수식을 단순화하는 방법 8. 대수식을 단순화하는 방법

§ 1 리터럴 표현을 단순화하는 개념

본 강의에서는 '유사용어'의 개념에 대해 알아보고, 예문을 통해 유사용어를 축약하여 직역 표현을 단순화하는 방법을 배워보겠습니다.

단순화라는 개념의 의미를 알아봅시다. "단순화"라는 단어는 "단순화"라는 단어에서 파생되었습니다. 단순화한다는 것은 단순하고 단순하게 만드는 것을 의미합니다. 따라서 문자 표현을 단순화하는 것은 최소한의 동작으로 더 짧게 만드는 것입니다.

9x + 4x라는 표현을 생각해 보세요. 합을 뜻하는 문자 그대로의 표현입니다. 여기서 용어는 숫자와 문자의 곱으로 표시됩니다. 이러한 항의 수치적 인자를 계수라고 합니다. 이 표현식에서 계수는 숫자 9와 4가 됩니다. 문자로 표시되는 계수는 이 합계의 두 가지 측면에서 동일합니다.

곱셈의 분배 법칙을 기억해 봅시다:

합계에 숫자를 곱하려면 각 항에 해당 숫자를 곱하고 결과 곱을 더하면 됩니다.

일반적으로 다음과 같이 작성됩니다: (a + b) ∙ c = ac + bc.

이 법칙은 양방향에서 모두 적용됩니다. ac + bc = (a + b) ∙ c

이를 리터럴 표현에 적용해 보겠습니다. 9x와 4x의 곱의 합은 첫 번째 요소가 9와 4의 합과 같고 두 번째 요소는 x인 곱과 같습니다.

9 + 4 = 13, 즉 13x입니다.

9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.

표현식에는 세 가지 동작 대신 곱셈이라는 단 하나의 동작만 남았습니다. 이는 문자 그대로의 표현을 더 단순하게 만들었다는 의미입니다. 단순화했습니다.

§ 2 유사 용어의 축소

9x와 4x라는 용어는 계수만 다릅니다. 이러한 용어는 유사하다고 합니다. 유사 용어의 문자 부분은 동일합니다. 유사 용어에는 숫자와 동일 용어도 포함됩니다.

예를 들어, 9a + 12 - 15 표현식에서 유사한 용어는 숫자 12와 -15가 되고, 12와 6a의 곱의 합에서 숫자 14와 12와 6a의 곱(12 ∙ 6a + 14)이 됩니다. + 12 ∙ 6a) 12와 6a의 곱으로 표현되는 동일한 조건입니다.

계수가 동일하지만 문자 인수가 다른 항은 유사하지 않다는 점에 유의하는 것이 중요합니다. 그러나 곱셈의 분배 법칙을 적용하는 것이 때로는 유용할 때도 있습니다. 예를 들어 곱 5x와 5y의 합은 다음과 같습니다. 숫자 5와 x와 y의 합과 같습니다.

5x + 5y = 5(x + y).

-9a + 15a - 4 + 10이라는 표현을 단순화해 보겠습니다.

이 경우 유사한 항은 계수만 다르기 때문에 항 -9a와 15a입니다. 문자 승수는 동일하며, -4와 10도 숫자이기 때문에 유사합니다. 비슷한 용어를 더해 보세요.

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

우리는 6a + 6을 얻습니다.

표현을 단순화함으로써 우리는 유사한 용어의 합을 찾았습니다. 수학에서는 이를 유사한 용어의 축소라고 합니다.

이러한 용어를 추가하는 것이 어렵다면 해당 용어를 생각해내고 개체를 추가할 수 있습니다.

예를 들어 다음 표현식을 고려해보세요.

각 문자에 대해 b-사과, c-배라는 자체 개체를 사용하면 사과 2개 빼기 배 5개 더하기 배 8개를 얻습니다.

사과에서 배를 뺄 수 있나요? 물론 그렇지 않습니다. 하지만 배 마이너스 5개에 배 8개를 더할 수 있습니다.

유사한 용어 - 배 5개 + 배 8개를 제시해 보겠습니다. 유사한 용어는 동일한 문자 부분을 가지므로 유사한 용어를 가져올 때 계수를 추가하고 결과에 문자 부분을 추가하는 것으로 충분합니다.

(-5 + 8) 배 - 배 3개를 얻습니다.

리터럴 표현으로 돌아가면 -5 s + 8 s = 3 s가 됩니다. 따라서 유사한 용어를 가져온 후에 2b + 3c라는 표현을 얻습니다.

그래서 이번 수업에서는 '유사용어'의 개념을 알게 되었고, 유사용어를 줄여 글자 표현을 단순화하는 방법을 배웠습니다.

