অবশ্যই ঘটবে, এবং অসম্ভব অবশ্যই ঘটবে না। ঘটনাগুলির মধ্যে, যখন জটিল অবস্থার সৃষ্টি হয়, ঘটতে পারে বা নাও হতে পারে, কিছুর উপস্থিতি বেশি কারণের সাথে, অন্যের উপস্থিতির উপর কম কারণের উপর নির্ভর করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি কলসে কালো বলের চেয়ে বেশি সাদা বল থাকে, তাহলে কালো বলের চেয়ে এলোমেলোভাবে মল থেকে বের করে আনা হলে সাদা বলের আবির্ভাব আশা করার আরও কারণ আছে।

সমস্যা সমাধানের উদাহরণ

উদাহরণ 1

একটি বাক্সে 8টি সাদা, 4টি কালো এবং 7টি লাল বল থাকে। 3 বল এলোমেলোভাবে আঁকা হয়। নিম্নলিখিত ইভেন্টগুলির সম্ভাব্যতাগুলি খুঁজুন: - কমপক্ষে 1টি লাল বল আঁকা হয়েছে, - একই রঙের কমপক্ষে 2টি বল আছে, - কমপক্ষে 1টি লাল এবং 1টি সাদা বল রয়েছে৷

সমস্যার সমাধান

আমরা পরীক্ষার ফলাফলের মোট সংখ্যা 19টি (8 + 4 + 7) উপাদানের 3টির সমন্বয়ের সংখ্যা হিসাবে খুঁজে পাই:

একটি ইভেন্টের সম্ভাবনা খুঁজুন- কমপক্ষে 1টি লাল বল (1,2 বা 3টি লাল বল) আঁকা

প্রয়োজনীয় সম্ভাবনা:

অনুষ্ঠান হোক- একই রঙের কমপক্ষে 2টি বল আছে (2 বা 3টি সাদা বল, 2 বা 3টি কালো বল এবং 2 বা 3টি লাল বল)

ইভেন্টের পক্ষে ফলাফলের সংখ্যা:

প্রয়োজনীয় সম্ভাবনা:

অনুষ্ঠান হোক- অন্তত একটি লাল এবং একটি সাদা বল আছে

(1 লাল, 1 সাদা, 1 কালো বা 1 লাল, 2 সাদা বা 2 লাল, 1 সাদা)

ইভেন্টের পক্ষে ফলাফলের সংখ্যা:

প্রয়োজনীয় সম্ভাবনা:

উত্তর: P(A)=0.773;P(C)=0.7688; P(D)=0.6068

উদাহরণ 2

দুটি পাশা নিক্ষেপ করা হয়। পয়েন্টের যোগফল কমপক্ষে 5 হওয়ার সম্ভাবনা খুঁজে বের করুন।

সমাধান

ইভেন্টটি পয়েন্টের সমষ্টি 5 এর কম নয়

আসুন সম্ভাব্যতার শাস্ত্রীয় সংজ্ঞা ব্যবহার করি:

সম্ভাব্য পরীক্ষার ফলাফলের মোট সংখ্যা

ট্রায়ালের সংখ্যা যা আমাদের আগ্রহের ঘটনাকে সমর্থন করে

প্রথম ডাইসের বাদ দেওয়া মুখে, এক পয়েন্ট, দুই পয়েন্ট..., ছয় পয়েন্ট দেখা যেতে পারে। একইভাবে, দ্বিতীয় ডাই রোলে ছয়টি ফলাফল সম্ভব। প্রথম ডাইয়ের প্রতিটি ফলাফল দ্বিতীয়টির প্রতিটি ফলাফলের সাথে মিলিত হতে পারে। এইভাবে, পরীক্ষার সম্ভাব্য প্রাথমিক ফলাফলের মোট সংখ্যা পুনরাবৃত্তি সহ বসানো সংখ্যার সমান (ভলিউম 6 এর সেট থেকে 2টি উপাদানের বসানো সহ নির্বাচন):

বিপরীত ঘটনার সম্ভাব্যতা খুঁজুন - পয়েন্টের যোগফল 5 এর কম

বাদ দেওয়া পয়েন্টগুলির নিম্নলিখিত সংমিশ্রণগুলি ইভেন্টের পক্ষে হবে:

