Если показатели одинаковые а основания разные. Умножение и деление чисел со степенями

В прошлом видеоуроке мы узнали, что степенью некоего основания называется такое выражение, которое представляет собой произведение основания на самого себя, взятого в количестве, равном показателю степени. Изучим теперь некоторые важнейшие свойства и операции степеней.

Например, умножим две разные степени с одинаковым основанием:

Представим это произведение в полном виде:

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

Вычислив значение этого выражения, мы получим число 32. С другой стороны, как видно из этого же примера, 32 можно представить в виде произведения одного и того же основания (двойки), взятого в количестве 5 раз. И действительно, если пересчитать, то:

Таким образом, можно с уверенностью прийти к выводу, что:

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

Подобное правило успешно работает для любых показателей и любых оснований. Это свойство умножения степени вытекает из правила сохранности значения выражений при преобразованиях в произведении. При любом основании а произведение двух выражений (а)х и (а)у равно а(х + у). Иначе говоря, при произведении любых выражений с одинаковым основанием, итоговый одночлен имеет суммарную степень, образующуюся сложением степени первого и второго выражений.

Представляемое правило прекрасно работает и при умножении нескольких выражений. Главное условие - что бы основания у всех были одинаковыми. Например:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

Нельзя складывать степени, да и вообще проводить какие-либо степенные совместные действия с двумя элементами выражения, если основания у них являются разными.
Как показывает наше видео, в силу схожести процессов умножения и деления правила сложения степеней при произведении прекрасно передаются и на процедуру деления. Рассмотрим такой пример:

Произведем почленное преобразование выражения в полный вид и сократим одинаковые элементы в делимом и делителе:

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

Конечный результат этого примера не так интересен, ведь уже в ходе его решения ясно, что значение выражения равно квадрату двойки. И именно двойка получается при вычитании степени второго выражения из степени первого.

Чтобы определить степень частного необходимо из степени делимого вычесть степень делителя. Правило работает при одинаковом основании для всех его значений и для всех натуральных степеней. В виде абстракции имеем:

(а) х / (а) у = (а) х - у

Из правила деления одинаковых оснований со степенями вытекает определение для нулевой степени. Очевидно, что следующее выражение имеет вид:

(а) х / (а) х = (а) (х - х) = (а) 0

С другой стороны, если мы произведем деление более наглядным способом, то получим:

(а) 2 / (а) 2 = (а) (а) / (а) (а) = 1

При сокращении всех видимых элементов дроби всегда получается выражение 1/1, то есть, единица. Поэтому принято считать, что любое основание, возведенное в нулевую степень, равно единице:

Вне зависимости от значения а.

Однако будет абсурдно, если 0 (при любых перемножениях дающий все равно 0) будет каким-то образом равен единице, поэтому выражение вида (0) 0 (ноль в нулевой степени) просто не имеет смысла, а к формуле (а) 0 = 1 добавляют условие: «если а не равно 0».

Решим упражнение. Найдем значение выражения:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

Так как основание везде одинаково и равно 34, то итоговое значение будет иметь такое же основание со степенью (согласно вышеуказанных правил):

Иначе говоря:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

Ответ: выражение равно единице.

Степень с отрицательным показателем. Деление степеней с одинаковым основанием. 4. Уменьшите показатели степеней 2a4/5a3 и 2/a4 и приведите к общему знаменателю. Основание и аргумент первого логарифма - точные степени. Данное свойство распространяется на степень произведения трех и большего количества множителей. Следовательно, am−an>0 и am>an, что и требовалось доказать. Осталось доказать последнее из перечисленных свойств степеней с натуральными показателями.

Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке. То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным. Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. То есть при вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени, затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание).

После того как определена степень числа, логично поговорить про свойства степени. В этой статье мы дадим основные свойства степени числа, при этом затронем все возможные показатели степени. Здесь же мы приведем доказательства всех свойств степени, а также покажем, как применяются эти свойства при решении примеров. Сразу заметим, что все записанные равенства являются тождественными при соблюдении указанных условий, и их правые и левые части можно поменять местами.

Приведем пример, подтверждающий основное свойство степени. Прежде чем привести доказательство этого свойства, обговорим смысл дополнительных условий в формулировке. Условие m>n вводится для того, чтобы мы не выходили за рамки натуральных показателей степени. Основное свойство дроби позволяет записать равенство am−n·an=a(m−n)+n=am.

