বৈষম্যের একটি সিস্টেমের সমাধান কীভাবে নির্দিষ্ট করবেন। গ্রাফিকভাবে রৈখিক অসমতার সিস্টেমগুলি সমাধান করা

এখানে শুধুমাত্র "X's" এবং শুধুমাত্র abscissa অক্ষ রয়েছে, এখন "Ys" যোগ করা হয়েছে এবং কার্যকলাপের ক্ষেত্রটি সমগ্র স্থানাঙ্ক সমতলে প্রসারিত হয়েছে। আরও পাঠ্যটিতে, "রৈখিক অসমতা" বাক্যাংশটি দ্বি-মাত্রিক অর্থে বোঝা যায়, যা কয়েক সেকেন্ডের মধ্যে স্পষ্ট হয়ে যাবে।

বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি ছাড়াও, উপাদানটি গাণিতিক বিশ্লেষণ, অর্থনৈতিক এবং গাণিতিক মডেলিংয়ের বেশ কয়েকটি সমস্যার জন্য প্রাসঙ্গিক, তাই আমি সুপারিশ করছি যে আপনি এই বক্তৃতাটি সমস্ত গুরুত্ব সহকারে অধ্যয়ন করুন।

রৈখিক অসমতা

দুটি ধরণের রৈখিক অসমতা রয়েছে:

1) কড়াঅসমতা:

2) অ-কঠোরঅসমতা:

এই অসাম্যের জ্যামিতিক অর্থ কি?যদি একটি রৈখিক সমীকরণ একটি সরল রেখাকে সংজ্ঞায়িত করে, তাহলে একটি রৈখিক অসমতা সংজ্ঞায়িত করে অর্ধ-বিমান.

নীচের তথ্যগুলি বোঝার জন্য, আপনাকে সমতলের লাইনের প্রকারগুলি জানতে হবে এবং লাইনগুলি তৈরি করতে সক্ষম হতে হবে। যদি আপনার এই অংশে কোন অসুবিধা হয়, সাহায্য পড়ুন গ্রাফ এবং ফাংশনের বৈশিষ্ট্য- একটি রৈখিক ফাংশন সম্পর্কে একটি অনুচ্ছেদ।

চলুন সহজ রৈখিক অসমতা দিয়ে শুরু করা যাক। যে কোনও হারানোর নীল স্বপ্ন হল একটি সমন্বয়কারী সমতল যেখানে কিছুই নেই:

আপনি জানেন, অ্যাবসিসা অক্ষটি সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয় - "y" সর্বদা ("x"-এর যেকোনো মানের জন্য) শূন্যের সমান

আসুন বৈষম্য বিবেচনা করা যাক. এটা কিভাবে অনানুষ্ঠানিকভাবে বোঝা যায়? "Y" সর্বদা ("x" এর যেকোনো মানের জন্য) ধনাত্মক। এটা স্পষ্ট যে এই অসমতা উপরের অর্ধ-বিমানকে নির্ধারণ করে, যেহেতু ইতিবাচক "গেম" সহ সমস্ত পয়েন্ট সেখানে অবস্থিত।

ঘটনা যে অসমতা কঠোর না হয়, উপরের অর্ধেক সমতল উপরন্তুঅক্ষ যোগ করা হয়।

একইভাবে: অসমতা নিম্ন অর্ধ-সমতলের সমস্ত পয়েন্ট দ্বারা সন্তুষ্ট হয়, অ-কঠোর অসমতা নিম্ন অর্ধ-বিমান + অক্ষের সাথে মিলে যায়।

y-অক্ষের সাথে, একই প্রসায়িক গল্প:

- অসমতা সঠিক অর্ধ-বিমানকে সংজ্ঞায়িত করে;
– অসমতা y-অক্ষ সহ ডান অর্ধ-বিমানকে সংজ্ঞায়িত করে;
- অসমতা বাম অর্ধ-বিমানকে সংজ্ঞায়িত করে;
– অসমতা y-অক্ষ সহ বাম অর্ধ-সমতলকে সংজ্ঞায়িত করে।

দ্বিতীয় ধাপে, আমরা বৈষম্য বিবেচনা করি যার মধ্যে একটি ভেরিয়েবল অনুপস্থিত।

অনুপস্থিত "y":

অথবা "X" অনুপস্থিত:

এই বৈষম্য দুটি উপায়ে মোকাবেলা করা যেতে পারে. উভয় পন্থা বিবেচনা করুন. সেই সাথে, আসুন পাঠে ইতিমধ্যে আলোচিত অসমতার সাথে স্কুলের ক্রিয়াকলাপগুলিকে মনে রাখি এবং একত্রিত করি ফাংশন সুযোগ.

উদাহরণ 1

রৈখিক অসমতা সমাধান করুন:

একটি রৈখিক অসমতা সমাধান করার মানে কি?

একটি রৈখিক অসমতা সমাধান করার অর্থ হল একটি অর্ধ-বিমান খুঁজে পাওয়া, যার পয়েন্টগুলি প্রদত্ত অসমতাকে সন্তুষ্ট করে (প্লাস লাইনটি, যদি অসমতা কঠোর না হয়)। সিদ্ধান্ত, সাধারণত, গ্রাফিক.

অঙ্কনটি অবিলম্বে কার্যকর করা এবং তারপরে সমস্ত কিছু মন্তব্য করা আরও সুবিধাজনক:

ক) অসমতা সমাধান করুন

পদ্ধতি এক

পদ্ধতিটি স্থানাঙ্ক অক্ষের সাথে গল্পের সাথে খুব মিল, যা আমরা উপরে আলোচনা করেছি। ধারণাটি হল অসমতাকে রূপান্তর করা - কোনো ধ্রুবক ছাড়াই একটি চলককে বাম দিকে ছেড়ে দেওয়া, এই ক্ষেত্রে, x চলক।

নিয়ম: অসমতার মধ্যে, পদগুলি একটি চিহ্ন পরিবর্তনের সাথে অংশ থেকে অংশে স্থানান্তরিত হয়, যখন অসমতার চিহ্নটি নিজেই পরিবর্তন করা হয় না(উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি "কম" চিহ্ন থাকে তবে এটি "কম" থাকবে)।

আমরা সাইন পরিবর্তনের সাথে ডানদিকে "পাঁচ" স্থানান্তর করি:

নিয়ম পজিটিভ পরিবর্তন করা হয় না.

এখন একটি সরল রেখা আঁকুন (ড্যাশ করা নীল রেখা)। সরলরেখাটি ড্যাশ করা হয়েছে কারণ অসমতা কঠোর, এবং এই লাইনের অন্তর্গত পয়েন্টগুলি অবশ্যই সমাধানে অন্তর্ভুক্ত করা হবে না।

বৈষম্য মানে কি? "X" সর্বদা ("y"-এর যেকোনো মানের জন্য) থেকে কম। স্পষ্টতই, এই দাবিটি বাম অর্ধ-বিমানের সমস্ত পয়েন্ট দ্বারা সন্তুষ্ট। এই অর্ধ-বিমান, নীতিগতভাবে, ছায়াযুক্ত হতে পারে, তবে আমি নিজেকে ছোট নীল তীরগুলিতে সীমাবদ্ধ করব যাতে অঙ্কনটিকে একটি শৈল্পিক প্যালেটে পরিণত না হয়।

পদ্ধতি দুই

এটি একটি সর্বজনীন উপায়। খুব সাবধানে পড়ুন!