사용된 문헌 목록:

1. 수학. 6학년: I.I. 교과서의 수업 계획. 주바레바, A.G. Mordkovich // 작성자-컴파일러 L.A. 토필리나. 므네모시네 2009.
2. 수학. 6학년: 일반교육기관 학생들을 위한 교과서. I.I.Zubareva, A.G. Mordkovich. - M .: Mnemosyne, 2013.
3. 수학. 6학년: 일반교육기관 교과서/G.V. 도로페예프, I.F. 샤리긴, S.B. Suvorov 및 기타/G.V. 편집자 Dorofeeva, I.F. 샤리기나; 러시아 과학 아카데미, 러시아 교육 아카데미. M.: “계몽”, 2010.
4. 수학. 6학년: 일반 교육 기관을 위한 학습/N.Ya. 빌렌킨, V.I. 조호프, A.S. 체스노코프, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyna, 2013.
5. 수학. 6학년: 교과서/G.K. 무라빈, O.V. 무라비나. – M.: 버스타드, 2014.

사용된 이미지:

당신은 필요합니다

• - 다항식의 단항식의 개념;
• - 축약된 곱셈 공식;
• - 분수 연산;
• - 기본 삼각법 정체성.

지침

표현식에 가 포함된 단항식이 포함된 경우 해당 계수의 합을 구하고 동일한 인수를 곱합니다. 예를 들어 2 a-4 a+5 a+a=(2-4+5+1)∙a=4∙a라는 수식이 있다고 가정합니다.

식이 자연분수인 경우 분자와 분모에서 공통인수를 선택하여 분수를 줄입니다. 예를 들어, 분수(3 a²-6 a b+3 b²)/(6∙a²-6∙b²)를 줄여야 하는 경우 분자의 분자와 분모에서 공통 인수를 제거하면 3이 됩니다. 분모 6. 식 (3 ( a²-2 a b+b²))/(6∙(a²-b²))을 구합니다. 분자와 분모를 3씩 줄여서 나머지 수식에 약식 곱셈 공식을 적용합니다. 분자의 경우 차이의 제곱이고, 분모의 경우 제곱의 차이입니다. 이를 공통 인수 a-b로 줄여 표현식 (a-b)²/(2∙ (a+b)∙(a-b))를 얻으면 표현식 (a-b)/(2∙ (a+b))를 얻습니다. 변수 개수의 특정 값에 대해 훨씬 쉽습니다.

단항식의 거듭제곱이 동일한 인수를 갖는 경우 이를 합산할 때 거듭제곱이 동일한지 확인하십시오. 그렇지 않으면 유사한 인수를 줄이는 것이 불가능합니다. 예를 들어, 2∙m²+6 m³-m²-4 m³+7이라는 수식이 있는 경우 비슷한 것을 합치면 결과는 m²+2 m³+7이 됩니다.

삼각법 항등식을 단순화할 때 공식을 사용하여 변환하세요. 기본 삼각 항등 sin²(x)+cos²(x)=1, sin(x)/cos(x)=tg(x), 1/ tg(x)= ctg(x), 인수의 합과 차에 대한 공식 , 이중, 삼중 인수 및 기타. 예를 들어 (sin(2∙x)-cos(x))/ctg(x)입니다. 코사인 대 사인의 비율로 이중 인수와 코탄젠트에 대한 공식을 작성합니다. (2∙ sin(x) cos(x)-cos(x)) sin(x)/cos(x)를 구합니다. 공통 인수 cos(x)를 꺼내고 분수 cos(x) (2∙ sin(x) - 1) sin(x)/cos(x)= (2∙ sin(x) - 1) sin( 엑스).

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출처:

• 표현식 단순화 공식

그들이 말했듯이 간결함은 재능의 자매입니다. 누구나 자신의 재능을 뽐내고 싶어하지만 그의 여동생은 복잡한 존재다. 어쩐지 번뜩이는 생각은 자연스럽게 부사구가 많은 복잡한 문장의 형태를 띠게 된다. 그러나 제안을 단순화하고 모든 사람이 이해하고 접근할 수 있도록 만드는 것은 귀하의 몫입니다.

지침

수신자(듣는 사람이든 읽는 사람이든)가 더 쉽게 할 수 있도록 분사 및 분사 문구를 짧은 종속절로 바꾸십시오. 특히 한 문장에 위의 문구가 너무 많으면 더욱 그렇습니다. "방금 쥐를 먹은 후 집에 돌아온 고양이가 큰 소리로 가르랑 거리며 주인을 애무하고 눈을 바라보며 가게에서 가져온 생선을 구걸하기를 희망했습니다."-이것은 작동하지 않습니다. 그러한 구조를 여러 부분으로 나누고, 시간을 갖고 모든 것을 한 문장으로 말하려고 하지 마십시오. 그러면 행복할 것입니다.