№

১ম হাড়

২য় হাড়

1

1

1

2

1

2

3

2

1

4

3

1

5

1

3

সম্ভাব্যতার জ্যামিতিক সংজ্ঞা উপস্থাপন করা হয়েছে এবং সুপরিচিত বৈঠক সমস্যার সমাধান দেওয়া হয়েছে।

3) P (Æ )=0।

যা দেওয়া হয়েছে আমরা বলব সম্ভাবনার স্থান, যদি প্রাথমিক ফলাফলের স্থান9 দেওয়া হয় এবং চিঠিপত্র

w i ® P(w i ) =Pi।

প্রশ্ন উঠছে: সমস্যার সমাধান হওয়ার নির্দিষ্ট অবস্থা থেকে পৃথক প্রাথমিক ফলাফলের সম্ভাব্যতা P (w i ) কীভাবে নির্ধারণ করা যায়?

সম্ভাব্যতার ক্লাসিক সংজ্ঞা।

সম্ভাব্যতা P (w i ) একটি অগ্রাধিকার পদ্ধতি ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে, যা একটি প্রদত্ত পরীক্ষার নির্দিষ্ট শর্ত বিশ্লেষণ করে (পরীক্ষার আগে)।

একটি পরিস্থিতি সম্ভব যখন প্রাথমিক ফলাফলের স্থান প্রাথমিক ফলাফলের একটি সসীম সংখ্যা N নিয়ে গঠিত এবং একটি এলোমেলো পরীক্ষা এমন হয় যে এই প্রতিটি N প্রাথমিক ফলাফলের সম্ভাব্যতা সমান বলে মনে হয়। এই ধরনের এলোমেলো পরীক্ষার উদাহরণ হল: একটি প্রতিসম মুদ্রা ছুঁড়ে ফেলা, একটি নিয়মিত পাশা নিক্ষেপ করা, এলোমেলোভাবে একটি এলোমেলো ডেক থেকে একটি প্লেয়িং কার্ড সরানো। প্রবর্তিত স্বতঃসিদ্ধের ভিত্তিতে, প্রতিটি প্রাথমিকের সম্ভাব্যতা

এই ক্ষেত্রে ফলাফল N এর সমান। এটি থেকে এটি অনুসরণ করে যে যদি ঘটনা A-তে N A প্রাথমিক ফলাফল থাকে, তবে সংজ্ঞা অনুসারে (*)

P(A) = A

এই শ্রেণীর পরিস্থিতিতে, একটি ইভেন্টের সম্ভাব্যতা সমস্ত সম্ভাব্য ফলাফলের মোট সংখ্যার অনুকূল ফলাফলের সংখ্যার অনুপাত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

উদাহরণ। 10টি অভিন্ন চেহারার বৈদ্যুতিক বাতি সমন্বিত একটি সেট থেকে, যার মধ্যে 4টি ত্রুটিপূর্ণ, 5টি বাতি এলোমেলোভাবে নির্বাচন করা হয়েছে৷ নির্বাচিত ল্যাম্পগুলির মধ্যে 2টি ত্রুটিপূর্ণ থাকার সম্ভাবনা কত?

প্রথমত, আমরা লক্ষ্য করি যে যে কোনও পাঁচটি বাতির পছন্দের একই সম্ভাবনা রয়েছে। মোট, এই ধরনের পাঁচটি তৈরি করার জন্য C 10 5 উপায় রয়েছে, অর্থাৎ, এই ক্ষেত্রে একটি এলোমেলো পরীক্ষায় C 10 5 সমান ফলাফল রয়েছে।

এই ফলাফলগুলির মধ্যে কতগুলি শর্ত পূরণ করে "পাঁচটিতে দুটি ত্রুটিপূর্ণ বাতি আছে", অর্থাৎ, কতগুলি ফলাফল আমাদের আগ্রহের ঘটনার অন্তর্গত?

আমরা আগ্রহী প্রতিটি পাঁচটি নিম্নরূপ রচনা করা যেতে পারে: দুটি ত্রুটিপূর্ণ বাতি চয়ন করুন, যা C 4 2 এর সমান বিভিন্ন উপায়ে করা যেতে পারে। ত্রুটিপূর্ণ বাতি প্রতিটি জোড়া যতবার ঘটতে পারে তিনটি অ-ত্রুটিপূর্ণ বাতি দিয়ে এটি পরিপূরক করার উপায় আছে, অর্থাৎ 6 3 বার। দেখা যাচ্ছে যে পাঁচটি সংখ্যা দুটি রয়েছে