প্রথমত, একটি সরল রেখা আঁকুন। স্বচ্ছতার জন্য, যাইহোক, ফর্মটিতে সমীকরণটি উপস্থাপন করার পরামর্শ দেওয়া হয়।

এখন প্লেনের যেকোনো পয়েন্ট বেছে নিন, সরলরেখার অন্তর্গত নয়. বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, অবশ্যই সবচেয়ে সুস্বাদু পয়েন্ট। এই বিন্দুর স্থানাঙ্কগুলিকে অসমতায় প্রতিস্থাপন করুন:

গৃহীত ভুল বৈষম্য(সরল কথায়, এটি হতে পারে না), যার অর্থ হল বিন্দুটি অসমতাকে সন্তুষ্ট করে না।

আমাদের কাজের মূল নিয়ম:
সন্তুষ্ট নাঅসমতা, তারপর সমস্তএকটি প্রদত্ত অর্ধ-বিমানের পয়েন্ট সন্তুষ্ট নাএই অসমতার কাছে।
- যদি অর্ধ-বিমানের কোন বিন্দু (রেখার অন্তর্গত নয়) সন্তুষ্টঅসমতা, তারপর সমস্তএকটি প্রদত্ত অর্ধ-বিমানের পয়েন্ট পরিতৃপ্ত করাএই অসমতার কাছে।

আপনি পরীক্ষা করতে পারেন: লাইনের ডানদিকের যে কোনও বিন্দু অসমতাকে সন্তুষ্ট করবে না।

বিন্দু দিয়ে পরীক্ষা থেকে উপসংহার কি? কোথাও যেতে নেই, অসমতা অন্যের সমস্ত পয়েন্ট দ্বারা সন্তুষ্ট - বাম অর্ধ-বিমান (আপনিও পরীক্ষা করতে পারেন)।

খ) অসমতা সমাধান করুন

পদ্ধতি এক

আসুন বৈষম্যকে রূপান্তরিত করি:

নিয়ম: অসমতার উভয় পক্ষই গুণ (ভাগ) হতে পারে নেতিবাচকসংখ্যা, যখন অসমতা চিহ্ন পরিবর্তন হচ্ছেবিপরীতে (উদাহরণস্বরূপ, যদি "এর চেয়ে বড় বা সমান" চিহ্ন থাকে তবে এটি "এর চেয়ে কম বা সমান" হয়ে যাবে)।

বৈষম্যের উভয় দিক দিয়ে গুণ করুন:

আসুন একটি সরল রেখা আঁকুন (লাল রঙ), তাছাড়া, একটি কঠিন রেখা আঁকুন, যেহেতু আমাদের অসমতা রয়েছে অ-কঠোর, এবং লাইন অবশ্যই সমাধানের অন্তর্গত।

ফলস্বরূপ অসমতা বিশ্লেষণ করার পরে, আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হই যে এর সমাধান হল নিম্ন অর্ধ-বিমান (+ লাইন নিজেই)।

একটি উপযুক্ত অর্ধ-বিমান হ্যাচড বা তীর দিয়ে চিহ্নিত করা হয়।

পদ্ধতি দুই

আসুন একটি সরল রেখা আঁকুন। আসুন সমতলের একটি নির্বিচারে বিন্দু নির্বাচন করি (একটি সরলরেখার অন্তর্গত নয়), উদাহরণস্বরূপ, এবং এর স্থানাঙ্কগুলিকে আমাদের অসমতায় প্রতিস্থাপন করুন:

গৃহীত সঠিক অসমতা, তারপর বিন্দুটি অসমতাকে সন্তুষ্ট করে, এবং সাধারণভাবে, নিম্ন অর্ধ-সমতলের সমস্ত বিন্দু এই অসমতাকে সন্তুষ্ট করে।

এখানে, পরীক্ষামূলক বিন্দু দিয়ে, আমরা পছন্দসই অর্ধ-বিমানটিকে "হিট" করি।

সমস্যার সমাধান একটি লাল সরল রেখা এবং লাল তীর দ্বারা নির্দেশিত হয়।

ব্যক্তিগতভাবে, আমি প্রথম সমাধানটি বেশি পছন্দ করি, কারণ দ্বিতীয়টি আরও আনুষ্ঠানিক।

উদাহরণ 2

রৈখিক অসমতা সমাধান করুন:

এটি একটি করণীয় উদাহরণ। দুটি উপায়ে সমস্যাটি সমাধান করার চেষ্টা করুন (প্রসঙ্গক্রমে, এটি সমাধানটি পরীক্ষা করার একটি ভাল উপায়)। পাঠ শেষে উত্তরে শুধুমাত্র চূড়ান্ত অঙ্কন থাকবে।

আমি মনে করি যে উদাহরণগুলিতে করা সমস্ত কর্মের পরে, আপনাকে তাদের বিয়ে করতে হবে, সহজতম অসমতা, যেমন ইত্যাদি সমাধান করা কঠিন হবে না।

আমরা তৃতীয়, সাধারণ ক্ষেত্রে বিবেচনার দিকে ফিরে যাই, যখন উভয় ভেরিয়েবলই অসমতার মধ্যে উপস্থিত থাকে:

বিকল্পভাবে, মুক্ত শব্দ "ce" শূন্য হতে পারে।

উদাহরণ 3

নিম্নলিখিত অসমতার সাথে সম্পর্কিত অর্ধ-বিমান খুঁজুন:

সিদ্ধান্ত: এখানে পয়েন্ট প্রতিস্থাপন সহ সর্বজনীন সমাধান পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়েছে।

ক) চলুন একটি সরল রেখার সমীকরণ তৈরি করি, যখন রেখাটি একটি বিন্দুযুক্ত রেখা দিয়ে আঁকা উচিত, যেহেতু অসমতা কঠোর এবং সরলরেখা নিজেই সমাধানে অন্তর্ভুক্ত হবে না।

আমরা সমতলের একটি পরীক্ষামূলক বিন্দু নির্বাচন করি যা প্রদত্ত লাইনের অন্তর্গত নয়, উদাহরণস্বরূপ, এবং এর স্থানাঙ্কগুলিকে আমাদের অসমতার মধ্যে প্রতিস্থাপন করি:

গৃহীত ভুল বৈষম্য, তাই এই অর্ধ-সমতলের বিন্দু এবং সমস্ত বিন্দু অসমতাকে সন্তুষ্ট করে না। অসমতার সমাধান হবে আরেকটি অর্ধ-বিমান, আমরা নীল বজ্রপাতের প্রশংসা করি:

খ) অসমতা সমাধান করা যাক। প্রথমে একটি সরল রেখা আঁকুন। এটি করা সহজ, আমাদের একটি ক্যানোনিকাল প্রত্যক্ষ সমানুপাতিকতা আছে। লাইনটি শক্তভাবে আঁকা হয়েছে, যেহেতু অসমতা কঠোর নয়।