훌륭한 진술을 구상했지만 종속절이 너무 많은 것으로 밝혀지면(특히 하나의 경우) 진술을 여러 개의 개별 문장으로 나누거나 일부 요소를 생략하는 것이 좋습니다. "우리는 그가 Marina Vasilievna에게 말하고 Katya가 Vita에게 그렇게 말할 것이라고 결정했습니다 ..."-우리는 끝없이 계속할 수 있습니다. 제 시간에 멈추고 누가 이것을 읽고 듣게 될지 기억하십시오.

그러나 함정은 문장 구조에만 있는 것이 아닙니다. 어휘에 주의하세요. 외국어, 장기 용어, 19세기 소설에서 가져온 단어 등 이 모든 것은 인식을 복잡하게 만들 뿐입니다. 어떤 청중을 대상으로 텍스트를 작성하고 있는지 스스로 명확히 할 필요가 있습니다. 물론 기술 전문가는 복잡한 용어와 특정 단어를 모두 이해할 것입니다. 그러나 당신이 문학 교사에게 같은 말을 하면 그녀는 당신을 이해하지 못할 것입니다.

재능은 대단한 것입니다. 당신이 재능이 있다면(그리고 능력 없는 사람이 없다면) 당신 앞에는 많은 길이 열릴 것입니다. 그러나 재능은 복잡성이 아니라 이상하게도 단순함에 있습니다. 단순하게 유지하면 귀하의 재능이 명확해지고 모든 사람이 접근할 수 있습니다.

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문제와 다양한 방정식을 정확하고 신속하게 해결하려면 수학 표현을 단순화하는 방법을 배우는 것이 필요합니다. 표현식을 단순화하려면 단계 수를 줄여 계산을 더 쉽게 만들고 시간을 절약해야 합니다.

지침

c의 거듭제곱을 계산하는 방법을 알아보세요. c의 거듭제곱을 곱하면 밑이 동일한 숫자가 얻어지고 지수는 b^m+b^n=b^(m+n)이 더해집니다. 동일한 밑수로 거듭제곱을 나누면 밑수가 동일하게 유지되는 숫자의 거듭제곱이 얻어지고, 거듭제곱의 지수를 빼고, 피제수 지수에서 제수 b^m의 지수를 뺍니다. : b^n=b^(m-n). 거듭제곱을 거듭제곱하면 밑이 그대로 유지되고 지수가 곱해지는 수의 거듭제곱이 얻어집니다. (b^m)^n=b^(mn) 거듭제곱할 때 각 요소는 (abc)^m=a^m *b^m*c^m으로 거듭제곱됩니다.

인수 다항식, 즉 다항식과 단항식 등 여러 요소의 곱으로 상상해 보세요. 괄호에서 공통인수를 빼세요. 기본적인 약식 곱셈 공식을 알아보세요: 제곱의 차이, 제곱합, 제곱차, 세제곱의 합, 세제곱의 차이, 합의 세제곱과 차이. 예를 들어 m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2입니다. 이 공식은 표현식을 단순화하는 주요 공식입니다. ax^2+bx+c 형태의 삼항식에서 완전제곱식을 분리하는 방법을 사용합니다.

가능한 한 자주 분수를 축약하세요. 예를 들어 (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c)입니다. 하지만 승수만 줄일 수 있다는 점을 기억하세요. 대수 분수의 분자와 분모에 0이 아닌 동일한 숫자를 곱하면 분수의 값은 변하지 않습니다. 유리식을 변환하는 방법에는 체인과 동작이라는 두 가지 방법이 있습니다. 두 번째 방법이 더 선호되는 이유는 다음과 같습니다. 중간 작업의 결과를 확인하는 것이 더 쉽습니다.

표현식에서 근을 추출해야 하는 경우가 종종 있습니다. 짝수 근은 음수가 아닌 표현식이나 숫자에서만 추출됩니다. 홀수 근은 모든 표현식에서 추출될 수 있습니다.

출처:

• 거듭제곱 표현의 단순화

수학에서 "표현식"은 일반적으로 숫자와 변수 값을 포함하는 일련의 산술 및 대수 연산을 나타냅니다. 숫자 쓰기 형식과 유사하게 나누기 연산이 포함된 경우 이러한 세트를 "분수"라고 합니다. 단순화 연산은 분수 표현뿐만 아니라 분수 형식의 숫자에도 적용됩니다.

지침

분자에 있는 에 대한 공통 인수를 찾는 것부터 시작하십시오. 이는 수치 비율과 알 수 없는 변수를 포함하는 비율 모두에 대해 동일합니다. 예를 들어 분자가 45*X이고 분모가 18*Y인 경우 최대공약수는 9입니다. 이 단계를 완료하면 분자는 9*5*X, 분모는 9*2*로 쓸 수 있습니다. 와이.