Переход к новому основанию

То есть, свойство натуральной степени n произведения k множителей записывается как (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn. Для наглядности покажем это свойство на примере. Доказательство можно провести, используя предыдущее свойство. Например, для любых натуральных чисел p, q, r и s справедливо равенство. Для большей ясности приведем пример с конкретными числами: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.

Этот факт и свойства умножения позволяют утверждать, что результат умножения любого числа положительных чисел также будет положительным числом. Достаточно очевидно, что для любого натурального n при a=0 степень an есть нуль. Действительно, 0n=0·0·…·0=0. К примеру, 03=0 и 0762=0. Переходим к отрицательным основаниям степени. Начнем со случая, когда показатель степени является четным числом, обозначим его как 2·m, где m — натуральное.

Переходим к доказательству этого свойства. Докажем, что при m>n и 0По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные в виде равенств. Условиям p 0 в этом случае будут эквивалентны условия m 0 соответственно. При этом условию p>q будет соответствовать условие m1>m2, что следует из правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями.

Операции с корнями. Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем;нодействиясостепенями и корнями могут приводить также к отрицательным, нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения. Если мы хотим, чтобы формула a m: a n=a m — nбыла справедлива при m = n,нам необходимо определение нулевой степени. Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать.

Вынесение показателя степени из логарифма

Если основания разные, эти правила не работают! Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств. Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами. Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию.

Свойства степеней, формулировки, доказательства, примеры.

Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма. Она так и называется: основное логарифмическое тождество. Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением. В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами - скорее, это следствия из определения логарифма.

Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице. 1 = 0 - это логарифмический ноль. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица - логарифм равен нулю! Потому что a0 = 1 - это прямое следствие из определения. Вот и все свойства. Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее - и решайте задачи.

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

2.a-4 есть a-2 первый числитель. В этом случае советуем поступать следующим образом. Это действие третьей ступени. Например, основное свойство дроби am·an=am+n при упрощении выражений часто применяется в виде am+n=am·an. Условие a≠0 необходимо для того, чтобы избежать деления на нуль, так как 0n=0, а при знакомстве с делением мы условились, что на нуль делить нельзя. Из полученного равенства am−n·an=am и из связи умножения с делением следует, что am−n является частным степеней am и an. Этим доказано свойство частного степеней с одинаковыми основаниями.

Аналогично, если q=0, то (ap)0=1 и ap·0=a0=1, откуда (ap)0=ap·0. В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. Эти неравенства по свойствам корней можно переписать соответственно как и. А определение степени с рациональным показателем позволяет перейти к неравенствам и соответственно.

Деление степеней с одинаковым основанием. Основное свойство степени на базе свойств умножения можно обобщить на произведение трех и большего числа степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями.

3.a-3 есть a0 = 1, второй числитель. В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. Теперь рассмотрим их на конкретных примерах и попробуем доказать.

Таким образом мы доказали, что при делении двух степеней с одинаковыми основаниями, их показатели надо вычитать. После того как определена степень числа, логично поговорить про свойства степени.

Здесь же мы приведем доказательства всех свойств степени, а также покажем, как применяются эти свойства при решении примеров. Например, основное свойство дроби am·an=am+n при упрощении выражений часто применяется в виде am+n=am·an. Приведем пример, подтверждающий основное свойство степени. Прежде чем привести доказательство этого свойства, обговорим смысл дополнительных условий в формулировке.

Свойства степеней с натуральными показателями

Условие m>n вводится для того, чтобы мы не выходили за рамки натуральных показателей степени. Из полученного равенства am−n·an=am и из связи умножения с делением следует, что am−n является частным степеней am и an. Этим доказано свойство частного степеней с одинаковыми основаниями. Для наглядности покажем это свойство на примере. Например, для любых натуральных чисел p, q, r и s справедливо равенство. Для большей ясности приведем пример с конкретными числами: (((5,2)3)2)5=(5,2)3+2+5=(5,2)10.

Сложение и вычитание одночленов

Этот факт и свойства умножения позволяют утверждать, что результат умножения любого числа положительных чисел также будет положительным числом. Достаточно очевидно, что для любого натурального n при a=0 степень an есть нуль. Действительно, 0n=0·0·…·0=0. К примеру, 03=0 и 0762=0. Переходим к отрицательным основаниям степени. Начнем со случая, когда показатель степени является четным числом, обозначим его как 2·m, где m — натуральное.