আমরা সমতলের একটি নির্বিচারে বিন্দু নির্বাচন করি যা লাইনের অন্তর্গত নয়। আমি আবার উত্স ব্যবহার করতে চাই, কিন্তু, হায়, এখন এটি উপযুক্ত নয়। অতএব, আপনাকে অন্য বান্ধবীর সাথে কাজ করতে হবে। ছোট স্থানাঙ্ক মান সহ একটি বিন্দু গ্রহণ করা আরও লাভজনক, উদাহরণস্বরূপ, . আমাদের অসমতার মধ্যে এর স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন করুন:

গৃহীত সঠিক অসমতা, তাই বিন্দু এবং প্রদত্ত অর্ধ-সমতলের সমস্ত বিন্দু অসমতাকে সন্তুষ্ট করে। পছন্দসই অর্ধ-বিমানটি লাল তীর দিয়ে চিহ্নিত করা হয়েছে। উপরন্তু, সমাধান লাইন নিজেই অন্তর্ভুক্ত।

উদাহরণ 4

অসমতার সাথে সম্পর্কিত অর্ধ-বিমান খুঁজুন:

এটি একটি করণীয় উদাহরণ। একটি সম্পূর্ণ সমাধান, সমাপ্তির একটি মোটামুটি নমুনা এবং পাঠের শেষে একটি উত্তর।

আসুন বিপরীত সমস্যাটি দেখি:

উদাহরণ 5

ক) একটি সরল রেখা দেওয়া। সংজ্ঞায়িত করুন অর্ধ-সমতল যেখানে পয়েন্টটি অবস্থিত, যখন লাইনটি নিজেই সমাধানে অন্তর্ভুক্ত করা আবশ্যক।

খ) একটি সরল রেখা দেওয়া। সংজ্ঞায়িত করুন অর্ধ-বিমান যেখানে পয়েন্টটি অবস্থিত। লাইন নিজেই সমাধান অন্তর্ভুক্ত করা হয় না.

সিদ্ধান্ত: এখানে একটি অঙ্কন প্রয়োজন নেই এবং সমাধান বিশ্লেষণাত্মক হবে. কঠিন কিছুই না:

ক) একটি সহায়ক বহুপদ রচনা করুন এবং পয়েন্টে এর মান গণনা করুন:
. এইভাবে, কাঙ্ক্ষিত অসমতা "কম এর চেয়ে" চিহ্নের সাথে হবে। শর্ত অনুসারে, লাইনটি সমাধানে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, তাই অসমতা কঠোর হবে না:

খ) বহুপদ রচনা করুন এবং বিন্দুতে এর মান গণনা করুন:
. এইভাবে, পছন্দসই অসমতা একটি "এর চেয়ে বড়" চিহ্নের সাথে হবে। শর্ত অনুসারে, লাইনটি সমাধানে অন্তর্ভুক্ত নয়, তাই, অসমতা কঠোর হবে: .

উত্তর:

স্ব-অধ্যয়নের জন্য সৃজনশীল উদাহরণ:

উদাহরণ 6

দেওয়া পয়েন্ট এবং একটি লাইন. তালিকাভুক্ত পয়েন্টগুলির মধ্যে, সেইগুলি সন্ধান করুন যেগুলি, উত্স সহ, প্রদত্ত লাইনের একই পাশে অবস্থিত।

একটি সামান্য ইঙ্গিত: প্রথমে আপনাকে একটি অসমতা লিখতে হবে যা অর্ধ-বিমানকে সংজ্ঞায়িত করে যেখানে মূলটি অবস্থিত। পাঠের শেষে বিশ্লেষণাত্মক সমাধান এবং উত্তর।

রৈখিক অসমতার সিস্টেম

রৈখিক বৈষম্যের একটি সিস্টেম, যেমনটি আপনি বোঝেন, বেশ কয়েকটি অসমতার সমন্বয়ে গঠিত একটি সিস্টেম। হাহা, ভাল, আমি সংজ্ঞা দিয়েছি =) একটি হেজহগ একটি হেজহগ, একটি ছুরি একটি ছুরি। কিন্তু সত্য হল - এটা সহজ এবং সাশ্রয়ী মূল্যের পরিণত! না, গুরুত্ব সহকারে, আমি সাধারণভাবে কিছু উদাহরণ দিতে চাই না, তাই আসুন অবিলম্বে চাপের সমস্যাগুলিতে এগিয়ে যাই:

রৈখিক অসমতার একটি সিস্টেম সমাধান করার অর্থ কী?

রৈখিক অসমতার একটি সিস্টেম সমাধান করুন- মানে সমতলে পয়েন্টের সেট খুঁজুনযে সন্তুষ্ট প্রতিটিসিস্টেমের অসমতা।

সবচেয়ে সহজ উদাহরণ হিসাবে, অসমতার সিস্টেমগুলি বিবেচনা করুন যা একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেমের স্থানাঙ্ক চতুর্থাংশ নির্ধারণ করে ("দুইয়ের অঙ্কন" পাঠের একেবারে শুরুতে রয়েছে):

অসমতার সিস্টেম প্রথম স্থানাঙ্ক চতুর্থাংশ (উপরের ডানদিকে) সংজ্ঞায়িত করে। প্রথম ত্রৈমাসিকের যেকোনো পয়েন্টের স্থানাঙ্ক, উদাহরণস্বরূপ, ইত্যাদি পরিতৃপ্ত করা প্রতিটিএই সিস্টেমের অসমতা।

একইভাবে:
– বৈষম্যের সিস্টেম দ্বিতীয় স্থানাঙ্কের ত্রৈমাসিককে সংজ্ঞায়িত করে (উপরের বাম);
- বৈষম্যের সিস্টেম তৃতীয় স্থানাঙ্ক ত্রৈমাসিক (নিম্ন বাম) সংজ্ঞায়িত করে;
- বৈষম্যের ব্যবস্থা চতুর্থ স্থানাঙ্কের ত্রৈমাসিক (নিম্ন ডানদিকে) সংজ্ঞায়িত করে।

রৈখিক অসমতার একটি সিস্টেমের সমাধান নাও থাকতে পারে, যে, হতে বেমানান. আবার, সহজ উদাহরণ: . এটা বেশ স্পষ্ট যে "x" একই সময়ে তিনটির বেশি এবং দুটির কম হতে পারে না।

অসমতার ব্যবস্থার সমাধান একটি সরল রেখা হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ: . রাজহাঁস, ক্রেফিশ, পাইক ছাড়া, কার্টটিকে দুটি ভিন্ন দিকে টানছে। হ্যাঁ, জিনিস এখনও আছে - এই সিস্টেমের সমাধান একটি সরল রেখা।

কিন্তু সবচেয়ে সাধারণ ক্ষেত্রে, যখন সিস্টেমের কিছু সমাধান হয় সমতল এলাকা. সিদ্ধান্ত এলাকাহতে পারে সীমাহীন(উদাহরণস্বরূপ, স্থানাঙ্ক কোয়ার্টার) বা সীমিত. সমাধানের সীমাবদ্ধ ডোমেন বলা হয় বহুভুজ সমাধান সিস্টেম.