분자와 분모의 표현식에 기본 수학 연산(나눗셈, 덧셈 및 뺄셈)의 조합이 포함되어 있는 경우 먼저 각 연산에 ​​대한 공통 인수를 분리한 다음 이들에서 최대 공통 인수를 분리해야 합니다. 숫자. 예를 들어, 분자에 있는 표현식 45*X+180의 경우 인수 45를 대괄호에서 제거해야 합니다. 45*X+180 = 45*(X+4). 그리고 분모의 표현 18+54*Y는 18*(1+3*Y) 형식으로 축소되어야 합니다. 그런 다음 이전 단계에서와 같이 괄호에서 가져온 인수의 최대 공약수를 찾습니다. 45*X+180 / 18+54*Y = 45*(X+4) / 18*(1+3*Y) = 9*5* (X+4) / 9*2*(1+3*Y). 이 예에서는 9와 같습니다.

이전 단계에서 찾은 분수의 분자와 분모 표현식의 공통 인수를 줄입니다. 첫 번째 단계의 예에서 전체 단순화 연산은 다음과 같이 작성할 수 있습니다: 45*X / 18*Y = 9*5*X / 9*2*Y = 5*X / 2*Y.

단순화할 때, 축소되는 공약수는 숫자일 필요는 없으며 변수를 포함하는 표현식일 수도 있습니다. 예를 들어, 분수의 분자가 (4*X + X*Y + 12 + 3*Y)이고 분모가 (X*Y + 3*Y - 7*X - 21)인 경우 최대공배수는 다음과 같습니다. 제수는 표현식 X+ 3이 되며 표현식을 단순화하기 위해 줄여야 합니다. (4*X + X*Y + 12 + 3*Y) / (X*Y + 3*Y - 7*X - 21) = ( X+3)*(4 +Y) / (X+3)*(Y-7) = (4+Y) / (Y-7).

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대수식을 단순화하는 것은 대수학 학습의 핵심 중 하나이며 모든 수학자에게 매우 유용한 기술입니다. 단순화를 사용하면 복잡하거나 긴 표현식을 작업하기 쉬운 간단한 표현식으로 줄일 수 있습니다. 수학에 열의가 없는 사람이라도 단순화의 기본 기술은 좋습니다. 몇 가지 간단한 규칙을 따르면 특별한 수학적 지식 없이도 가장 일반적인 유형의 대수식을 단순화할 수 있습니다.

단계

중요한 정의

1. 비슷한 회원 . 이는 동일한 순서의 변수가 있는 멤버, 동일한 변수가 있는 멤버 또는 자유 멤버(변수를 포함하지 않는 멤버)입니다. 즉, 유사한 용어는 동일한 변수를 동일한 정도로 포함하거나, 동일한 변수를 여러 개 포함하거나, 변수를 전혀 포함하지 않는 것을 의미합니다. 표현에서 용어의 순서는 중요하지 않습니다.

   • 예를 들어, 3x 2와 4x 2는 2차(2승) 변수 "x"를 포함하므로 유사한 용어입니다. 그러나 x와 x2는 서로 다른 차수(첫 번째와 두 번째)의 변수 “x”를 포함하므로 유사한 용어가 아닙니다. 마찬가지로 -3yx와 5xz는 서로 다른 변수를 포함하므로 유사한 용어가 아닙니다.

2. 채권 차압 통고 . 이것은 제품이 원래 번호로 연결되는 번호를 찾는 것입니다. 원래 숫자에는 여러 가지 요소가 있을 수 있습니다. 예를 들어, 숫자 12는 1 × 12, 2 × 6 및 3 × 4의 일련의 인수로 인수분해될 수 있으므로 숫자 1, 2, 3, 4, 6 및 12가 인수라고 말할 수 있습니다. 숫자 12. 인수는 인수와 동일합니다. 즉, 원래 숫자를 나눈 숫자입니다.

   • 예를 들어, 숫자 20을 인수분해하려면 다음과 같이 작성하세요. 4×5.
   • 인수분해할 때 변수가 고려됩니다. 예를 들어 20x = 4(5배).
   • 소수는 자기 자신과 1로만 나누어지기 때문에 인수분해가 불가능합니다.

3. 실수를 피하기 위해 작업 순서를 기억하고 따르십시오.

   • 괄호
   • 도
   • 곱셈
   • 분할
   • 덧셈
   • 빼기

비슷한 멤버 데려오기

1. 표현을 적어보세요.간단한 대수식(분수, 근 등을 포함하지 않는 식)은 단 몇 단계만으로 풀 수 있습니다(간소화).