Переходим к доказательству этого свойства. Докажем, что при m>n и 0Осталось доказать вторую часть свойства. Следовательно, am−an>0 и am>an, что и требовалось доказать. Доказать каждое из этих свойств не составляет труда, для этого достаточно использовать определения степени с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами.

Если p=0, то имеем (a0)q=1q=1 и a0·q=a0=1, откуда (a0)q=a0·q. По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные в виде равенств. Условиям p 0 в этом случае будут эквивалентны условия m 0 соответственно.

При этом условию p>q будет соответствовать условие m1>m2, что следует из правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Эти неравенства по свойствам корней можно переписать соответственно как и. А определение степени с рациональным показателем позволяет перейти к неравенствам и соответственно.

Основные свойства логарифмов

Вычисление значения степени называют действием возведения в степень. То есть при вычислении значения выражения, не содержащего скобки, сначала выполняют действие третьей ступени, затем второй (умножение и деление) и, наконец, первой (сложение и вычитание). Операции с корнями.

Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем;нодействиясостепенями и корнями могут приводить также к отрицательным, нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения. Если мы хотим, чтобы формула a m: a n=a m — nбыла справедлива при m = n,нам необходимо определение нулевой степени.

Умножение степеней чисел с одинаковыми показателями. Далее мы сформулируем теорему о делении степеней с одинаковыми основаниями, решим разъясняющие задачи и докажем теорему в общем случае. Перейдём теперь к определению отрицательных степеней. Вы можете в этом легко убедиться, подставив формулу из определения в остальные свойства. Для решения данной задачи вспомните, что: 49 = 7^2, а 147 = 7^2 * 3^1. Если Вы теперь аккуратно воспользуетесь свойствами степеней (при возведении степени в степень показатели…

То есть показатели степени действительно вычитаются, но, поскольку в знаменателе у степени показатель отрицательный, при вычитании минус на минус даёт плюс, и показатели складываются. Вспомним, что называется одночленом, и какие операции можно делать с одночленами. Напомним, что для приведения одночлена к стандартному виду необходимо вначале получить численный коэффициент, перемножив все численные множители, а после этого перемножить соответствующие степени.

Переход к новому основанию

То есть, мы должны научиться различать подобные и не подобные одночлены. Сделаем вывод: подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть, и такие одночлены можно складывать и вычитать.

Спасибо Вам за отзыв. Если наш проект вам понравился и вы готовы помочь или принять участие в нём, перешлите информацию о проекте знакомым и коллегам. В предыдущем видео говорилось,что в примерах с одночленами может быть только умножение:»Найдем отличие этих выражений от предыдущих.

Само понятие одночлена как математической единицы подразумевает только умножение чисел и переменных, если есть другие операции, выражение уже не будет одночленом. Но вместе с тем между собой одночлены можно складывать, вычитать, делить… Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы - это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.

Обратите внимание: ключевой момент здесь - одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают! Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

То есть, свойство натуральной степени n произведения k множителей записывается как (a1·a2·…·ak)n=a1n·a2n·…·akn. Правил относительно сложения и вычитания степеней с одинаковыми основаниями не существует. Основание и аргумент первого логарифма - точные степени. 4. Уменьшите показатели степеней 2a4/5a3 и 2/a4 и приведите к общему знаменателю.

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками .

Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
Сумма a 3 - b n и h 5 -d 4 есть a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных , должны слагаться их сложением с их знаками.

Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Или:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Умножение степеней

Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат - это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Здесь 5 - это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

Так, a n .a m = a m+n .

Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Ответ: x 4 - y 4 .
Умножьте (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых - отрицательные .

1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Если a + b умножаются на a - b, результат будет равен a 2 - b 2: то есть

Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат , результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

Так, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Деление степеней

Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

Таким образом a 3 b 2 делённое на b 2 , равно a 3 .

Или:
$\frac{9a^3y^4}{-3a^3} = -3y^4$
$\frac{a^2b + 3a^2}{a^2} = \frac{a^2(b+3)}{a^2} = b + 3$
$\frac{d\cdot (a - h + y)^3}{(a - h + y)^3} = d$

Запись a 5 , делённого на a 3 , выглядит как $\frac{a^5}{a^3}$. Но это равно a 2 . В ряде чисел
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
любое число может быть поделено на другое, а показатель степени будет равен разнице показателей делимых чисел.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. .