উদাহরণ 7

রৈখিক অসমতার একটি সিস্টেম সমাধান করুন

অনুশীলনে, বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, আপনাকে অ-কঠোর অসমতার সাথে মোকাবিলা করতে হবে, তাই তারা পাঠের বাকি অংশটি নাচবে।

সিদ্ধান্ত: অনেক অসমতা আছে যে ভীতিকর হওয়া উচিত নয়. একটি ব্যবস্থায় কত বৈষম্য থাকতে পারে?হ্যাঁ, যতটা আপনি চান। প্রধান জিনিস হল সমাধান এলাকা নির্মাণের জন্য একটি যুক্তিসঙ্গত অ্যালগরিদম মেনে চলা:

1) প্রথমত, আমরা সহজতম অসমতার সাথে মোকাবিলা করি। অসমতাগুলি স্থানাঙ্ক অক্ষগুলির সীমানা সহ প্রথম স্থানাঙ্ক চতুর্থাংশকে সংজ্ঞায়িত করে৷ ইতিমধ্যেই অনেক সহজ, যেহেতু অনুসন্ধান এলাকা উল্লেখযোগ্যভাবে সংকুচিত হয়েছে৷ অঙ্কনে, আমরা অবিলম্বে তীর (লাল এবং নীল তীর) দিয়ে সংশ্লিষ্ট অর্ধ-বিমানগুলিকে চিহ্নিত করি

2) দ্বিতীয় সহজতম অসমতা - এখানে কোন "y" নেই। প্রথমত, আমরা লাইনটি নিজেই তৈরি করি, এবং দ্বিতীয়ত, অসমতাকে ফর্মে রূপান্তর করার পরে, এটি অবিলম্বে স্পষ্ট হয়ে যায় যে সমস্ত "x" 6 এর কম। আমরা সবুজ তীর দিয়ে সংশ্লিষ্ট অর্ধ-বিমানটিকে চিহ্নিত করি। ঠিক আছে, অনুসন্ধানের ক্ষেত্রটি আরও ছোট হয়ে গেছে - এমন একটি আয়তক্ষেত্র যা উপরে থেকে সীমাবদ্ধ নয়।

3) শেষ ধাপে, আমরা "সম্পূর্ণ গোলাবারুদ সহ" অসমতার সমাধান করি: . আমরা পূর্ববর্তী বিভাগে বিস্তারিতভাবে সমাধান অ্যালগরিদম আলোচনা করেছি। সংক্ষেপে: প্রথমে আমরা একটি সরল রেখা তৈরি করি, তারপরে একটি পরীক্ষামূলক বিন্দুর সাহায্যে আমরা আমাদের প্রয়োজনীয় অর্ধ-বিমানটি খুঁজে পাই।

দাঁড়াও, বাচ্চারা, একটি বৃত্তে দাঁড়াও:


সিস্টেমের সমাধান ক্ষেত্রটি একটি বহুভুজ, অঙ্কনে এটি একটি লাল রেখা দিয়ে প্রদক্ষিণ করা হয় এবং ছায়াযুক্ত। আমি এটিকে একটু বেশি করেছি =) নোটবুকে, এটি হয় সমাধানের ক্ষেত্রকে ছায়া দেওয়ার জন্য বা একটি সাধারণ পেন্সিল দিয়ে আরও সাহসীভাবে রূপরেখা দেওয়ার জন্য যথেষ্ট।

এই বহুভুজের যেকোনো বিন্দু সিস্টেমের প্রতিটি অসমতাকে সন্তুষ্ট করে (সুদের জন্য, আপনি চেক করতে পারেন)।

উত্তর: সিস্টেমের সমাধান একটি বহুভুজ।

একটি পরিষ্কার অনুলিপি তৈরি করার সময়, আপনি কোন পয়েন্টে সরলরেখা তৈরি করেছেন তা বিশদভাবে বর্ণনা করা ভাল হবে (পাঠ দেখুন গ্রাফ এবং ফাংশনের বৈশিষ্ট্য), এবং কীভাবে অর্ধ-বিমানগুলি নির্ধারণ করা হয়েছিল (এই পাঠের প্রথম অনুচ্ছেদটি দেখুন)। যাইহোক, অনুশীলনে, বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, আপনি শুধুমাত্র সঠিক অঙ্কন দ্বারা জমা করা হবে। গণনাগুলি নিজেই একটি খসড়া বা এমনকি মৌখিকভাবে করা যেতে পারে।

সিস্টেমের সমাধান বহুভুজ ছাড়াও, অনুশীলনে, কম ঘন ঘন যদিও, একটি খোলা এলাকা আছে। নিম্নলিখিত উদাহরণ নিজেকে পার্স করার চেষ্টা করুন. যদিও, নির্ভুলতার জন্য, এখানে কোন অত্যাচার নেই - নির্মাণের অ্যালগরিদম একই, এটি কেবলমাত্র এলাকাটি সীমাবদ্ধ নয়।

উদাহরণ 8

সিস্টেমের সমাধান করুন

পাঠ শেষে সমাধান এবং উত্তর। আপনি সম্ভবত ফলাফল এলাকার শীর্ষবিন্দু জন্য অন্যান্য অক্ষর উপাধি থাকবে. এটি গুরুত্বপূর্ণ নয়, প্রধান জিনিসটি সঠিকভাবে শীর্ষবিন্দুগুলি খুঁজে বের করা এবং সঠিকভাবে এলাকাটি তৈরি করা।

এটি অস্বাভাবিক নয় যখন কাজগুলিতে এটি কেবল সিস্টেমের সমাধানগুলির ডোমেন তৈরি করার জন্যই নয়, ডোমেনের শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলিও খুঁজে বের করার প্রয়োজন হয়৷ পূর্ববর্তী দুটি উদাহরণে, এই পয়েন্টগুলির স্থানাঙ্কগুলি সুস্পষ্ট ছিল, কিন্তু বাস্তবে সবকিছুই বরফ থেকে অনেক দূরে:

উদাহরণ 9

সিস্টেমটি সমাধান করুন এবং ফলাফলের ক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি সন্ধান করুন

সিদ্ধান্ত: আমরা অঙ্কনে এই সিস্টেমের সমাধানগুলির ক্ষেত্রটি চিত্রিত করব। অসমতা বাম অর্ধ-বিমানকে y-অক্ষের সাথে সেট করে, এবং এখানে আর কোন ফ্রিবি নেই। একটি পরিষ্কার / খসড়া বা গভীর চিন্তা প্রক্রিয়ার গণনা করার পরে, আমরা নিম্নলিখিত সিদ্ধান্তের ক্ষেত্রটি পাই:

নিবন্ধে আমরা বিবেচনা করব অসমতার সমাধান. এর সম্পর্কে সরলভাবে কথা বলা যাক বৈষম্যের সমাধান কিভাবে তৈরি করা যায়স্পষ্ট উদাহরণ সহ!