   • 예를 들어 식을 단순화하면 1 + 2x - 3 + 4x.

2. 유사한 용어를 정의합니다(동일 변수가 있는 용어, 동일한 변수가 있는 용어 또는 자유 용어).

   • 이 표현에서 비슷한 용어를 찾아보세요. 2x 및 4x라는 용어에는 동일한 차수(첫 번째)의 변수가 포함되어 있습니다. 또한 1과 -3은 자유 용어입니다(변수를 포함하지 않음). 따라서 이 표현에서 용어는 2배 및 4배비슷하고, 멤버들도 1과 -3또한 비슷합니다.

3. 비슷한 용어를 사용하세요.이는 이를 더하거나 빼서 표현을 단순화하는 것을 의미합니다.

   • 2배 + 4배 = 6배
   • 1 - 3 = -2

4. 주어진 항을 고려하여 표현식을 다시 작성하십시오.더 적은 수의 용어로 간단한 표현을 얻을 수 있습니다. 새로운 표현식은 원래 표현식과 동일합니다.

   • 이 예에서는: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2즉, 원래 표현식이 단순화되어 작업하기가 더 쉽습니다.

5. 유사한 구성원을 데려올 때는 작업 순서를 따르십시오.우리의 예에서는 비슷한 용어를 제공하기가 쉬웠습니다. 그러나 용어를 괄호로 묶어서 분수와 근이 존재하는 복잡한 표현의 경우에는 그러한 용어를 가져오는 것이 그리 쉽지 않습니다. 이러한 경우에는 작업 순서를 따르십시오.

   • 예를 들어, 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x 표현식을 생각해 보세요. 여기서 3x와 2x를 유사한 용어로 즉시 정의하고 제공하는 것은 실수입니다. 괄호를 먼저 열어야하기 때문입니다. 따라서 순서에 따라 작업을 수행하십시오.
     • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
     • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
     • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. 지금, 표현식에 덧셈과 뺄셈 연산만 포함된 경우 유사한 용어를 가져올 수 있습니다.
     • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
     • x 2 + 12x + 3

괄호에서 승수 빼기

1. 찾다 최대공약수(GCD)는 표현식의 모든 계수입니다. GCD는 표현식의 모든 계수를 나눈 가장 큰 숫자입니다.

   • 예를 들어 방정식 9x 2 + 27x - 3을 생각해 보세요. 이 경우 이 표현식의 모든 계수는 3으로 나눌 수 있으므로 GCD = 3입니다.

2. 표현식의 각 항을 gcd로 나눕니다.결과 항에는 원래 표현식보다 더 작은 계수가 포함됩니다.

   • 이 예에서는 표현식의 각 항을 3으로 나눕니다.
     • 9x2/3 = 3x2
     • 27x/3 = 9x
     • -3/3 = -1
     • 결과는 표현이었습니다 3x2 + 9x-1. 원래 표현과 같지 않습니다.

3. 원래 표현식을 gcd의 곱과 결과 표현식과 동일하게 작성하십시오.즉, 결과 표현식을 대괄호로 묶고 대괄호에서 gcd를 꺼냅니다.

   • 이 예에서는: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x2 + 9x-1)

4. 인수를 괄호 안에 넣음으로써 분수 표현을 단순화합니다.이전에 했던 것처럼 단순히 승수를 괄호 안에 넣지 않은 이유는 무엇입니까? 그런 다음 분수 표현식과 같은 복잡한 표현식을 단순화하는 방법을 알아봅니다. 이 경우 인수를 괄호 안에 넣으면 (분모에서) 분수를 제거하는 데 도움이 될 수 있습니다.

   • 예를 들어 분수식 (9x 2 + 27x - 3)/3을 생각해 보세요. 이 표현식을 단순화하려면 인수분해를 사용하세요.
     • (앞에서 했던 것처럼) 괄호 안에 3의 인수를 넣으세요: (3(3x 2 + 9x - 1))/3
     • 이제 분자와 분모 모두에 3이 있습니다. 이를 줄여서 다음과 같은 표현을 사용할 수 있습니다. (3x 2 + 9x – 1)/1
     • 분모에 숫자 1이 있는 분수는 단순히 분자와 동일하므로 원래 분수 표현식은 다음과 같이 단순화됩니다. 3x2 + 9x-1.

추가 단순화 방법

1. 분수 표현을 단순화합니다.위에서 언급한 것처럼, 분자와 분모에 모두 동일한 항(또는 심지어 동일한 표현)이 포함되어 있으면 이를 줄일 수 있습니다. 이렇게 하려면 분자나 분모, 또는 분자와 분모 모두의 공통인수를 빼내야 합니다. 또는 분자의 각 항을 분모로 나누어 표현식을 단순화할 수 있습니다.