সম্ভাব্যতার পরিসংখ্যানগত সংজ্ঞা।

একটি এলোমেলো পরীক্ষা বিবেচনা করুন যেখানে একটি অ-সমজাতীয় উপাদান দিয়ে তৈরি একটি পাশা নিক্ষেপ করা হয়। এর মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্র জ্যামিতিক কেন্দ্রে নেই। এই ক্ষেত্রে, আমরা ফলাফলগুলিকে (এক, দুই, ইত্যাদি) সমানভাবে সম্ভাব্য বিবেচনা করতে পারি না। এটি পদার্থবিদ্যা থেকে জানা যায় যে হাড়টি প্রায়শই মুখের উপর পড়বে যা মাধ্যাকর্ষণ কেন্দ্রের কাছাকাছি থাকে। পাওয়ার সম্ভাবনা কিভাবে নির্ধারণ করবেন, উদাহরণস্বরূপ, তিনটি পয়েন্ট? আপনি যা করতে পারেন তা হল n বার ডাই টস করা (যেখানে n যথেষ্ট বড় সংখ্যা, বলুন n=1000 বা n=5000), তিনটি n 3 এর রোলের সংখ্যা গণনা করুন এবং তিনটি রোল ফলাফলের সম্ভাব্যতা হিসাবে গণনা করুন n 3 /n - তিনটি পয়েন্ট পাওয়ার আপেক্ষিক ফ্রিকোয়েন্সি। একইভাবে, আপনি অবশিষ্ট প্রাথমিক ফলাফলের সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করতে পারেন - এক, দুই, চার, ইত্যাদি। তাত্ত্বিকভাবে, কর্মের এই কোর্সটি প্রবর্তনের দ্বারা ন্যায়সঙ্গত হতে পারে সম্ভাব্যতার পরিসংখ্যানগত সংজ্ঞা.

সম্ভাব্যতা P(M i ) কে এলোমেলো পরীক্ষার সংখ্যা সীমাহীন বৃদ্ধির প্রক্রিয়ায় M i ফলাফলের সংঘটনের আপেক্ষিক কম্পাঙ্কের সীমা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, অর্থাৎ

P i = P (M i ) = lim m n ( M i ) , n ®¥n

যেখানে m n (M i ) হল এলোমেলো পরীক্ষার সংখ্যা (সম্পাদিত এলোমেলো পরীক্ষার মোট সংখ্যা n এর মধ্যে) যেখানে একটি প্রাথমিক ফলাফল M i নিবন্ধিত হয়েছে।

যেহেতু এখানে কোনো প্রমাণ দেওয়া হয়নি, তাই আমরা শুধুমাত্র আশা করতে পারি যে জীবনের অভিজ্ঞতা এবং অন্তর্দৃষ্টি দিয়ে আশাকে ন্যায্যতা দিয়ে শেষ সূত্রে সীমা বিদ্যমান।

জ্যামিতিক সম্ভাবনা

একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, আসুন ফলাফলের একটি অগণিত সেট সহ একটি এলোমেলো পরীক্ষার জন্য একটি ঘটনার সম্ভাব্যতা সংজ্ঞায়িত করি।

যদি একটি এলোমেলো পরীক্ষার প্রাথমিক ফলাফলের সেট W এবং কিছু ফ্ল্যাট চিত্র S (বড় সিগমা) এর বিন্দুগুলির সেটের মধ্যে একটি এক থেকে এক চিঠিপত্র স্থাপন করা যেতে পারে, এবং একটি এক থেকে এক চিঠিপত্রের মধ্যেও প্রতিষ্ঠিত হতে পারে প্রাথমিক ফলাফলের সেট যা ইভেন্ট A এবং একটি সমতল চিত্র I (ছোট সিগমা) এর বিন্দুগুলির সেট, যা চিত্র S এর অংশ, তারপর

P(A) = S,

যেখানে s চিত্র s এর ক্ষেত্রফল, S চিত্র S এর ক্ষেত্রফল।

উদাহরণ। 12 থেকে 13 ঘন্টা খোলা থাকা ডাইনিং রুমে দু'জন লোক দুপুরের খাবার খায়। তাদের প্রত্যেকে একটি এলোমেলো সময়ে আসে এবং 10 মিনিটের জন্য লাঞ্চ করে। তাদের মিলনের সম্ভাবনা কতটুকু?