উদাহরণ সহ অসমতার সমাধান বিবেচনা করার আগে, আসুন মৌলিক ধারণাগুলি নিয়ে কাজ করি।

অসমতার পরিচয়

অসমতাএকটি অভিব্যক্তি বলা হয় যেখানে ফাংশনগুলি সম্পর্ক চিহ্ন দ্বারা সংযুক্ত থাকে >,। অসমতা সংখ্যাগত এবং বর্ণানুক্রমিক উভয়ই হতে পারে।
দুটি সম্পর্ক চিহ্নের অসমতাকে দ্বিগুণ বলা হয়, তিনটি সহ - ট্রিপল ইত্যাদি। উদাহরণ স্বরূপ:
a(x) > b(x),
a(x) a(x) b(x),
a(x) b(x)।
a(x) চিহ্ন সম্বলিত অসমতা > বা কঠোর নয়।
বৈষম্য সমাধানভেরিয়েবলের যেকোনো মান যার জন্য এই অসমতা সত্য।
"বৈষম্য সমাধান করুন" এর মানে হল যে আপনাকে এর সমস্ত সমাধানের সেট খুঁজে বের করতে হবে। বিভিন্ন আছে বৈষম্য সমাধানের পদ্ধতি. জন্য অসমতার সমাধানএকটি সংখ্যা রেখা ব্যবহার করুন যা অসীম। উদাহরণ স্বরূপ, বৈষম্য সমাধান x > 3 হল 3 থেকে + পর্যন্ত একটি ব্যবধান, এবং সংখ্যা 3 এই ব্যবধানে অন্তর্ভুক্ত নয়, তাই লাইনের বিন্দুটি একটি খালি বৃত্ত দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, কারণ অসমতা কঠোর।
+
উত্তর হবে: x (3; +)।
মান x=3 সমাধানের সেটে অন্তর্ভুক্ত নয়, তাই বন্ধনীটি বৃত্তাকার। অনন্ত চিহ্নটি সর্বদা একটি বন্ধনীতে আবদ্ধ থাকে। চিহ্নের অর্থ হল "নিজে থাকা"।
চিহ্নের সাথে আরেকটি উদাহরণ ব্যবহার করে কীভাবে অসমতা সমাধান করা যায় তা বিবেচনা করুন:
x2
-+
মান x=2 সমাধানের সেটে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, তাই বর্গাকার বন্ধনী এবং লাইনের বিন্দু একটি ভরাট বৃত্ত দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
উত্তর হবে: x।

আসুন আমরা যা শিখেছি তা সংক্ষিপ্ত করা যাক।
ধরুন আমাদের অসমতার একটি সিস্টেম সমাধান করতে হবে: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(কেস)$।
তারপর, ব্যবধান ($x_1; x_2$) হল প্রথম অসমতার সমাধান।
ব্যবধান ($y_1; y_2$) হল দ্বিতীয় অসমতার সমাধান।
অসমতার একটি সিস্টেমের সমাধান হল প্রতিটি অসমতার সমাধানের ছেদ।

বৈষম্যের ব্যবস্থা শুধুমাত্র প্রথম ক্রমেই নয়, অন্য যেকোন ধরনের অসাম্যেরও অন্তর্ভুক্ত হতে পারে।

বৈষম্যের সিস্টেমগুলি সমাধানের জন্য গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম।
যদি সিস্টেমের অসমতার কোন সমাধান না থাকে, তাহলে পুরো সিস্টেমের কোন সমাধান নেই।
যদি বৈষম্যগুলির একটি ভেরিয়েবলের যেকোনো মানের জন্য সন্তুষ্ট হয়, তাহলে সিস্টেমের সমাধান হবে অন্য অসমতার সমাধান।

উদাহরণ।
অসমতার সিস্টেম সমাধান করুন:$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(কেস)$
সিদ্ধান্ত.
আসুন প্রতিটি বৈষম্য আলাদাভাবে সমাধান করি।
$x^2-16>0$।
$(x-4)(x+4)>0$।

দ্বিতীয় অসমতার সমাধান করা যাক।
$x^2-8x+12≤0$।
$(x-6)(x-2)≤0$।

বৈষম্যের সমাধান একটি ফাঁক।
একটি সরল রেখায় উভয় ব্যবধান আঁকুন এবং ছেদ খুঁজে বের করুন।
ব্যবধানের ছেদ হল সেগমেন্ট (4; 6]।
উত্তর: (4;6]।

বৈষম্যের ব্যবস্থার সমাধান করুন।
ক) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\শেষ(কেস) )$।

সিদ্ধান্ত.
ক) প্রথম অসমতার একটি সমাধান আছে x>1।
দ্বিতীয় অসমতার জন্য বৈষম্যকারীকে খুঁজে বের করা যাক।
$D=16-4 * 2 * 4=-16$। $D নিয়মটি স্মরণ করুন, যখন একটি অসমতার কোনো সমাধান থাকে না, তখন পুরো সিস্টেমের কোনো সমাধান থাকে না।
উত্তর: কোন সমাধান নেই।

খ) প্রথম অসমতার একটি সমাধান আছে x>1।
দ্বিতীয় অসমতা সমস্ত x এর জন্য শূন্যের চেয়ে বেশি। তারপর সিস্টেমের সমাধানটি প্রথম অসমতার সমাধানের সাথে মিলে যায়।
উত্তরঃ x>1.

স্বাধীন সমাধানের জন্য অসমতার সিস্টেমের সমস্যা

বৈষম্যের সিস্টেমগুলি সমাধান করুন:
ক) $\begin(কেস)4x-5>11\\2x-12 খ) $\begin(কেস)-3x+1>5\\3x-11 গ) $\begin(মামলা) x^2-25 ঘ) $\begin(কেস)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \শেষ(কেস)$
e) $\begin(কেস)x^2+36

দুটি ভেরিয়েবল দিয়ে একটি অসমতা সমাধান করা, এবং এমনকি আরো তাই দুটি ভেরিয়েবল সহ অসমতার সিস্টেম, বেশ চ্যালেঞ্জ বলে মনে হচ্ছে। যাইহোক, একটি সাধারণ অ্যালগরিদম রয়েছে যা সহজেই এবং অনায়াসে এই ধরণের আপাতদৃষ্টিতে খুব জটিল সমস্যাগুলি সমাধান করতে সহায়তা করে। এর এটা বের করার চেষ্টা করা যাক.

ধরুন আমাদের নিম্নলিখিত ধরণের একটির দুটি ভেরিয়েবলের সাথে একটি অসমতা রয়েছে:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

স্থানাঙ্ক সমতলে এই জাতীয় অসমতার সমাধানের সেট চিত্রিত করতে, নিম্নরূপ এগিয়ে যান:

1. আমরা y = f(x) ফাংশনের একটি গ্রাফ তৈরি করি, যা সমতলকে দুটি অঞ্চলে বিভক্ত করে।

2. আমরা প্রাপ্ত ক্ষেত্রগুলির যে কোনও একটি বেছে নিই এবং এটিতে একটি নির্বিচারে বিন্দু বিবেচনা করি। আমরা এই পয়েন্টের জন্য মূল অসমতার সন্তুষ্টি পরীক্ষা করি। যদি, চেকের ফলস্বরূপ, একটি সঠিক সংখ্যাগত অসমতা পাওয়া যায়, তাহলে আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে মূল অসমতাটি নির্বাচিত বিন্দুটির অন্তর্গত সমগ্র এলাকায় সন্তুষ্ট। এইভাবে, অসমতার সমাধানের সেট হল সেই এলাকা যেখানে নির্বাচিত বিন্দুটি অন্তর্গত। যদি চেকের ফলস্বরূপ একটি ভুল সাংখ্যিক অসমতা পাওয়া যায়, তাহলে অসমতার সমাধানের সেটটি হবে দ্বিতীয় অঞ্চল, যেখানে নির্বাচিত বিন্দুটি অন্তর্গত নয়।

3. যদি অসমতা কঠোর হয়, তাহলে অঞ্চলের সীমানা, অর্থাৎ, ফাংশন y = f(x) এর গ্রাফের বিন্দুগুলি সমাধানের সেটে অন্তর্ভুক্ত করা হয় না এবং সীমানাটিকে একটি বিন্দুযুক্ত রেখা হিসাবে দেখানো হয়। যদি অসমতা কঠোর না হয়, তবে অঞ্চলের সীমানা, অর্থাৎ y = f(x) ফাংশনের গ্রাফের বিন্দুগুলি এই অসমতার সমাধানের সেটে অন্তর্ভুক্ত করা হয় এবং এই ক্ষেত্রে সীমানাটি হল একটি কঠিন লাইন হিসাবে চিত্রিত।
এখন এই বিষয়ে কয়েকটি সমস্যা দেখা যাক।

কার্যক্রম 1.