   • 예를 들어 분수식 (5x 2 + 10x + 20)/10을 생각해 보세요. 여기서는 간단히 각 분자 항을 분모(10)로 나눕니다. 그러나 5x2라는 용어는 10으로 균등하게 나누어지지 않는다는 점에 유의하십시오(5는 10보다 작기 때문).
     • 따라서 다음과 같이 단순화된 표현식을 작성하십시오: ((5x 2)/10) + x + 2 = (1/2)x 2 + x + 2.

2. 급진적 표현의 단순화.루트 기호 아래의 표현을 근호 표현이라고 합니다. 적절한 요소로 분해하고 루트 아래에서 한 요소를 제거하여 단순화할 수 있습니다.

   • 간단한 예를 살펴보겠습니다: √(90). 숫자 90은 9와 10의 인수로 분해될 수 있으며, 9에서 제곱근(3)을 구하고 루트 아래에서 3을 꺼낼 수 있습니다.
     • √(90)
     • √(9×10)
     • √(9)×√(10)
     • 3×√(10)
     • 3√(10)

3. 거듭제곱으로 표현을 단순화합니다.일부 표현식에는 거듭제곱을 사용한 항의 곱셈 또는 나눗셈 연산이 포함되어 있습니다. 동일한 밑수를 갖는 항을 곱하는 경우 해당 거듭제곱이 추가됩니다. 같은 기초로 용어를 나누는 경우에는 그 거듭제곱을 뺍니다.

   • 예를 들어 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)라는 표현을 생각해 보세요. 곱셈의 경우에는 거듭제곱을 더하고, 나눗셈의 경우에는 빼십시오.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • 다음은 지수 항의 곱셈과 나눗셈의 규칙에 대한 설명입니다.
     • 항에 거듭제곱을 곱하는 것은 항 자체를 곱하는 것과 같습니다. 예를 들어 x 3 = x × x × x 및 x 5 = x × x × x × x × x이므로 x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) 또는 x 8 .
     • 마찬가지로, 항을 차수로 나누는 것은 항을 그 자체로 나누는 것과 같습니다. x 5 /x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). 분자와 분모 모두에서 유사한 용어가 발견되면 두 "x"의 곱, 즉 x 2 가 분자에 남습니다.

유리식과 분수는 전체 대수 과정의 초석입니다. 이러한 표현을 사용하여 단순화하고 인수분해하는 방법을 배우는 사람들은 본질적으로 모든 문제를 해결할 수 있습니다. 표현을 변환하는 것은 심각한 방정식, 부등식 또는 심지어 단어 문제의 필수적인 부분이기 때문입니다.

이 비디오 튜토리얼에서는 약식 곱셈 공식을 올바르게 사용하여 유리식과 분수를 단순화하는 방법을 살펴보겠습니다. 언뜻 보면 아무것도 없는 이 공식을 살펴보겠습니다. 동시에 우리는 판별식을 통해 이차 삼항식을 인수분해하는 것과 같은 간단한 기술을 반복할 것입니다.

제 뒤에 있는 공식에서 이미 짐작하셨겠지만, 오늘 우리는 축약된 곱셈 공식, 더 정확하게는 공식 자체가 아니라 복잡한 유리식을 단순화하고 줄이기 위해 공식을 사용하는 방법을 연구할 것입니다. 그러나 예제를 해결하기 전에 다음 공식을 자세히 살펴보거나 기억해 봅시다.

1. $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ — 제곱의 차이;
2. $((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$는 합계의 제곱입니다.
3. $((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ — 제곱 차이;
4. $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$는 세제곱의 합입니다.
5. $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$는 큐브의 차이입니다.

또한 우리 학교 교육 시스템은 이 주제를 연구하는 방식으로 구성되어 있다는 점에 주목하고 싶습니다. 유리수식은 물론 근, 모듈까지 모든 학생들이 동일한 문제를 안고 있는데, 이제 이에 대해 설명하겠습니다.

사실은 약식 곱셈 공식과 그에 따른 분수 감소 동작(8학년 어딘가)을 공부하기 시작할 때 교사가 다음과 같이 말합니다. 걱정하지 마세요. 우리는 고등학교 때 이 주제를 두 번 이상 다시 다룰 것입니다. 이에 대해서는 나중에 조사해 보겠습니다." 그렇다면 9~10학년이 되면서 같은 교사가 유리분수를 푸는 방법을 아직 모르는 같은 학생들에게 다음과 같이 설명합니다. “지난 2년 동안 어디에 있었나요? 이것은 8학년 때 대수학 시간에 공부한 것입니다! 여기서 불분명한 것은 무엇입니까? 너무 뻔해요!”