x ক্যান্টিনে প্রথমটির আগমনের সময় হোক, দ্বিতীয়টির আগমনের সময় হোক

£12 x £13; £12y £13।

সমস্ত জোড়া সংখ্যার (x ;y ) (বা ফলাফলের একটি সেট) এবং স্থানাঙ্ক সমতলে 1 এর সমান পাশ বিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের বিন্দুর সেটের মধ্যে এক থেকে এক চিঠিপত্র স্থাপন করা সম্ভব, যেখানে উত্স x-অক্ষে এবং y-অক্ষের 12 নম্বরের সাথে মিলে যায়, যেমনটি চিত্র 6-এ দেখানো হয়েছে। এখানে, উদাহরণস্বরূপ, বিন্দু A ফলাফলের সাথে মিলে যায়, যার মধ্যে রয়েছে যে প্রথমটি 12.30 এ এসেছিল এবং দ্বিতীয় - 13.00 এ। এই ক্ষেত্রে, স্পষ্টতই

মিটিং সঞ্চালিত হয়নি.

যদি প্রথমটি দ্বিতীয়টির (y ³ x) পরে না আসে, তাহলে৷

সভাটি 0 £ y - x £ 1/6 শর্তে ঘটবে৷

(10 মিনিট হল 1/6 ঘন্টা)।

যদি দ্বিতীয়টি প্রথমটির (x ³ y ) থেকে দেরিতে না আসে, তাহলে৷

সভাটি 0 £ x - y £ 1/6 শর্তের অধীনে হবে।

অনেক অনুকূল ফলাফলের মধ্যে

মিটিং, এবং এলাকার পয়েন্টের সেটে চিত্রিত করা হয়েছে

ছায়াযুক্ত আকারে চিত্র 7, আপনি ইনস্টল করতে পারেন

এক থেকে এক চিঠিপত্র।

পছন্দসই সম্ভাব্যতা p হল ক্ষেত্রফলের অনুপাতের সমান

পুরো বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল.. বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

একতা সমান, এবং অঞ্চলের ক্ষেত্রফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে

একটি ইউনিট এবং দুইটির মোট ক্ষেত্রফলের মধ্যে পার্থক্য

ত্রিভুজগুলি চিত্র 7-এ দেখানো হয়েছে। এটি এটি থেকে অনুসরণ করে:

p=1 -

ক্রমাগত সম্ভাব্যতা স্থান।

আগেই বলা হয়েছে, প্রাথমিক ফলাফলের সেট গণনাযোগ্য (অর্থাৎ অগণিত) এর চেয়ে বেশি হতে পারে। এই ক্ষেত্রে, W সেটের কোনো উপসেটকে ঘটনা হিসেবে বিবেচনা করা যাবে না।

একটি এলোমেলো ঘটনার সংজ্ঞা প্রবর্তন করতে, A 1 , A 2 ,... প্রাথমিক ফলাফলের স্থানের A n উপসেটগুলির একটি সিস্টেম (সসীম বা গণনাযোগ্য) বিবেচনা করুন।

যদি তিনটি শর্ত পূরণ করা হয়: 1) W এই সিস্টেমের অন্তর্গত;

2) এই সিস্টেমে A এর সদস্যপদ এই সিস্টেমে A এর সদস্যতা বোঝায়;

3) এই সিস্টেমে A i এবং A j এর সদস্যপদ বলতে এই সিস্টেমে A i U A j এর সদস্যপদ বোঝায়

এই ধরনের উপসেটের একটি সিস্টেমকে বীজগণিত বলা হয়।

W-কে প্রাথমিক ফলাফলের কিছু স্থান হতে দিন। নিশ্চিত করুন যে দুটি উপসেট সিস্টেম হল:

1) W , Æ ; 2) W , A , A , Æ (এখানে A হল W এর একটি উপসেট) বীজগণিত।

ধরা যাক A 1 এবং A 2 কিছু বীজগণিতের অন্তর্গত। প্রমাণ করুন যে A 1 \A 2 এবং A 1 ∩ A 2 এই বীজগণিতের অন্তর্গত।

প্রাথমিক ফলাফল 9 এর একটি অগণিত সেটের একটি উপসেট A হল একটি ঘটনা যদি এটি কিছু বীজগণিতের অন্তর্গত হয়।

আসুন A.N নামে একটি স্বতঃসিদ্ধ গঠন করি। কলমোগোরভ।

প্রতিটি ইভেন্ট একটি নন-নেতিবাচক সংখ্যা P(A) এর সাথে একটির বেশি নয়, যাকে ঘটনা A এর সম্ভাব্যতা বলা হয় এবং ফাংশন P(A) এর নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