অসমতা x দ্বারা বিন্দুর কোন সেট দেওয়া হয় · y ≤ 4?

সিদ্ধান্ত.

1) আমরা x · y = 4 সমীকরণের একটি গ্রাফ তৈরি করি। এটি করার জন্য, আমরা প্রথমে এটি রূপান্তর করি। স্পষ্টতই, এই ক্ষেত্রে x 0 এ পরিণত হয় না, কারণ অন্যথায় আমাদের 0 · y = 4 থাকবে, যা সত্য নয়। তাই আমরা আমাদের সমীকরণকে x দিয়ে ভাগ করতে পারি। আমরা পাই: y = 4/x। এই ফাংশনের গ্রাফটি একটি হাইপারবোলা। এটি পুরো সমতলকে দুটি অঞ্চলে বিভক্ত করে: একটি হাইপারবোলার দুটি শাখার মধ্যে এবং একটি তাদের বাইরে।

2) আমরা প্রথম অঞ্চল থেকে একটি নির্বিচারী বিন্দু নির্বাচন করি, এটি বিন্দু হতে দিন (4; 2)।
অসমতা পরীক্ষা করা হচ্ছে: 4 2 ≤ 4 মিথ্যা।

এর মানে হল এই অঞ্চলের পয়েন্টগুলি মূল অসমতাকে সন্তুষ্ট করে না। তারপরে আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে অসমতার সমাধানের সেটটি হবে দ্বিতীয় অঞ্চল, যেখানে নির্বাচিত বিন্দুটি অন্তর্গত নয়।

3) যেহেতু অসমতা কঠোর নয়, তাই আমরা সীমানা বিন্দুগুলি আঁকি, অর্থাৎ, y = 4/x ফাংশনের গ্রাফের বিন্দুগুলি একটি কঠিন রেখা সহ।

আসুন পয়েন্টের সেটটিকে রঙ করি যা মূল অসমতাকে হলুদ রঙ দিয়ে সংজ্ঞায়িত করে (ডুমুর। 1).

টাস্ক 2।

সিস্টেম দ্বারা স্থানাঙ্ক সমতলে সংজ্ঞায়িত এলাকা আঁকুন
( y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
( x 2 + y 2 ≤ 9।

সিদ্ধান্ত.

আমরা শুরু করার জন্য নিম্নলিখিত ফাংশনগুলির গ্রাফ তৈরি করি (চিত্র 2):

y \u003d x 2 + 2 - প্যারাবোলা,

y + x = 1 - সরলরেখা

x 2 + y 2 \u003d 9 একটি বৃত্ত।

1) y > x 2 + 2।

আমরা বিন্দু (0; 5) নিই, যা ফাংশনের গ্রাফের উপরে অবস্থিত।
অসমতা পরীক্ষা করা হচ্ছে: 5 > 0 2 + 2 সঠিক।

অতএব, প্রদত্ত প্যারাবোলা y = x 2 + 2 এর উপরে থাকা সমস্ত বিন্দু সিস্টেমের প্রথম অসমতাকে সন্তুষ্ট করে। আসুন তাদের হলুদ রঙ করি।

2) y + x > 1।

আমরা বিন্দু (0; 3) নিই, যা ফাংশনের গ্রাফের উপরে অবস্থিত।
অসমতা পরীক্ষা করা হচ্ছে: 3 + 0 > 1 সঠিক।

অতএব, লাইন y + x = 1 এর উপরে থাকা সমস্ত বিন্দু সিস্টেমের দ্বিতীয় অসমতাকে সন্তুষ্ট করে। আসুন তাদের সবুজ রঙে রঙ করি।

3) x2 + y2 ≤ 9।

আমরা একটি বিন্দু (0; -4) নিই, যা x 2 + y 2 = 9 বৃত্তের বাইরে অবস্থিত।
অসমতা পরীক্ষা করা হচ্ছে: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 ভুল।

অতএব, বৃত্তের বাইরে থাকা সমস্ত বিন্দু x 2 + y 2 = 9, সিস্টেমের তৃতীয় অসমতা সন্তুষ্ট না. তারপরে আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে বৃত্তের ভিতরে থাকা সমস্ত বিন্দু x 2 + y 2 = 9 সিস্টেমের তৃতীয় অসমতাকে সন্তুষ্ট করে। বেগুনি ছায়া দিয়ে তাদের আঁকা যাক।

ভুলে যাবেন না যে যদি অসমতা কঠোর হয়, তাহলে সংশ্লিষ্ট সীমারেখাটি একটি বিন্দুযুক্ত রেখা দিয়ে আঁকা উচিত। আমরা নিম্নলিখিত ছবি পেতে (চিত্র 3).

(চিত্র 4).

টাস্ক 3।

সিস্টেম দ্বারা স্থানাঙ্ক সমতলে সংজ্ঞায়িত এলাকা আঁকুন:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.

সিদ্ধান্ত.

শুরু করার জন্য, আমরা নিম্নলিখিত ফাংশনগুলির গ্রাফ তৈরি করি:

x 2 + y 2 \u003d 16 - বৃত্ত,

x \u003d -y - সোজা

x 2 + y 2 \u003d 4 - বৃত্ত (চিত্র 5).

এখন আমরা প্রতিটি অসমতার সাথে আলাদাভাবে মোকাবিলা করি।

1) x2 + y2 ≤ 16।

আমরা বিন্দু (0; 0) নিই, যা x 2 + y 2 = 16 বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত।
অসমতা পরীক্ষা করা হচ্ছে: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 সত্য।

অতএব, বৃত্তের ভিতরে থাকা সমস্ত বিন্দু x 2 + y 2 = 16 সিস্টেমের প্রথম অসমতাকে সন্তুষ্ট করে।
আসুন তাদের লাল রঙে রঙ করি।

আমরা বিন্দু (1; 1) নিই, যা ফাংশনের গ্রাফের উপরে অবস্থিত।
আমরা অসমতা পরীক্ষা করি: 1 ≥ -1 - সত্য।

অতএব, x = -y লাইনের উপরে থাকা সমস্ত বিন্দু সিস্টেমের দ্বিতীয় অসমতাকে সন্তুষ্ট করে। আসুন তাদের নীল রঙে রঙ করি।

3) x2 + y2 ≥ 4।

আমরা বিন্দু (0; 5) নিই, যা x 2 + y 2 = 4 বৃত্তের বাইরে অবস্থিত।
আমরা অসমতা পরীক্ষা করি: 0 2 + 5 2 ≥ 4 সঠিক।

অতএব, x 2 + y 2 = 4 বৃত্তের বাইরের সমস্ত বিন্দু সিস্টেমের তৃতীয় অসমতাকে সন্তুষ্ট করে। আসুন তাদের নীল রঙ করি।

এই সমস্যায়, সমস্ত অসমতা কঠোর নয়, যার মানে হল যে আমরা একটি কঠিন রেখা দিয়ে সমস্ত সীমানা আঁকি। আমরা নিম্নলিখিত ছবি পেতে (ছবি 6).