Так, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . То есть, $\frac{yyy}{yy} = y$.

И a n+1:a = a n+1-1 = a n . То есть $\frac{aa^n}{a} = a^n$.

Или:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Правило также справедливо и для чисел с отрицательными значениями степеней.
Результат деления a -5 на a -3 , равен a -2 .
Также, $\frac{1}{aaaaa} : \frac{1}{aaa} = \frac{1}{aaaaa}.\frac{aaa}{1} = \frac{aaa}{aaaaa} = \frac{1}{aa}$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:\frac{1}{h} = h^2.\frac{h}{1} = h^3$

Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

1. Уменьшите показатели степеней в $\frac{5a^4}{3a^2}$ Ответ: $\frac{5a^2}{3}$.

2. Уменьшите показатели степеней в $\frac{6x^6}{3x^5}$. Ответ: $\frac{2x}{1}$ или 2x.

3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a - b)/3.

6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 - 1)/(x + a).

7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

9. Разделите (h 3 - 1)/d 4 на (d n + 1)/h.

Урок на тему: "Правила умножения и деления степеней с одинаковыми и разными показателями. Примеры"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 7 класса
Пособие к учебнику Ю.Н. Макарычева Пособие к учебнику А.Г. Мордковича

Цель урока: научится производить действия со степенями числа.

Для начала вспомним понятие "степень числа". Выражение вида $\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n}$ можно представить, как $a^n$.

Справедливо также обратное: $a^n= \underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n}$.

Это равенство называется "запись степени в виде произведения". Оно поможет нам определить, каким образом умножать и делить степени.
Запомните:
a – основание степени.
n – показатель степени.
Если n = 1 , значит, число а взяли один раз и соответственно: $a^n= 1$.
Если n= 0 , то $a^0= 1$.

Почему так происходит, мы сможем выяснить, когда познакомимся с правилами умножения и деления степеней.

Правила умножения

a) Если умножаются степени с одинаковым основанием.
Чтобы $a^n * a^m$, запишем степени в виде произведения: $\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n} * \underbrace{ a * a * \ldots * a }_{m}$.
На рисунке видно, что число а взяли n+m раз, тогда $a^n * a^m = a^{n + m}$.

Пример.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

Это свойство удобно использовать, что бы упростить работу при возведении числа в большую степень.
Пример.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

б) Если умножаются степени с разным основанием, но одинаковым показателем.
Чтобы $a^n * b^n$, запишем степени в виде произведения: $\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n} * \underbrace{ b * b * \ldots * b }_{m}$.
Если поменять местами множители и посчитать получившиеся пары, получим: $\underbrace{ (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) }_{n}$.

Значит, $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Пример.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Правила деления

a) Основание степени одинаковое, показатели разные.
Рассмотрим деление степени с большим показателем на деление степени с меньшим показателем.

Итак, надо $\frac{a^n}{a^m}$ , где n > m .

Запишем степени в виде дроби:

$\frac{\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n}}{\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{m}}$.

Для удобства деление запишем в виде простой дроби.

Теперь сократим дробь.

Получается: $\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n-m}= a^{n-m}$.
Значит, $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ .

Это свойство поможет объяснить ситуацию с возведением числа в нулевую степень. Допустим, что n=m , тогда $a^0= a^{n-n}=\frac{a^n}{a^n} =1$.

Примеры.
$\frac{3^3}{3^2}=3^{3-2}=3^1=3$.

$\frac{2^2}{2^2}=2^{2-2}=2^0=1$.

б) Основания степени разные, показатели одинаковые.
Допустим, необходимо $\frac{a^n}{ b^n}$. Запишем степени чисел в виде дроби:

$\frac{\underbrace{ a * a * \ldots * a }_{n}}{\underbrace{ b * b * \ldots * b }_{n}}$.

Для удобства представим.

Используя свойство дробей, разобьем большую дробь на произведение маленьких, получим.
$\underbrace{ \frac{a}{b} * \frac{a}{b} * \ldots * \frac{a}{b} }_{n}$.
Соответственно: $\frac{a^n}{ b^n}=(\frac{a}{b})^n$.

Пример.
$\frac{4^3}{ 2^3}= (\frac{4}{2})^3=2^3=8$.