1) পি (9) = 1

2) ঘটনা A 1, A 2,..., A n বেমানান হলে

P (A 1 U A 2 U ... U A n) \u003d P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A n)

যদি প্রাথমিক ফলাফলের স্থান W দেওয়া হয়, ঘটনাগুলির বীজগণিত এবং এতে সংজ্ঞায়িত P ফাংশন যা উপরের স্বতঃসিদ্ধের শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে, তাহলে আমরা বলি যে সম্ভাবনার স্থান.

সম্ভাব্যতা স্থানের এই সংজ্ঞাটি W এর প্রাথমিক ফলাফলের একটি সীমিত স্থানের ক্ষেত্রে প্রসারিত করা যেতে পারে। তারপর, বীজগণিত হিসাবে, আমরা W সেটের সমস্ত উপসেটের সিস্টেম নিতে পারি।

সম্ভাব্যতা যোগ সূত্র।

উপরের স্বতঃসিদ্ধের বিন্দু 2 থেকে এটি অনুসরণ করে যে A 1 এবং A2 যদি বেমানান ঘটনা হয়, তাহলে

P (A 1 U A 2) \u003d P (A 1) + P (A 2)

যদি A 1 এবং A 2 যৌথ ঘটনা হয়, তাহলে A 1 U A 2 =(A 1 \A 2 )U A 2 , এবং এটা স্পষ্ট যে A 1 \A 2 এবং A 2 বেমানান ঘটনা। এই থেকেই বোঝা:

P (A 1 U A 2 ) =P (A1 \A 2 ) +P (A2 )

আরও, এটি স্পষ্ট: A 1 = (A1 \A 2 )U (A 1 ∩ A 2 ), এবং A1 \A 2 এবং A 1 ∩ A 2 হল বেমানান ঘটনা, যেখান থেকে নিম্নরূপ: P (A 1 ) =P ( A1 \A 2 ) +P (A 1 ∩ A 2 ) এই সূত্র থেকে P (A1 \A 2 ) এর জন্য একটি অভিব্যক্তি খুঁজুন এবং এটিকে সূত্রের (*) ডানদিকে প্রতিস্থাপন করুন। ফলস্বরূপ, আমরা সম্ভাব্যতা যোগ করার সূত্র পাই:

P (A 1 U A 2 ) =P (A 1 ) +P (A 2 ) –P (A 1 ∩ A 2 )

শেষ সূত্র থেকে, A 1 ∩ A 2 = Æ সেট করে বেমানান ঘটনাগুলির জন্য সম্ভাব্যতা যোগ করার জন্য একটি সূত্র পাওয়া সহজ।

উদাহরণ। 32টি শীটের একটি ডেক থেকে এলোমেলোভাবে একটি কার্ড নির্বাচন করে একটি টেক্কা বা হার্টের স্যুট আঁকার সম্ভাবনা খুঁজুন।

P (ACE) \u003d 4/32 \u003d 1/8; P (হার্ট স্যুট) \u003d 8/32 \u003d 1/4;

P (হৃদয়ের ACE) = 1/32;

পি ((ACE) ইউ (হার্ট স্যুট)) \u003d 1/8 + 1/4 - 1/32 \u003d 11/32

অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা গণনা করে সম্ভাব্যতার শাস্ত্রীয় সংজ্ঞা ব্যবহার করে একই ফলাফল অর্জন করা যেতে পারে।

শর্তাধীন সম্ভাবনা।

এর টাস্ক বিবেচনা করা যাক. পরীক্ষার আগে একজন শিক্ষার্থী 30 টি টিকিটের মধ্যে 1 থেকে 5 নম্বর এবং 26 থেকে 30 নম্বর সহ টিকিট শিখেছিল। জানা যায় যে পরীক্ষা চলাকালীন একজন শিক্ষার্থী 20 নম্বরের বেশি নয় এমন একটি টিকিট বের করেছে। সম্ভাব্যতা কত? ছাত্র একটি শেখা টিকিট টানা?