그러나 이러한 설명은 일반 학생들에게 더 쉬워지지 않습니다. 그들은 여전히 ​​​​머리가 엉망이므로 지금은 두 가지 간단한 예를 살펴보고 이를 기반으로 실제 문제에서 이러한 표현을 분리하는 방법을 살펴 보겠습니다. , 이를 통해 축약된 곱셈 공식과 이를 적용하여 복잡한 유리식을 변환하는 방법을 알아볼 수 있습니다.

단순 유리 분수 줄이기

작업 번호 1

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]

우리가 배워야 할 첫 번째 일은 원래 표현식에서 정확한 제곱과 더 높은 거듭제곱을 식별하고 이를 기반으로 공식을 적용하는 것입니다. 보자:

이러한 사실을 고려하여 표현식을 다시 작성해 보겠습니다.

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\left(3((y)^(2)) \right))^(2))-((\left(4x \right))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\left(3((y)^(2))-4x \right)\left(3 ((y)^(2))+4x \right))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]

답: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.

문제 2번

두 번째 작업으로 넘어가겠습니다.

\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]

분자에 상수가 포함되어 있으므로 여기서는 단순화할 것이 없습니다. 그러나 두 변수가 포함된 다항식을 인수분해하는 방법을 배울 수 있도록 이 문제를 정확하게 제안했습니다. 대신에 아래의 다항식이 있다면 어떻게 확장할까요?

\[((x)^(2))+5x-6=\왼쪽(x-... \오른쪽)\왼쪽(x-... \오른쪽)\]

방정식을 풀고 점 대신에 넣을 수 있는 $x$를 찾아보겠습니다.

\[((x)^(2))+5x-6=0\]

\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]

\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]

삼항식을 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\left(x-1 \right)\left(x+6 \right)\]

우리는 이차 삼항식을 사용하는 방법을 배웠습니다. 그래서 이 비디오 강의를 녹화해야 했습니다. 하지만 $x$와 상수 외에 $y$도 있으면 어떻게 될까요? 이를 계수의 또 다른 요소로 고려해 보겠습니다. 표현식을 다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다.

\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]

\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]

\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

정사각형 구성의 확장을 작성해 보겠습니다.

\[\왼쪽(x-y \오른쪽)\왼쪽(x+6y \오른쪽)\]

따라서 원래 표현식으로 돌아가서 변경 사항을 고려하여 다시 작성하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.

\[\frac(8)(\left(x-y \right)\left(x+6y \right))\]

그러한 기록은 우리에게 무엇을 주는가? 아무것도, 줄일 수 없기 때문에 어떤 것으로도 곱하거나 나눌 수 없습니다. 그러나 이 분수가 더 복잡한 표현의 필수적인 부분으로 밝혀지면 그러한 확장이 유용할 것입니다. 따라서 이차 삼항식을 보는 즉시(추가 매개변수가 있는지 여부는 중요하지 않음) 항상 인수분해를 시도하십시오.

솔루션의 뉘앙스

유리식 변환에 대한 기본 규칙을 기억하십시오.

• 모든 분모와 분자는 축약된 곱셈 공식이나 판별식을 통해 인수분해되어야 합니다.
• 다음 알고리즘에 따라 작업해야 합니다. 축약된 곱셈의 공식을 보고 분리하려고 할 때 먼저 모든 것을 가능한 가장 높은 정도로 변환하려고 합니다. 그런 다음 브래킷에서 전체 정도를 제거합니다.
• 매우 자주 매개변수가 포함된 표현식을 접하게 됩니다. 다른 변수는 계수로 표시됩니다. 우리는 이차 확장 공식을 사용하여 이를 찾습니다.

따라서 유리수 분수를 본 후 가장 먼저 해야 할 일은 축약된 곱셈 또는 판별 공식을 사용하여 분자와 분모를 모두 선형 표현식으로 인수분해하는 것입니다.

이러한 유리식 몇 가지를 살펴보고 인수분해해 보겠습니다.

더 복잡한 예제 해결

작업 번호 1

\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]

우리는 각 용어를 다시 작성하고 분해하려고 합니다.

다음 사실을 고려하여 전체 유리식을 다시 작성해 보겠습니다.

\[\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\left(3y \right))^(2))-((\left(2x \right))^(2)))((\left(2x \right))^(3))+ ((\왼쪽(3년 \오른쪽))^(3)))=\]

\[=\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\left(3y-2x \right)\left(3y+2x \right))(\left(2x+3y \right)\left(((\left(2x \right))^(2))- 2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)) \right))=-1\]

답: $-1$.

문제 2번

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

모든 분수를 살펴보겠습니다.

\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\왼쪽(x-2 \오른쪽))^(2))\]

변경 사항을 고려하여 전체 구조를 다시 작성해 보겠습니다.