আগ্রহের ক্ষেত্র হল সেই এলাকা যেখানে তিনটি রঙিন এলাকা একে অপরকে ছেদ করে। (চিত্র 7).

আপনি কি কিছু জানতে চান? নিশ্চিত নন কিভাবে দুটি ভেরিয়েবলের সাথে অসমতার একটি সিস্টেম সমাধান করবেন?
একজন গৃহশিক্ষকের সাহায্য পেতে - নিবন্ধন করুন।
প্রথম পাঠ বিনামূল্যে!

সাইটে, উপাদানের সম্পূর্ণ বা আংশিক অনুলিপি সহ, উৎসের একটি লিঙ্ক প্রয়োজন।

বৈষম্যের ব্যবস্থা।
উদাহরণ 1. একটি অভিব্যক্তির সুযোগ সন্ধান করুন
সিদ্ধান্ত.বর্গমূল চিহ্নের অধীনে একটি অ-ঋণাত্মক সংখ্যা থাকতে হবে, যার অর্থ হল দুটি অসমতা একই সাথে ধরে রাখতে হবে: এই ধরনের ক্ষেত্রে, বৈষম্যের ব্যবস্থা সমাধানে সমস্যাটি হ্রাস করা হয়

কিন্তু আমরা এখনও এমন গাণিতিক মডেলের (অসমতার সিস্টেম) সাথে দেখা করিনি। এর মানে হল যে আমরা এখনও উদাহরণের সমাধানটি সম্পূর্ণ করতে পারিনি।

যে অসমতাগুলি একটি সিস্টেম তৈরি করে তা একটি কোঁকড়া বন্ধনীর সাথে মিলিত হয় (সমীকরণের সিস্টেমের ক্ষেত্রেও একই রকম)। উদাহরণস্বরূপ, এন্ট্রি

মানে অসমতা 2x - 1 > 3 এবং 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

কখনও কখনও বৈষম্যের ব্যবস্থাকে দ্বৈত অসমতা হিসাবে লেখা হয়। যেমন, বৈষম্যের ব্যবস্থা

একটি দ্বিগুণ অসমতা হিসাবে লেখা যেতে পারে 3<2х-1<11.

9ম শ্রেণীর বীজগণিত কোর্সে, আমরা শুধুমাত্র দুটি অসমতার সিস্টেম বিবেচনা করব।

বৈষম্যের ব্যবস্থা বিবেচনা করুন

আপনি এর কয়েকটি নির্দিষ্ট সমাধান নিতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ x = 3, x = 4, x = 3.5। প্রকৃতপক্ষে, x = 3-এর জন্য প্রথম অসমতা 5 > 3 রূপ নেয় এবং দ্বিতীয়টি 7 রূপ নেয়< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

একই সময়ে, মান x = 5 অসমতার সিস্টেমের সমাধান নয়। x = 5 এর জন্য, প্রথম অসমতা 9 > 3 ফর্ম নেয় - সঠিক সংখ্যাগত অসমতা, এবং দ্বিতীয়টি - ফর্ম 13< 11- неверное числовое неравенство .
বৈষম্যের একটি ব্যবস্থা সমাধান করার অর্থ হল এর সমস্ত নির্দিষ্ট সমাধান খুঁজে বের করা। এটা স্পষ্ট যে উপরে প্রদর্শিত এই ধরনের অনুমান বৈষম্যের একটি সিস্টেম সমাধানের জন্য একটি পদ্ধতি নয়। নিম্নোক্ত উদাহরণে, আমরা দেখাব যে কীভাবে একজন ব্যক্তি সাধারণত বৈষম্যের একটি ব্যবস্থা সমাধান করার সময় তর্ক করে।

উদাহরণ 3বৈষম্যের ব্যবস্থা সমাধান করুন:

সিদ্ধান্ত.

ক)সিস্টেমের প্রথম অসমতা সমাধান করে, আমরা 2x > 4, x > 2 খুঁজে পাই; সিস্টেমের দ্বিতীয় অসমতা সমাধান করে, আমরা Zx খুঁজে পাই< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
খ)সিস্টেমের প্রথম অসমতা সমাধান করে, আমরা x > 2 খুঁজে পাই; সিস্টেমের দ্বিতীয় অসমতা সমাধান, আমরা খুঁজে আমরা এই ফাঁকগুলিকে একটি স্থানাঙ্ক লাইনে চিহ্নিত করি, প্রথম ফাঁকের জন্য উপরের হ্যাচিং ব্যবহার করে এবং দ্বিতীয়টির জন্য নীচের হ্যাচিং ব্যবহার করে (চিত্র 23)। বৈষম্যের ব্যবস্থার সমাধান হবে সিস্টেমের অসমতার সমাধানগুলির ছেদ, অর্থাৎ ব্যবধান যেখানে উভয় হ্যাচ মিলে যায়। বিবেচনাধীন উদাহরণে, আমরা একটি মরীচি পেতে

ভিতরে)সিস্টেমের প্রথম অসমতা সমাধান করে, আমরা x পাই< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

বিবেচনা করা উদাহরণে বাহিত যুক্তিকে সাধারণীকরণ করা যাক। ধরুন আমাদের একটি বৈষম্যের ব্যবস্থা সমাধান করতে হবে

উদাহরণস্বরূপ, ব্যবধান (a, b) অসমতার সমাধান হতে দিন ) আমরা এই ফাঁকগুলিকে একটি স্থানাঙ্ক লাইনে চিহ্নিত করি, প্রথম ফাঁকের জন্য উপরের হ্যাচিং ব্যবহার করে এবং দ্বিতীয়টির জন্য নীচের হ্যাচিং ব্যবহার করে (চিত্র 25)। অসমতার সিস্টেমের সমাধান হল সিস্টেমের অসমতার সমাধানগুলির ছেদ, অর্থাৎ ব্যবধান যেখানে উভয় হ্যাচ মিলে যায়। ডুমুর উপর. 25 হল ব্যবধান (s, b)।

এখন আমরা সহজে বৈষম্যের সিস্টেমটি সমাধান করতে পারি যা আমরা উপরে পেয়েছি, উদাহরণ 1:

সিস্টেমের প্রথম অসমতা সমাধান করে, আমরা x > 2 খুঁজে পাই; সিস্টেমের দ্বিতীয় অসমতা সমাধান করে, আমরা x পাই< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

অবশ্যই, বৈষম্যের ব্যবস্থায় রৈখিক বৈষম্য থাকে না, যেমনটি এখন পর্যন্ত হয়েছে; যেকোন যৌক্তিক (এবং শুধুমাত্র যৌক্তিক নয়) অসমতা ঘটতে পারে। প্রযুক্তিগতভাবে, যৌক্তিক অ-রৈখিক বৈষম্যের সিস্টেমের সাথে কাজ করা অবশ্যই আরও কঠিন, তবে মৌলিকভাবে নতুন কিছু নেই (রৈখিক অসমতার সিস্টেমের তুলনায়)।

উদাহরণ 4বৈষম্যের ব্যবস্থার সমাধান করুন

সিদ্ধান্ত.