প্রাথমিক ফলাফলের স্থান সংজ্ঞায়িত করা যাক: W =(1,2,3,...,28,29,30)। ঘটনা A হল যে ছাত্রটি একটি শেখা টিকিট বের করেছে: A = (1,...,5,25,...,30,), এবং ঘটনা B হল যে ছাত্রটি প্রথম বিশটি থেকে একটি টিকিট বের করেছে: B = ( 1,2,3,...,20)

ঘটনা A ∩ B পাঁচটি ফলাফল নিয়ে গঠিত: (1,2,3,4,5), এবং এর সম্ভাবনা 5/30। এই সংখ্যাটি 5/20 এবং 20/30 এর গুণফল হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। সংখ্যা 20/30 হল ঘটনা B এর সম্ভাব্যতা। 5/20 সংখ্যাটিকে ঘটনা A এর সম্ভাব্যতা হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, যদি B ঘটনাটি ঘটে থাকে (আসুন এটিকে P (A / B) হিসাবে চিহ্নিত করি)। সুতরাং, সমস্যার সমাধান সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়

P (A ∩ B) \u003d P (A / B) P (B)

এই সূত্রটিকে সম্ভাব্যতা গুণন সূত্র বলা হয় এবং সম্ভাব্যতা P (A/B) হল ঘটনা A এর শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা।

উদাহরণ .. 7টি সাদা এবং 3টি কালো বল সম্বলিত একটি কলস থেকে, দুটি বল এলোমেলোভাবে একের পর এক আঁকা হয় (প্রতিস্থাপন ছাড়াই)। প্রথম বলটি সাদা এবং দ্বিতীয়টি কালো হওয়ার সম্ভাবনা কত?

X-এর ইভেন্ট হতে দিন যে প্রথম ড্র হল একটি সাদা বল, এবং Y হল ঘটনা যে দ্বিতীয় ড্র হল একটি কালো বল৷ তারপর X ∩ Y হল ঘটনা যে প্রথম বলটি সাদা এবং দ্বিতীয়টি কালো। P (Y /X ) =3/9 =1/3 হল শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতা যে দ্বিতীয় বলটি একটি কালো বল আঁকবে যদি সাদা বলটি হয় প্রথমে আঁকা হয়েছিল। P (X ) = 7/10 বিবেচনা করলে, সম্ভাব্যতা গুণনের সূত্র অনুসারে আমরা পাই: P (X ∩ Y ) = 7/30

ঘটনা A কে ঘটনা B থেকে স্বাধীন বলা হয় (অন্য কথায়: ঘটনা A এবং B কে স্বাধীন বলা হয়) যদি P (A / B) = P (A) ) স্বাধীন ঘটনার সংজ্ঞার জন্য, আমরা শেষ সূত্র এবং গুণের সূত্রের ফলাফল নিতে পারি

P (A ∩ B) \u003d P (A) P (B)

নিজের জন্য প্রমাণ করুন যে A এবং B যদি স্বাধীন ঘটনা হয়, তবে A এবং Bও স্বাধীন ঘটনা।

উদাহরণ। আগেরটির মতো একটি সমস্যা বিবেচনা করুন, তবে একটি অতিরিক্ত শর্ত সহ: প্রথম বলটি আঁকার পরে, এর রঙটি মনে রাখুন এবং বলটিকে কলসে ফিরিয়ে দিন, তারপরে আমরা সমস্ত বল মিশ্রিত করি। এই ক্ষেত্রে, দ্বিতীয় নিষ্কাশনের ফলাফল কোন ভাবেই নির্ভর করে না যে বলটি - কালো বা সাদা - প্রথম নিষ্কাশনের সময় উপস্থিত হয়েছিল। একটি সাদা বলের প্রথম উপস্থিতির সম্ভাবনা (ইভেন্ট A) হল 7/10৷ ইভেন্ট B এর সম্ভাবনা - দ্বিতীয় কালো বলের উপস্থিতি - 3/10। এখন গুণের সূত্রটি দেয়: P (A ∩ B) = 21/100।

এই উদাহরণে বর্ণিত পদ্ধতিতে বল নিষ্কাশন বলা হয় ফেরত দিয়ে আনুনবা নমুনা ফেরত.

এটি লক্ষ করা উচিত যে যদি শেষ দুটি উদাহরণে আমরা সাদা এবং কালো বলের প্রাথমিক সংখ্যা যথাক্রমে 7000 এবং 3000 এর সমান সেট করি, তবে একই সম্ভাব্যতা গণনার ফলাফলগুলি রিটার্ন এবং অপরিবর্তনীয় নমুনার জন্য নগণ্যভাবে ছোট হবে।