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))\cdot \frac( 2x+1)(((\left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \right))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]

\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right))(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \왼쪽(x-2 \오른쪽))\]

답: $\frac(3)(2\left(x-2 \right))$.

솔루션의 뉘앙스

방금 배운 내용은 다음과 같습니다.

• 모든 제곱 삼항식을 인수분해할 수 있는 것은 아닙니다. 특히 이는 합계 또는 차이 큐브의 일부로 자주 발견되는 합계 또는 차이의 불완전 제곱에 적용됩니다.
• 상수, 즉 변수가 없는 일반 숫자도 확장 과정에서 활성 요소로 작용할 수 있습니다. 첫째, 괄호에서 벗어날 수 있고, 둘째, 상수 자체가 거듭제곱의 형태로 표현될 수 있습니다.
• 모든 요소를 ​​고려한 후에 반대 구성이 나타나는 경우가 매우 많습니다. 이러한 분수는 매우 조심스럽게 줄여야 합니다. 왜냐하면 위 또는 아래에서 분수를 지울 때 $-1$라는 추가 요소가 나타나기 때문입니다. 이는 정확히 두 분수가 반대라는 사실의 결과입니다.

복잡한 문제 해결

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

각 용어를 개별적으로 고려해 보겠습니다.

첫 번째 분수:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]

\[((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \right)\left(b+2 \right)\]

두 번째 분수의 전체 분자를 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

\[((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2))\]

이제 분모를 살펴보겠습니다.

\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right ))^(2))\]

위의 사실을 고려하여 전체 유리식을 다시 작성해 보겠습니다.

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

답: $\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))$.

솔루션의 뉘앙스

우리가 다시 한번 본 것처럼, 실제 유리식에서 종종 발견되는 불완전한 합의 제곱 또는 불완전한 차이의 제곱은 두려워하지 않습니다. 왜냐하면 각 요소를 변환한 후에는 거의 항상 취소되기 때문입니다. 또한 어떤 경우에도 최종 답변에서 큰 구성을 두려워해서는 안됩니다. 이것이 실수가 아닐 수도 있지만 (특히 모든 것이 인수분해된 경우) 저자는 그러한 답변을 의도했습니다.

결론적으로, 유리 분수와 더 이상 직접적인 관련이 없지만 실제 테스트와 시험에서 여러분을 기다리는 모든 것, 즉 인수분해, 공통 분모로의 축소, 유사한 용어의 축소가 포함되어 있는 또 다른 복잡한 예를 살펴보고 싶습니다. 이것이 바로 우리가 지금 할 일입니다.

유리식을 단순화하고 변환하는 복잡한 문제 해결

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

먼저 첫 번째 괄호를 살펴보고 열어 보겠습니다. 그 안에는 분모가 서로 다른 세 개의 분수가 있으므로 가장 먼저 해야 할 일은 세 개의 분수를 모두 공통 분모로 가져오는 것입니다. 인수분해하다:

\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]

\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \right)\]

전체 구성을 다음과 같이 다시 작성해 보겠습니다.

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x -2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(3))+8-\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2 )) \right))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ 왼쪽(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))=\]

\[=\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \right))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

이는 첫 번째 괄호의 계산 결과입니다.

두 번째 대괄호를 다루겠습니다.

\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\left(x-2 \right)\left(x+2 \ 오른쪽)\]

변경 사항을 고려하여 두 번째 대괄호를 다시 작성해 보겠습니다.

\[\frac(((x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\왼쪽(x-2 \오른쪽)\왼쪽(x+2 \오른쪽))\]

이제 전체 원래 구성을 적어 보겠습니다.

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

답: $\frac(1)(x+2)$.

솔루션의 뉘앙스

보시다시피 대답은 상당히 합리적인 것으로 나타났습니다. 그러나 참고하십시오: 이러한 대규모 계산 중에 유일한 변수가 분모에만 나타나는 경우 학생들은 이것이 분모이고 분수의 맨 아래에 있어야 한다는 사실을 잊어버리고 분자에 이 표현식을 써야 합니다. 중대한 실수입니다.

또한, 이러한 업무가 어떻게 공식화되는지에도 각별한 관심을 기울이고 싶습니다. 복잡한 계산에서는 모든 단계가 하나씩 수행됩니다. 먼저 첫 번째 대괄호를 별도로 계산한 다음 두 번째 대괄호를 별도로 계산하고 마지막에만 모든 부분을 결합하여 결과를 계산합니다. 이런 식으로 우리는 어리석은 실수로부터 자신을 보호하고 모든 계산을 주의 깊게 기록하며 동시에 언뜻 보일 수 있듯이 추가 시간을 낭비하지 않습니다.