1) আমাদের অসমতা সমাধান করুন
সংখ্যা রেখায় বিন্দু -3 এবং 3 লক্ষ্য করুন (চিত্র 27)। তারা লাইনটিকে তিনটি ব্যবধানে ভাগ করে এবং প্রতিটি ব্যবধানে p(x) = (x - 3)(x + 3) অভিব্যক্তিটি একটি ধ্রুবক চিহ্ন ধরে রাখে - এই চিহ্নগুলি চিত্রে দেখানো হয়েছে। 27. আমরা সেই ব্যবধানে আগ্রহী যেখানে অসমতা p(x) > 0 সন্তুষ্ট (এগুলি চিত্র 27-এ ছায়াযুক্ত), এবং যে বিন্দুতে সমতা p(x) = 0 সন্তুষ্ট, যেমন পয়েন্ট x \u003d -3, x \u003d 3 (এগুলি চিত্র 2 7 এ অন্ধকার বৃত্ত দিয়ে চিহ্নিত করা হয়েছে)। এইভাবে, ডুমুর মধ্যে. 27 প্রথম অসমতা সমাধানের জন্য একটি জ্যামিতিক মডেল দেখায়।

2) আমাদের অসমতা সমাধান করুন
সংখ্যা রেখায় বিন্দু 0 এবং 5 নোট করুন (চিত্র 28)। তারা লাইনটিকে তিনটি ব্যবধানে ভাগ করে এবং প্রতিটি ব্যবধানে অভিব্যক্তি<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (চিত্র 28 এ ছায়াযুক্ত), এবং যে বিন্দুতে সমতা g (x) - O সন্তুষ্ট, i.e. পয়েন্ট x = 0, x = 5 (এগুলি চিত্র 28 এ অন্ধকার বৃত্ত দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে)। এইভাবে, ডুমুর মধ্যে. 28 সিস্টেমের দ্বিতীয় অসমতা সমাধানের জন্য একটি জ্যামিতিক মডেল দেখায়।

3) আমরা একই স্থানাঙ্ক লাইনে সিস্টেমের প্রথম এবং দ্বিতীয় অসমতার জন্য পাওয়া সমাধানগুলি চিহ্নিত করি, প্রথম অসমতার সমাধানের জন্য উপরের হ্যাচিং ব্যবহার করে এবং দ্বিতীয়টির সমাধানের জন্য নিম্ন হ্যাচিং ব্যবহার করে (চিত্র 29)। বৈষম্যের ব্যবস্থার সমাধান হবে সিস্টেমের অসমতার সমাধানগুলির ছেদ, অর্থাৎ ব্যবধান যেখানে উভয় হ্যাচ মিলে যায়। যেমন একটি ব্যবধান একটি সেগমেন্ট.

উদাহরণ 5বৈষম্যের ব্যবস্থা সমাধান করুন:

সিদ্ধান্ত:

ক)প্রথম অসমতা থেকে আমরা x >2 খুঁজে পাই। দ্বিতীয় অসমতা বিবেচনা করুন. বর্গাকার ট্রিনমিয়াল x 2 + x + 2 এর কোনো প্রকৃত মূল নেই এবং এর অগ্রণী সহগ (x 2 এ সহগ) ধনাত্মক। এর মানে হল যে সমস্ত x এর জন্য অসমতা x 2 + x + 2>0 সন্তুষ্ট, এবং সেইজন্য সিস্টেমের দ্বিতীয় অসমতার কোন সমাধান নেই। বৈষম্যের ব্যবস্থার জন্য এর অর্থ কী? এর মানে সিস্টেমের কোন সমাধান নেই।

খ)প্রথম অসমতা থেকে আমরা খুঁজে পাই x > 2, এবং দ্বিতীয় অসমতা x এর যেকোনো মানের জন্য ধারণ করে। বৈষম্যের ব্যবস্থার জন্য এর অর্থ কী? এর মানে হল যে এর সমাধানটির ফর্ম x>2, অর্থাৎ প্রথম অসমতার সমাধানের সাথে মিলে যায়।

উত্তর:

ক) কোন সিদ্ধান্ত নেই; খ) x>2।

এই উদাহরণ নিম্নলিখিত দরকারী জন্য একটি দৃষ্টান্ত

1. যদি একটি পরিবর্তনশীল সহ একাধিক অসমতার একটি সিস্টেমে একটি অসমতার কোনো সমাধান না থাকে, তাহলে সিস্টেমের কোনো সমাধান নেই।

2. যদি একটি চলকের সাথে দুটি অসমতার একটি সিস্টেমে একটি অসমতা ভেরিয়েবলের যেকোনো মানের জন্য সন্তুষ্ট হয়, তাহলে সিস্টেমের সমাধানটি সিস্টেমের দ্বিতীয় অসমতার সমাধান।

এই বিভাগটি শেষ করে, আসুন আমরা এর শুরুতে প্রদত্ত ধারনাকৃত সংখ্যার সমস্যায় ফিরে আসি এবং এটির সমাধান করি, যেমনটি তারা বলে, সমস্ত নিয়ম অনুসারে।

উদাহরণ 2(পৃষ্ঠা 29 দেখুন)। একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা চিন্তা করুন. এটি জানা যায় যে যদি 13টি কল্পনা করা সংখ্যার বর্গক্ষেত্রে যোগ করা হয়, তাহলে যোগফলটি 14 নম্বরের গুণফলের চেয়ে বেশি হবে। যদি 45টি কল্পনা করা সংখ্যার বর্গক্ষেত্রে যোগ করা হয়, তাহলে যোগফল হবে ধারণাকৃত সংখ্যা এবং 18 সংখ্যার গুণফল থেকে কম হবে। কোন সংখ্যাটি ধারণা করা হয়েছে?

সিদ্ধান্ত.

প্রথম পর্যায়ে. একটি গাণিতিক মডেল আপ অঙ্কন.
উদ্দিষ্ট সংখ্যা x, যেমনটি আমরা উপরে দেখেছি, বৈষম্যের সিস্টেমকে অবশ্যই সন্তুষ্ট করতে হবে

দ্বিতীয় পর্ব। সংকলিত গাণিতিক মডেলের সাথে কাজ করা। আসুন সিস্টেমের প্রথম অসমতাকে ফর্মে রূপান্তর করি
x2- 14x+ 13 > 0।

আসুন x 2 - 14x + 13 এর শিকড় খুঁজে বের করি: x 2 \u003d 1, x 2 \u003d 13। প্যারাবোলা y \u003d x 2 - 14x + 13 (চিত্র 30) ব্যবহার করে আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে এর অসমতা আমাদের আগ্রহ x এর জন্য সন্তুষ্ট< 1 или x > 13.

সিস্টেমের দ্বিতীয় অসমতাকে x2 - 18 2 + 45 ফর্মে রূপান্তর করা যাক< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.